1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 71 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 X1，X n 为相互独立的随机变量，S nX 1X n，则根据列维一林德贝格中心极限定理，当 n 充分大时，S n 近似服从正态分布，只要 X1，X n（A）有相同的数学期望（B）有相同的方差（C）服从同一指数分布（D）服从同一离散型分布2 设总体 XN(， 2)，从中抽得简单样本 X1，X 2，X n，记则Y1_，Y 2_(写出分布，若有参数请注出)且（A）Y 1、Y 2 均与 独立（B） Y1、Y 2 均与 不独立（C） Y1 与 独立，而 Y2 未必（D）Y 2
2、 与 独立，而 y1 未必二、填空题3 设随机变量 X，Y，Z 相互独立，且 XN(4，5)，Y N(2，9)，Z N(2，2)，则 P0XY Z3_( )07734)4 对随机变量 X，Y，Z，已知EXEY1， EZ1， DXDY1，DZ4， (X，Y) 0， (X，Z) ， (Y，Z) ( 为相关系数)则 E(XYZ)_，D(XYZ)_，cov(2XY， 3ZX)_5 设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如下) 其中 ， 未知，但已知 EY ，则_ ， _，EX_，E(XY)_6 设(X，Y) 在 D1XYa(a0)上服从均匀分布则 E(X)_，E(Y)_，E(XY)_ 7 对随机变量 X
3、，Y，已知 3X5Y11，则 X 和 Y 的相关系数为_8 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得容量为 16 的简单样本，S 2 为样本方差，则D(S2)_9 设 XF(n，n)且 P(XA)03，则 P(X )_(其中 A 为一常数)三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 (1)设系统由 100 个相互独立的部件组成运行期间每个部件损坏的概率为01至少有 85 个部件是完好时系统才能正常工作，求系统正常工作的概率()0 9522) (2) 如果上述系统由 n 个部件组成，至少有 80的部件完好时系统才能正常工作问 n 至少多大才能使系统正常工作的概率不小于 0957(164
4、5)095)11 对随机变量 X，已知 EekX 存在(k0 为常数)，证明：PX) .E(ekX(其中0)12 当掷一枚均匀硬币时，问至少应掷多少次才能保证正面出现的频率在 04 至06 之间的概率不小于 097 试用切比雪夫不等式和中心极限定理来分别求解(1645)095)13 利用中心极限定理证明：14 设总体 X 具有概率密度： 从此总体中抽得简单样本 X1，X 2，X 3，X 4，求 T Xi 的密度 fT(t)15 设总体 XN(， 2)， X1，X n 为取自 X 的简单样本，记 d X i 求 E(d)，D(d) 16 设总体 XN(72，100)，为使样本均值大于 70 的概
5、率不小于 095，样本容量n 至少应取多大?(1 645)095)17 从一正态总体中抽取容量为 10 的样本，设样本均值与总体均值之差的绝对值在4 以上的概率为 002，求总体的标准差(2 33)099)18 设总体 XN(， 2)，从 X 中抽得样本 X1， ，X n，X n+1，记试求 的分布19 设 k 个总体 N(i， 2)(i1，K)相互独立，从第 i 个总体中抽得简单样本：Xi1，X i2， ，记 ，(i：1，k)又记 n ，试求T 的分布20 设从一总体中抽得样本观测值为：5，3，4，5，6，2，5，3试写出其样本经验分布函数 F*()21 从总体 XN(0， 2)中抽得简单样
6、本 X1，X n+m，求 Y 的分布22 设总体 XB(m，p)，其中 m 已知，P 未知，从 X 中抽得简单样本X1，X n，试求 P 的矩估计和最大似然估计23 设总体的密度为：f() 从 X 中抽得简单样本X1，X n试求未知参数 的矩估计和最大似然估计24 设 YlnXN(， 2)，而 X1，X n 为取自总体 X 的简单样本，试求 EX 的最大似然估计25 从均值为 ，方差为 20 的总体中分别抽取容量为 n1 和 n2 的两个独立样本，样本均值分别记为 和 试证对任意满足 ab1 的常数 a、b，Ta b都是 的无偏估计并确定 a、b，使 D(T)达到最小26 总体 XN(2， 2
7、)，从 X 中抽得简单样本 X1，X n试推导 2 的置信度为1 的置信区间若样本值为 18，21，20，19，2218求出 2 的置信度为 095 的置信区间( 0975 2(6)14449， 0025 2(6)1237，下分位数)27 随机地取某种炮弹 9 发做试验，得炮口速度的样本标准差 S11设炮口速度服从正态分布，求这种炮弹的炮口速度的标准差的置信度为 095 的置信区间 0025 2(8)2180， 0975 2(8)17535，下侧分位数28 一个罐子里装有黑球和自球，黑、白球之比为 R：1，现有放回地一个接一个地抽球，直到抽到黑球为止，记 X 为所抽的白球数这样做了 n 次以后
8、，我们获得一组样本：X 1，X 2，X n基于此，求 R 的最大似然估计29 用过去的铸造方法，零件强度的标准差是 16 kgmm 2为了降低成本，改变了铸造方法，测得用新方法铸出的零件强度如下：52，53，53，54，54，54，54，51，52设零件强度服从正态分布，取显著性水平0 05，问改变方法后零件强度的方差是否发生了变化?( 0975 2(8)17535， 0025 2(8)2180，下侧分位数)30 一批矿砂的 4 个样品中镍含量测定为()：325，326，324，325设测定值总体服从正态分布，问在 001 下能否接受假设：这批矿砂镍含量的均值是 326(t 0995 (3)5
9、 8409，下侧分位数)31 用两种方案进行某种产品的销售，得部分销售量为： A 方案：140，138，143，142，144，139； B 方案：135，140，142，136135，140 设两种方案下的销售量均服从正态分布，试在 005 下检验两种方案的平均销售量有无显著差异(t 0975 (10)2228，F 0975 (5，5)715，下侧分位数提示：先检验方差相等)考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 71 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 列维一林德贝格中心极限定理要求诸 Xi 独立同分布，因此选项A、B
10、不能选(无法保证同分布)，而选项 D 却保证不了 EXi 及 DXi 存在，甚至排除不了 Xi 为常数(即退化分布 )的情形，而中心极限定理却要求 Xi 非常数且 EXi 与DXi 存在，故不选 D，只有 C 符合要求，可选【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 B【试题解析】 由 XiN(，)， N(0，1)， 且 X1，X n 相互独立，故 2(n)， 故 Y1 2(n)而由 2(n1)， 故Y1 2(n1)，且 Y2 与 独立，而 Y1 未必，故选 D【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题3 【正确答案】 02734【试题解析】 E(XYZ)EXEYEZ4220，D(XYZ)D
