1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 52 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机事件 A 与 B 互不相容，则( )2 设 A，B 为随机事件，P(A)0，则 P(B|A)=1 不等价于( )（A）P(AB)=0（B） P(BA)=0（C） P(AB)=P(A)（D）P(AB)=P(B)3 某射手的命中率为 p(0p1)，该射手连续射击 n 次才命中 k 次(kn)的概率为( )（A）p k(1 一 p)nk（B） Cnkpk(1 一 p)nk（C） Cn1k1pk(1 一 p)nk（D）C n1k1pk1(1 一 p)nk4 设函数 F(x)
2、= 则 F(x)( )（A）不是任何随机变量的分布函数（B）是某连续型随机变量的分布函数（C）是某随机变量的分布函数（D）无法确定5 设随机变量 XN(0，1)，其分布函数为 (x)，则随机变量 Y=minX，0的分布函数为( )6 设二维随机变量(X 1，X 2)的密度函数为 f1(x1，x 2)，则随机变量(Y 1，Y 2)(其中Y1=2X1，Y 2= X2)的概率密度 f2(y1，y 2)等于( )7 设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 则与随机变量Z=YX 同分布的随机变量是( )（A）XY（B） X+Y（C） X 一 2Y（D）Y 一 2X8 对于任意两随机变量 X 和 Y，与命题
3、“X 和 Y 不相关” 不等价的是( )（A）E(XY)=E(X) E(Y)（B） Cov(X，Y)=0（C） D(XY)=D(X)D(Y)（D）D(X+Y)=D(X)+D(Y)9 设 X1，X 2，X n，相互独立且都服从参数为 (0)的泊松分布，则当n时，以 (x)为极限的是( )10 设总体 X 与 Y 都服从正态分布 N(0， 2)，已知 X1，X 2，X m 与Y1，Y 2，Y n 是分别取自总体 X 与 Y 的两个相互独立的简单随机样本，统计量服从 t(n)分布，则 等于( )二、填空题11 若在区间(0，1) 上随机地取两个数 u，则关于 x 的一元二次方程 x22x+u=0有实
4、根的概率为_。12 每箱产品有 10 件，其中次品数从 0 到 2 是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收。由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为 2，一件次品被误判为正品的概率为 10。则随机检验一箱产品，通过验收的概率 p=_。13 设 X1，X 2，X n 为来自总体 X 的简单随机样本，而(0kn)=_。14 已知随机变量 YN(， 2)，且方程 x2+x+Y=0 有实根的概率为 ，则未知参数=_。15 设随机变量 X 和 Y 的联合分布函数为则随机变量 X 的分布函数 F(x)为_。16 设随机变量 X 服从1，3上的均匀分布，则17 设
5、盒子中装有 m 个颜色各异的球，有放回地抽取 n 次，每次 1 个球。设 X 表示n 次中抽到的球的颜色种数，则 E(X)=_。18 设随机变量 X 和 Y 均服从 B(1， )，且 D(X+Y)=1，则 X 与 Y 的相关系数=_。19 设总体 X 的密度函数 f(x)= S2 分别为取自总体 X 容量为n 的样本的均值和方差，则 =_；E(S 2)=_。20 设 X1，X 2，X n 为来自区间一 a，a 上均匀分布的总体 X 的简单随机样本，则参数 a 的矩估计量为 _。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 已知 P(A)=05，P(B)=07，则()在怎样的条件下，
6、P(AB)取得最大值?最大值是多少?()在怎样的条件下， P(AB)取得最小值?最小值是多少?22 从学校乘汽车到火车站的途中有 3 个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 。设 X 为途中遇到红灯的次数，求随机变量 X的分布律、分布函数和数学期望。23 设 ， 是两个相互独立且服从同一分布的随机变量，已知 的分布率为 P=i= ，i=1，2， 3。又设 X=max(，)，Y=min( ，)。()写出二维随机变量的分布律： ()求随机变量X 的数学期望 E(X)。24 设随机变量 Yi(i=1，2，3)相互独立，并且都服从参数 p 的 01 分布，令求随机变量(X
7、1，X 2)的联合分布。25 设随机变量 X 和 Y 的联合密度为()试求 X 的概率密度 f(x)；()试求事件“X 大于 Y”的概率 PXY；()求条件概率 PY1|X 05 。26 设总体 X 的概率密度为 其中 0 是未知参数。从总体 X 中抽取简单随机样本 X1，X 2，X n，记 =minX1，X 2，X n。()求总体 X 的分布函数 F(x)；()求统计量 的分布函数27 设随机变量 X 和 Y 分别服从 ，已知 PX=0，Y=0= 求：()(X，Y) 的分布；( )X 和 Y 的相关系数；()Px=1|X 2+Y2=1。28 设总体 X 的概率密度为 X1，X n 为来自 X
8、 的一个简单随机样本，求 的矩估计量。考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 52 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 已知 AB= 无法断言 ，因此选项 A、B 不能选。由于 AB= ，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 F(B|A)= P(AB)=P(A)，然而 P(BA)=P(B)一P(AB)，所以选项 B 正确。容易验证其余三个选项与已知条件是等价的，事实上：A 选项 P(A 一 B)=P(A)一 P(AB)=0 P(AB)=P(A)。C 选项 P(AB)=P(A)P(BA)=1
