1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 54 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设随机变量 X 的密度函数为 f(x) (a0，A 为常数)，则PaX ab)的值( ) （A）与 b 无关，且随 a 的增加而增加（B）与 b 无关，且随 a 的增加而减少（C）与 a 无关，且随 b 的增加而增加（D）与 a 无关，且随 b 的增加而减少2 设二维随机变量(X，Y)在区域 D：x 2y 29a2(a0)上服从均匀分布，pP(X 29Y 29a2)，则( )（A）p 的值与 a 无关，且 p（B） p 的值与 a 无关，且 p（C） p 的值随 a 值的
2、增大而增大（D）p 的值随 a 值的增大而减少3 设 Xt(2)，则 服从的分布为( ) （A） 2(2)（B） F(1，2)（C） F(2，1)（D） 2(4)4 设事件 A，B，C 两两独立，则事件 A，B，C 相互独立的充要条件是 ( )（A）A 与 BC 相互独立（B） AB 与 AC 相互独立（C） AB 与 AC 相互独立（D）AB 与 AC 相互独立5 设随机变量 X，Y 都是正态变量，且 X，Y 不相关，则( )（A）X，Y 一定相互独立（B） (X，Y)一定服从二维正态分布（C） X，Y 不一定相互独立（D）XY 服从一维正态分布二、填空题6 设 P(B)05，P(AB)03
3、，则 P(AB) _7 设一次试验中，出现事件 A 的概率为 p，则 n 次试验中 A 至少发生一次的概率为_，A 至多发生一次的概率为_8 设随机变量 X 的概率密度函数为 fX(x) ，则 Y2X 的密度函数为fY(y)_9 设随机变量 X 服从参数为 的指数分布，则 Px _10 设 X，Y 相互独立且都服从标准正态分布，则EX Y_，DXY_11 设(X 1，X 2，X n，X n1 ，X nm )为来自总体 XN(0， 2)的简单样本，则统计量 U 服从_分布12 随机向区域 D：0y (a0) 内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与 x 轴
4、的夹角小于 的概率为_13 设随机变量(X，Y) 的联合密度为 f(x，y) 则 P(X5Y3)_14 设总体 XN(0，8) ，Y N(0 ，2 2)，且 X1 及(Y 1，Y 2)分别为来自上述两个总体的样本，则 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 10 件产品中 4 件为次品，6 件为正品，现抽取 2 件产品(1)求第一件为正品，第二件为次品的概率；(2)在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；(3)逐个抽取，求第二件为正品的概率16 设随机变量 X 的密度函数为 f(x) (1)求常数 A； (2) 求 X在(0， )内的概率； (3)求 X 的分布函数 F
5、(x)17 设 X，Y 相互独立，且 XN(1，2)，YN(0 ，1)，求 Z2XY 3 的密度18 一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为01，02，03，假设各部件的状态相互独立，以 X 表示同时需要调整的部件数，求 E(X)，D(X)19 设 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，YN(0， 2)，令 Z ，求E(Z)，D(Z)20 设总体 X 的分布律为 P(Xk)(1p) k1 p(k1，2，)，其中 P 是未知参数，X1，X 2， ，X n 为来自总体的简单随机样本，求参数 p 的矩估计量和极大似然估计量21 甲、乙两人从 1，2，15 中各取一个
6、数，设甲取到的数是 5 的倍数，求甲数大于乙数的概率22 设 求矩阵 A 可对角化的概率23 设随机变量 X，Y 相互独立，且 X ，YE(4)，令 UX2y，求U 的概率密度24 设二维随机变量(X，Y)服从二维正态分布，且 XN(1 ，3 2)，Y N(0 ，4 2)，且X，Y 的相关系数为 (1)求 E(Z)，D(Z) ； (2)求 XZ； (3)X，Z 是否相互独立? 为什么 ?25 设 X1，X 9 为来自正态总体 XN(， 2)的简单随机样本，令证明：Zt(2) 考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 54 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1
7、 【正确答案】 C【试题解析】 因为 f(x)dx1，所以 a Aex dx1，解得 Ae a 由P(aXa b) aab f(x)dx aab eaex dxe aex aab 1e b ， 得P(aXa b)与 a 无关，且随 b 的增加而增加，选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 因为(X，Y)在区域 D：x 2y 29a2 上服从均匀分布，所以(X ，Y)的联合密度函数为 f(x，y) pP(X 29Y 29a2 f(x，y)dxdy ，选(B)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 因为 Xt(2)，所以存在 UN(0 ，1)
8、，V 2(2)，且 U，V 相互独立，使得 X 则 ，因为 V 2(2)，U 2 2(1)且 V，U 2 相互独立，所以F(2，1)，选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 A【试题解析】 在 A，B，C 两两独立的情况下，A，B，C 相互独立 P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)P(A)P(BC)，所以正确答案为(A)【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 C【试题解析】 只有当(X，Y)服从二维正态分布时，X，Y 独立才与 X，Y 不相关等价，由 X，Y 仅仅是正态变量且不相关不能推出 X，Y 相互独立，(A)不对；若 X，Y 都服从正态