11、XDYDZ59216， XYZN(0，16)，故 P0XY Z3 (0)077340502734【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 1； ；3【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 0；0；0【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 1【试题解析】 Y ，(X，Y)的相关系数为1【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 4【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 07【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 (1)设有 X 个部件完好，则 XB(100
12、，09)， EX90，DX9， P系统正常工作PX850952 2 (2)设有 Y 个部件完好，YB(n，09)，EX09n，DX009n ， PX08n由题意，P(X08n)095，( )095，故 1645， 得，n2435 即 n25【知识模块】 概率论与数理统计11 【正确答案】 不失一般性，设 X 为连续型随机变量，概率密度为 f()，则EekX ekX.f()d， 而 PX【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 设抛掷 n 次硬币，正面出现 X 次，则 XB(n，05)现要求P(04 06)09，即 P(04nX06n)0 9 (1) 用切比雪夫不等式：P(04nX06n
13、)P(X05n01n)1 ， 令1 09，得 n250； (2)用中心极限定理： P(04nX06n)(02 )(02 )2(0 2 )1， 令 2(02 )109，得 (02 )095， 02 1645， n6765 即 n68【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 引随机变量 Xk(1)(参数为 1 的泊松分布)，k1，2，且Xk相互独立由泊松分布的再生性知 Xk(n)，令 n，由中心极限定理即知：【知识模块】 概率论与数理统计14 【正确答案】 T 的分布函数为 FT(t)P(Tt)P( Xit)P(X 1t，X 4t)P(X 1t)4【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确
14、答案】 N(0，1) ，得DX i(1 )2于是【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 由题意知： 09P( 70)查表得1645，n67 65，即 n68【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 设总体 XN(， 2)，则 ， 由题意得：002P 4查表得 233，【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 又 2(n1)，且 Sn2 与Xn+1 相互独立，故【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 由 i2 2(，n i1)，i1，2，k 且12， k2 相互独立， 即 T 2(nk) 【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 重排为 2，3，3，4
15、，5，5，5，6n8，则【知识模块】 概率论与数理统计21 【正确答案】 N(0，1)，i1，nm ，且诸 Xi 相互独立，故：又 Xi2 与 Xi2 相互独立，故 (n，m)，即 YF(n，m)【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 矩估计：EXmp， ，故 ；最大似然估计：似然函数为：令0，解得 p 故 P 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 矩估计： 最大似然估计：似然函数为当 1， n0 时，lnL2nln0ln( 1 n)解得 ，故 的最大似然估计为：【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 EXEe Y 令YlnX i，i1，2， n
16、Y 1，Y n 相当于取自总体 Y 中的样本 似然函数故 和 2 的最大似然估计分别为 故EX 的最大似然估计为这儿 expae a【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 E(T)aE bE (ab) ，T 为 的无偏估计而令(DT)a 0，解得 a ， 而(DT) aa 20，可见 D(T)在 a处取得唯一极值且为极小值， 故 a ，b 时，D(T)最小【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 2 (Xi2) 2 2(n)， 1 故 2 的置信区间为： 对1 095，n6，可算得 (i2) 2014， 故 2 的置信区间为0009689，01132【知识模块】 概率论与数理
17、统计27 【正确答案】 设炮口速度为总体 X，XN( ， 2)，而 n9，005， 的置信下限为 74299， 的置信上限为 210722【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 由题意，总体 X 的分布律为：PXk ，k0，1，2，似然函数为lnL iln(R1)nlnRln(R1) 令 0，解得 R，故 R 的最大似然估计为【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 设零件强度为总体 X，则 XN(， 2)，检验 H0： 216 2拒绝域为 并 2(n1) ，这里 0216 2，n9，算得 53， 2 390625， 故(n 1)2 180 217535 (n1)，故接受 H
18、0【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设这批矿砂的镍含量为总体 X，则 XN(， 2)，检验H0： 0这儿 0326，n4，拒绝域为： 可算得 325，S 0 01， 故 0001， 58409 002920， 可见，故接受 H0【知识模块】 概率论与数理统计31 【正确答案】 设 A、B 方案下的销售量分别为总体 X 和 Y，则 XN( 1， 12)，YN( 2， 22) 先检验 H0： 12 22，拒绝域为 F (n1，m 1)，并 F (n1，m1) 这里算得 S256，S y292，F0608 7，故(n 1，m1) F (n1，m1)，接受 H0； 又检验 H0： 1 2，拒绝域为 而nm6， 141， 138，故 3，而接受 H0，即认为用两种方案得到的销售量没有显著差异【知识模块】 概率论与数理统计