9、。D 选项 P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=P(B) P(A)=P(AB)。【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 n 次射击视为 n 次重复独立试验，每次射击命中概率为 p，没有命中的概率为 1 一 p，设事件 A=“射击 n 次命中 k 次”=“前 n 一 1 次有 k 一 1 次击中，且第 n 次也击中 ”，则 P(A)=Cn1k1pk1(1 一 p)n1(k1)p=Cn1k1pk(1 一 p)kk。应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 C【试题解析】 由函数 F(x)的表达式可知，F(x) 是单调非减的； F(x)是有界的；F(
10、x)是右连续的(主要在 x=0 和 x=2 这两点处)，即 F(x)满足分布函数的三条基本性质，所以 F(x)一定是某个随机变量的分布函数。此外，因连续型随机变量的分布函数必为连续函数，而 F(x)在 x=2 处不连续，所以 F(x)不是连续型随机变量的分布函数，故选项 C 正确。【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 B【试题解析】 F(y)=PYy=Pmin(X，0)y=1 Pmin(X，0)y=1 PXy，0y 。当 y0 时，PXy，0y=PXy ，F(y)=1PXy=PXy=(y)。当 y0时，PXy，0y=0，F(y)=1，故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计6
11、 【正确答案】 B【试题解析】 设(X 1，X 2)的分布为 F1(x1，x 2)，(Y 1，Y 2)的分布为 F2(y1，y 2)。F2(y1，y 2)=PY1y1，Y 2y2=P2X1y1， X2y2=PX1 ，X 23y2=F2( ，3y 2)。所以 f2(y2，y 2)= 故选项 B 正确。【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 B【试题解析】 由题意知，ZN(1，1)，而 X+YN(1，1)，故 X+Y 和 Z 是同分布的随机变量。【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Cov(X，Y)=E(XY)一 E(X)E(Y)=0 是“X 和 Y 不相关
12、”的充分必要条件，所以 A 与 B 等价。由 D(X+Y)=D(X)+D(Y)的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见选项 B 与 D 等价。于是，“X 和 Y 不相关”与选项 A，B 和 D等价。故应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 C【试题解析】 由于 X1，X 2，X n，相互独立同分布，其期望和方差都存在，且 E(Xi)=，D(X i)=，根据方差与期望的运算法则，有=n，因此当 n 时， 以 (x)为极限，故应选 C。【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 D【试题解析】 根据 t 分布典型模式来确定正确选项。由于 XiN(0，m 2)，U=N(0
13、，1) ，而 N(0，1) 且相互独立，所以 V= 2(n)，U 与 V 相互独立，根据 t 分布典型模式知，故选 D。【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 设事件 A=“方程 x2 一 2x+u=0有实根”，因 u， 是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，)与正方形区域 D 内的点一一对应(如图 313 所示)，其中 D=(u，)|0u 1，01。事件 A=(u， )|(2)2 一 4u0，(u，) D，阴影 D1 满足事件 A，其中 D1=(u，)| 2u，0u，1 。利用几何型概率公式，有【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 0.89
14、2【试题解析】 设事件 A=“一件产品能够通过验收”，则 P(A)=p。事件 B=“任取一件产品为正品”， =“任取一件产品为次品”，则 A=BA A，根据题设可知P(A|B)=1002=098，P(A|B)=01，所以 p=P(A)=P(AB)+ =P(B)P(A|B)+ =098P(B)+1 一 P(B)01=0 1+088P(B)。显然 P(B)与该箱产品中有几件次品有关，利用全概率公式计算 P(B)。设 Ci=“每箱产品含 i 件次品”(i=0，1，2)，则 C0，C 1，C 2 是一完备事件组，P(C i)= ，故 B=C0BC1BC2B，且 P(B)=P(C0)P(B|C0)+P(
