1、考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 74 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 10 件产品中有 4 件不合格品，从中任取两件，已知所取两件产品中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率是 ( )2 设 A，B 是任意两个事件，且 A B，P(B)0，则必有 ( )（A）P(A)P(A|B) （B） P(A)P(A|B)（C） P(A)P(A|B) （D）P(A)P(A|B)3 以下 4 个结论：教室中有 r 个学生，则他们的生日都不相同的概率是 教室中有 4 个学生，则至少两个人的生日在同一个月的概率是 将C,C，E ，E，J，N，S 共
2、7 个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词 SCIENCE的概率是 袋中有编号为 1 到 10 的 10 个球，今从袋中任取 3 个球，则 3 个球的最小号码为 5 的概率为 正确的个数为 ( )（A）1（B） 2（C） 3（D）44 设 0P(B)1，P(A 1)P(A2)0 且 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)，则下列等式成立的是 ( )（A）（B） P(A1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)（C） P(A1A2)=P(A1|B)+P(A2|B)（D）P(B)=P(A 1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)5 设事件 A，B 满足 AB= ，则下列结论中一定正确
3、的是 ( )（A） 互不相容（B） 相容（C） P(AB)=P(A)P(B) （D）P(A-B)=P(A)6 一种零件的加工由相互独立的两道工序组成第一道工序的废品率为 p1，第二道工序的废品率为 p2，则该零件加工的成品率为 ( )（A）1-p 1-p2（B） 1-p1p2（C） 1-p1-p2+p1p2（D）(1-p 1)+(1-p2)7 设 X1，X 2 为独立的连续型随机变量，分布函数分别为 F1(x)，F 2(x)，则一定是某一随机变量的分布函数的为 ( )（A）F 1(x)+F2(x)（B） F1(x)-F2(x)（C） F1(x)F2(x)（D）F 1(x)F 2(x)8 设随机
4、变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为 f(x)=af1(x)+bf2(x)，其中 f1(x)是正态分布 N(0， 2)的概率密度，f 2(x)是参数为 的指数分布的概率密度，已知 F(0)=，则 ( )9 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)，概率密度为其中 A 为常数，则 ( )10 设 X 的概率密度为 fX(x)= 则 Y=2X 的概率密度为 ( )二、填空题11 设对于事件 A，B，C 有 P(A)=P(B)=P(C)= P(AB)=P(BC)=0，P(AC)= 则A，B，C 三个事件至少出现一个的概率为_12 一批产品共有 10 个正品和 2 个次品，任意抽取两次，每次抽一
5、个，抽出后不再放回，则第二次抽出的是次品的概率为_13 事件 A 与 B 相互独立，P(A)=a，P(B)=b，如果事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生，则 A，B，C 都不发生的概率为 _14 设事件 A，B，C 两两独立，三个事件不能同时发生，且它们的概率相等，则P(ABC)的最大值为_15 设 A，B 是任意两个事件，则 =_16 在区间(0 ，1) 中随机地取两个数，则事件“ 两数之和小于 ”的概率为_17 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为 ，则该射手的命中率为_18 设随机变量 X 的分布函数为 F(x)= 则 A，B 的值依次为_19 设随机变量