9、分布且相互独立，则(X，Y)服从二维正态分布，但 X，Y 不一定相互独立，(B)不对；当 X，Y相互独立时才能推出 XY 服从一维正态分布，(D)不对，故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题6 【正确答案】 08【试题解析】 因为 P(AB)P(A) P(AB)，所以 P(AB)P(AB)P(B)08【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 1(1p) n，(1p) n1 1(n1)p【试题解析】 令 BA 至少发生一次，则 P(B) 1C n0p0(1p) n1(1p) n， 令 CA 至多发生一次 ， 则 P(C)C n0p0(1p) nC n1p(1p) n1 (1p
10、)n 11(n 1)p 【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 【试题解析】 因为 FY(y)P(Yy)P 所以 fY(y)【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 e 1【试题解析】 因为 XE()，所以 FX(x) 且 D(X) 则e 1【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答案】 ，【试题解析】 令 ZXY，则 ZN(0，2)，f Z(z) (z)E XYEZ zf Zdzdz 因为 EZ 2E(Z 2)D(Z) E(Z)22，所以 DZE Z 2(EZ ) 22 【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 F(n，m)【试题解析】 因为 Xi2 2(n)， Xi
11、2 2(m)，且 Xi2 2(n)与Xi2 2(m)，相互独立，所以 U F(n，m)【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 半圆的面积为 S a2，落点与原点的连线与 x 轴的夹角小于 的区域记为 D1，所求概率为 【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 【试题解析】 P(X 5Y3) 【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 F(1,2)【试题解析】 X12 2(1)， (Y12Y 22) 2(2)，F(1,2)【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 (1)令 Ai 第 i 次取到正品(i
12、1，2)，则【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 (1)因为 f(x)dx1，所以 1A cosxdx2A ，解得A (3)F(x)PXx xf(t)dt，【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 因为 X，Y 相互独立且都服从正态分布，所以 X，Y 的线性组合仍服从正态分布，即 Z2XY3 服从正态分布，由 E(Z)2E(X)E(Y)35，D(Z)4D(X)D(y)9，则 Z 的密度函数为 【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 令 Ai第 i 个部件需要调整(i1，2，3)，X 的可能取值为0，1，2，3，P(X0)P 0908070504，P(X1)P039
13、8，P(X3)P(A 1A2A3)0006，P(X2)10504039800060092所以 X 的分布律为X E(X)10 398 20092 3000606，D(X)E(X 2)E(X)21 20398 2 20092 3 200060360 46【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 因为 X 与 Y 相互独立，且 XN(0， 2)，Y N(0 ， 2)，所以(X， Y)的联合密度函数为 f(x，y) 故 E f(x,y)dxdy 02d0 D E(X 2Y 2)【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 E(X) k(1p) k1 p ，得参数 p 的据估计量为 L(p
14、)P(Xx 1)P(Xx n)(1p) pn，lnL(p)( xin)ln(1p)nlnp，令 0，得参数 p 的极大似然估计量为 【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 设 A1甲数为 5，A 2甲数为 10，A 3甲数为 15，B甲数大于乙数，P(A 1)P(A 2)P(A 3) ，P(BA 1) ，P(BA 2) ，P(B A3)1，则 P(B)P(A 1)P(BA 1)P(A 2)P(BA 2)P(A 3)P(BA 3)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 由E A (1)(2)(Y)0 得矩阵 A 的特征值为 11， 22， 3Y若 Y1，2 时，矩阵 A 一定
15、可以对角化；当 Y1 时，A ，1 为二重特征值，因为 r(EA) 2，所以 A 不可对角化；当 Y2 时，A 2 为二重特征值，因为r(2EA) 1，所以 A 可对角化，故 A 可对角化的概率为 P(Y1，2)P(Y2)P(Y0)P(Y2)P(Y3)【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 F U(u)P(Uu)P(X 2Yu)P(X1)P(X2Yu X1)P(X2)P(X2YuX2) 当u1 时，F U(u)0；当 1 u2 时，F U(u)05 4e4x dx (1e 22u )当 u2时，F U(u)05 4e4x dx05 4e4x dx (1e 22u ) (1e 42u )；故fU(u)【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 (3)因为(X，Y)服从二维正态分布，所以 Z 服从正态分布，同时 X 也服从正态分布，又 X，Z 不相关，所以 X，Z 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计