15、C1)P(B|C1)+P(C2)P(B|C2)故 P=01+0880 9=0892。【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 C nk( ) n【试题解析】 因为 Xi Xi 是一次伯努利试验结果，X i 相互独立。所以X1+X2+Xn 可以看成 n 次独立重复试验。即【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 已知 Y 一 N(， 2)，且 P方程有实根=P14Y0=【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 【试题解析】 根据题意分布函数 F(x)是 F(x，y)的边缘分布函数，所以 F(x)=F(x，+)=F(x，1) ，因此【知识模块】 概率论与数理统
16、计16 【正确答案】 【试题解析】 随机变量 X 的密度函数【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 令 则X=X1+X2+Xn。事件“X i=0”表示 n 次中没有抽到第 i 种颜色的球，由于是有放回抽取，n 次中各次抽取结果互不影响，所以有【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 1【试题解析】 根据题意可知 D(X)=D(Y)= ，且 1=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)= +2Cov(X，Y)，解得 Cov(X，Y)= 。故相关系数【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 因为 ，E(S 2)=D(X)，则 E(X
17、)=+xf(x)dx=11x|x|dx=0， D(X)=E(X2)一 E2(X)=+x2f(x)dx=11x2|x|dx=201x3dx=，故【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 因为 E(X)=0，不能用一阶矩来估计。E(X 2)=D(X)+E2(X)=样本二阶矩为【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 () 由于 因此 P(AB)P(A)，P(AB)P(B)，即P(AB)minP(A)，P(B)。已知 P(A)=05，P(B)=07，所以 P(AB)minP(A)，P(B)=P(A)=05，P(AB)的最
18、大值是 05，P(AB)=P(A)=05 成立的条件是AB=A，即 A B。( )根据概率运算的加法原理，P(AB)=P(A)+P(B)一 P(AB)=05+07 一 P(AB)=12 一 P(AB)，因此可得 P(AB)=12 一 P(AB)。因为P(AB)1，所以 P(AB)=12 一 P(AB)121=02，即 P(AB)取得的最小值是 02，故 P(AB)=02 成立的条件是 P(AB)=1。【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 根据题意 X 服从二项分布 ，因此 X 的分布律为因此，X 的分布函数为X 的数学期望是 E(X)=【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案
19、】 () 根据 X =max(，)，Y=min(，) 的定义可知，PX Y=0 ，即 PX=1，Y=2=P(X=1，Y=3)=P(X=2，Y=3)=0 ，同时有， PX=1，Y=1=P=1，=1=P=1.P=1= ，PX=2，Y=2=P=2，=2=P=2.P=2=，PX=3， Y=3=P=3，=3=P=3.P=3= ，PX=2，Y=1=P=1，=2+P=2，=1= PX=3，Y=2=P=2，=3+P=3，=2=PX=3，Y=1=1 一 所以所求的分布律为()X 的边缘分布为因此 X 的数学期望为【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 根据题意随机变量(X 1，X 2)是离散型的，它的
20、全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0) 。题目中是要计算出取各相应值的概率。注意事件Y1，Y 2，Y 3 相互独立且服从同参数 p 的 01 分布，所以它们的和 Y1+Y2+Y3 Y服从二项分布 B(3，p)。于是 PX1=0，X 2=0=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y32=PY=0+PY=3=(1 一 p)3+p3，PX 1=0，X 2=1=PY1+Y2+Y31，Y 1+Y2+Y3=2=Py=2=3p2(1 一 p)，PX 1=1，X 2=0=PY1+Y2+Y3=1，Y 1+Y2+Y32=PY=1=3p(1 一 p)2， PX1=1，X 2=1=PY1+Y2+Y3=1，Y
21、1+Y2+Y3=2= 计算可得(X 1， X2)的联合概率分布为【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 () 根据题意可得，当 x (0，1)时，f(x)=0 ；当 0x1，有()事件“X 大于 Y”的概率()条件概率于是【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 ()F(x)= xf(x)dt= ()=Pmin(X1，X 2，X n)x=1 一 Pmin(X1，X 2，X n)x=1 一 PX1x，X 2x，X nx=1 一1 一 F(x)n【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 () 由已知条件及离散型随机变量边缘分布的性质，得()PX2+Y2=1=PX=0，Y=1+PX=1，Y=0= PX=1|X+Y2=1=【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 所以 的矩估计量【知识模块】 概率论与数理统计