6、X 服从泊松分布，且 PX1=4PX=2，则 PX=3=_20 设随机变量 X 服从(0，2)上的均匀分布，则随机变量 Y=X2 在(0，4)内的概率密度 fY(y)=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 设有大小相同、标号分别为 1，2，3，4，5 的五个球，同时有标号为1，2，10 的十个空盒将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是相等的，并且每个空盒可以放五个以上的球，计算下列事件的概率：(1)A=某指定的五个盒子中各有一个球；(2)B=每个盒子中最多只有一个球 ；(3)C=某个指定的盒子不空 22 设 试证明：P(A)+P(B)一 P(C)
7、123 设 P(A)0，P(B)0证明：A，B 互不相容与 A，B 相互独立不能同时成立24 证明：若三事件 A，B，C 相互独立，则 AB 及 AB 都与 C 独立25 袋中有 5 只白球 6 只黑球，从袋中一次取出 3 个球，发现都是同一颜色，求这颜色是黑色的概率26 甲袋中有 3 个白球 2 个黑球，乙袋中有 4 个白球 4 个黑球，今从甲袋中任取 2球放入乙袋，再从乙袋中任取一球，求该球是白球的概率27 某彩票每周开奖一次，每次提供十万分之一的中奖机会，且各周开奖是相互独立的某彩民每周买一次彩票，坚持十年(每年 52 周)，求他从未中奖的概率28 随机地取两个正数 x 和 y，这两个数
8、中的每一个都不超过 1，试求 x 与 y 之和不超过 1，积不小于 009 的概率29 一汽车沿一街道行驶，需通过三个设有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或绿与其他信号灯为红或绿相互独立，且每一信号灯红绿两种信号显示的概率均为，以 X 表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口的个数，求 X 的概率分布30 一实习生用一台机器连续生产了三个同种零件，第 i 个零件是不合格品的概率(i=1，2，3)，以 X 表示三个零件中合格品的个数，求 X 的分布律31 设随机变量 X 的概率密度为 求：(1)常数 A； (2)使PXa=PX a成立的 a 的值32 设随机变量 X 的分布函数为F(x)=A+Bar
9、ctan x，一x+，求：(1)系数 A 与 B；(2)P一 1 X1)；(3)X 的概率密度33 设电子管寿命 X 的概率密度为 若一台收音机上装有三个这种电子管，求： (1)使用的最初 150 小时内，至少有两个电子管被烧坏的概率； (2)在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数 Y 的分布律； (3)Y 的分布函数34 设顾客在某银行窗口等待服务的时间 X(单位：分钟)服从参数为 的指数分布若等待时间超过 10 分钟，他就离开设他一个月内要来银行 5 次，以 Y 表示一个月内他没有等到服务而离开窗口的次数，求 Y 的分布律及 PY1)35 已知随机变量 X1 与 X2 的概率分布， 且
10、PX1X2=0=1 (1) 求 X1 与 X2 的联合分布； (2)判断 X1 与 X2 是否独立，并说明理由考研数学三（概率论与数理统计）模拟试卷 74 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=两件产品中有一件是不合格品，A 1=两件产品中一件是不合格品，另一件也是不合格品，A 2=两件产品中一件是不合格品，另一件是合格品，则 A=A 1A2，A 1A2= ，求概率 P(A1|A)故应选(C)【知识模块】 概率论与数理统计2 【正确答案】 A【试题解析】 由于 ，因此 AB=A，而 0P(B)1，所以 P(A)=P(A
11、B)=P(B)P(A|B)P(A|B)故选(A)【知识模块】 概率论与数理统计3 【正确答案】 C【试题解析】 对于 4 个结论分别分析如下： 这是古典概型中典型的随机占位问题任意一个学生在 365 天中任何一天出生具有等可能性此问题等价于“有 365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将 r 个球随机放人不同的 r 个盒子中的概率”设 A1=他们的生日都不相同，则 设A2=至少有两个人的生日在同一个月，则考虑对立事件，设 A3=恰好排成 SCIENCE，将 7 个字母排成一行的一种排法看作基本事件，所有的排法：字母 C 在 7 个位置中占两个位置，共有 C72 种占法，字母 E 在余下的
12、5 个位置中占两个位置，共有 C52 种占法，字母 I，N，S 在剩下的 3 个位置上全排列的方法共 3!种，故基本事件总数为C72C523!=1 260(种) ，而 A3 中的基本事件只有一个，故设 A4=最小号码为 5，则 P(A4)=综上所述，有 3 个结论正确，选择(C)【知识模块】 概率论与数理统计4 【正确答案】 B【试题解析】 由 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B)一 P(A1A2|B)=P(A1|B)+P(A2|B) 可得P(A1A2|B)=0，即 P(A1A2B)=0 P(A 1BA2B)=P(A1B)+P(A2B)一 P(A1A2B)=P(A1B)+P(A2
13、B)， 故选(B) 【知识模块】 概率论与数理统计5 【正确答案】 D【试题解析】 用文氏图，如果 A，B 满足 相容，所以(A)错误如果 A，B 满足 所以 (B)错误由于P(AB)=0，而 P(A)P(B)不一定为 0，所以 (C)错误但是，P(AB)=P(A)一 P(AB)=P(A)，故选择(D)【知识模块】 概率论与数理统计6 【正确答案】 C【试题解析】 设 A=成品零件，A i=第 i 道工序为成品，i=1，2 P(A 1)=1 一p1，P(A 2)=1 一 p2， P(A)=P(A 1A2)=P(A1)P(A2)=(1 一 p1)(1 一 p2)=1 一 p1 一p2+p1p2
14、故选(C) 【知识模块】 概率论与数理统计7 【正确答案】 C【试题解析】 用排除法 因为 F1(x)，F 2(x)都是分布函数，所以故(A)不正确故(B)不正确对于(D)，由于 型未定式极限，因此，不能保证 故(D) 不正确【知识模块】 概率论与数理统计8 【正确答案】 D【试题解析】 由 -+f(x)dx=a-+f1(x)dx+b-+f2(x)dx=a+b=1，知四个选项均满足这个条件，所以，再通过 F(0)= 确定正确选项由于【知识模块】 概率论与数理统计9 【正确答案】 A【试题解析】 由 01Ax(1 一 x)dx= =1，可得 A=6所以【知识模块】 概率论与数理统计10 【正确答
15、案】 C【试题解析】 因为 FY(y)=PYy=P2Xy= 所以，f Y(y)=故选(C)【知识模块】 概率论与数理统计二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 P(A BC)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)=【知识模块】 概率论与数理统计12 【正确答案】 【试题解析】 A i 表示“第 i 次取的是次品”，i=1， 2则有由全概率公式得 P(A2)=P(A1)P(A2|A1)+【知识模块】 概率论与数理统计13 【正确答案】 (1 一 a)(1b)【试题解析】 “事件 C 发生必然导致 A 与 B 同时发生” 于是【知识模块】 概率论
16、与数理统计14 【正确答案】 【试题解析】 P(A BC)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(AB)一 P(AC)一 P(BC)+P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C)一 P(A)P(B)一 P(A)P(C)一 P(B)P(C)+ =3P(A)一 3P(A)2=故 P(ABC)的最大值为【知识模块】 概率论与数理统计15 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 概率论与数理统计16 【正确答案】 【试题解析】 设 A= ，两数分别为 x，y，如图 31 所示【知识模块】 概率论与数理统计17 【正确答案】 【试题解析】 独立重复试验至少命中一次的对立事件是四次都没有命中四次都没有命中
17、的概率是 所以该射手的命中率为【知识模块】 概率论与数理统计18 【正确答案】 1；0【试题解析】 由 F(x)右连续的性质得 即 A+B=1又于是，B=0，A=1【知识模块】 概率论与数理统计19 【正确答案】 【试题解析】 PX1=PX=0+PX=1=e -+e-，PX=2= 由 PX1=4PX=2知 e-+e-=22e-，即 22 一 一 1=0，解得 =1 或 = (舍去)，故PX=3=【知识模块】 概率论与数理统计20 【正确答案】 【试题解析】 当Y=X2 在(0，4)内时，f Y(y)=【知识模块】 概率论与数理统计三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答
18、案】 每个球都有 10 种放法，所以，基本事件总数(放法总数)n=105 (1)5 个球放入指定的 5 个盒子中，事件 A 包含的基本事件数为 5！个，所以 (2)事件 B 是从 10 个盒子中任选 5 个(共有 C105 种选法)，然后将选定的 5 个盒子中各放入一个球(共有 5!种放法)，由乘法法则，事件 B 包含C1055!个基本事件，所以 (3)事件 C 的逆事件 C 表示“某个指定的盒子内无球” ，即 “5 个球都放入其他 9 个盒子中 ”，C 包含的基本事件数为95，所以【知识模块】 概率论与数理统计22 【正确答案】 因为 AB C，所以 P(C)P(AB)=P(A)+P(B)
19、一 P(AB)P(A)+P(B)一 1，故 P(A)+P(B) 一 P(C)1【知识模块】 概率论与数理统计23 【正确答案】 一方面，若 A，B 互不相容，则 AB= ，于是 P(AB)=0P(A)P(B)0，所以 A，B 不相互独立；另一方面，若 A，B 相互独立，则 P(AB)=P(A)P(B)0，于是 AB ，即 A，B 不是互不相容的【知识模块】 概率论与数理统计24 【正确答案】 P(AB)C)=P(AC PC)=P(AC)+P(BC)一 P(ABC) =P(A)P(C)+P(B)P(C)一 P(A)P(B)P(C) =P(A)+P(B)一 P(AB)P(C) =P(AB)P(C)
20、，即 AB 与 C 相互独立 P(AB)C)= =P(AB)P(C)，即AB 与 C 相互独立【知识模块】 概率论与数理统计25 【正确答案】 设 A=取出的 3 个球是同一颜色，B=取出的 3 个球全是白色 ，C=取出的 3 个球全是黑色，则 A=BC，所求概率为【知识模块】 概率论与数理统计26 【正确答案】 设 A=从乙袋中取出的是白球 ，B=从甲袋中取出的两球除有 i个白球 ，i=0，1，2由全概率公式 P(A)=P(B 0)P(A|B0)+P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)=【知识模块】 概率论与数理统计27 【正确答案】 令 Ai=第 i 次中奖(i=1，2，520
21、)， p=P在一次购买彩票中中奖则事件 A1，A 2， ，A 520 相互独立，且 p=10-5所以 P连续购买十年从未中奖= =(1 一 p)520=(1-10-5)520=09948【知识模块】 概率论与数理统计28 【正确答案】 如图 33 所示，有 =04018ln 302【知识模块】 概率论与数理统计29 【正确答案】 P(X=0=P第一个路口即为红灯= PX=1=P第一个路口为绿灯，第二个路口为红灯= 以此类推，得 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计30 【正确答案】 设 Ai=第 i 个零件是合格品，i=1，2，3，则即 X 的分布律为【知识模块】 概率论与数理统计31
22、 【正确答案】 (1)1= -+f(x)dx=A0sin xdx=一 Acos x|0=2A，A= (2)要使 Pxa=Px a，则有cos a=0，故【知识模块】 概率论与数理统计32 【正确答案】 (1)由分布函数的性质可知，(2)由(1)知 X 的分布函数为P一 1X1=F(1)一 F(一 1)=(3)X 的概率密度为【知识模块】 概率论与数理统计33 【正确答案】 Y 为“ 在使用的最初 150 小时内烧坏的电子管数”，YB(3，p)，其中 (1)所求概率为 PY2=PY=2+PY=3(2)Y 的分布律为 PY=k= ，k=0 ，1 ，2，3，即 (3)Y 的分布函数为【知识模块】 概
23、率论与数理统计34 【正确答案】 由题意 YB(5，p)，其中于是 Y 的分布律为 PY=k=C 5k(e-2)k(1一 e-2)5-k(k=0，1，2，3，4，5)，又 PY1=1 一 PY=0=1 一(1 一 e-2)505167【知识模块】 概率论与数理统计35 【正确答案】 (1)由联合分布与边缘分布的关系可知，X 1 与 X2 的联合分布有如下形式： 其中 p12=p32=0 是由于 PX1X2=0=1，所以， PX1X20=0再根据边缘分布与联合分布的关系可写出联合分布如下：(2)由联合分布律可以看出 PX1=一 1，X 2=0= 而 PX1=一 1PX2=0= 所以，X 1 与 X2 不独立【知识模块】 概率论与数理统计
