1、考研数学三（矩阵的特征与特征向量）模拟试卷 1 及答案与解析一、填空题1 设 A 为 n 阶矩阵，丨 A 丨0，A *为 A 的伴随矩阵，E 为 n 阶单位矩阵若 A 有特征值 ，则(A *)2+E 必有特征值_.2 设 =(1，1 ，1) T，=(1 ， 0，k) T。若矩阵 T 相似于 ，则 k=_.二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=XTAX=ax12+2x22-2x32+2bx1x3(b0)， 其中二次型的矩阵 A的特征值之和为 1，特征值之积为-122 设向量 =(a1,a2，a n)T，=(b 1,b2，b n)T 都是非零
2、向量，满足条件 T=0，记 n 阶矩阵 A=T3 求：A 2；4 矩阵 A 的特征值和特征阳量4 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x35 设矩阵 B=P -1A*P，求 B+2E 的特征值与特征向量，其中 A*为 A 的伴随矩阵，E 为 3 阶单位矩阵5 设 n 阶矩阵6 求 A 的特征值和特征向量；7 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵8 求一个正交变换，化二次型 f=x 12+4x22+4x32-4x1x2+4x1x3-8x2x3 为标准形9 求 a，b 的值10 求可逆矩阵 P，使 P-1AP=B11 设矩阵 已知
3、 A 有 3 个线性无关的特征向量， =2 是 A 的二重特征值，试求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角形矩阵12 若矩阵 相似于对角矩阵 A，试确定常数 a 的值；并求可逆矩阵 P，使 P-1AP=A12 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=4x22-3x32+4x1x2-4x1x3+8x2x313 写出二次型 f 的矩阵表达式14 用正交变换把二次型 f 化为标准形，并写出相应的正交矩阵15 求可逆矩阵 P，使得 P-1AP 为对角矩阵15 设 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵16 设矩阵 的特征方程有一个二重根，求 a 的值，并讨论 A
4、是否可相似对角化16 已知 是矩阵 的一个特征向量17 试确定参数 a，b 及特征向量 所对应的特征值;18 问 A 能否相似于对角阵?说明理由考研数学三（矩阵的特征与特征向量）模拟试卷 1 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 (丨 A 丨/2) 2+1【知识模块】 矩阵的特征与特征向量2 【正确答案】 2【知识模块】 矩阵的特征与特征向量二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。【知识模块】 二次型【知识模块】 矩阵的特征与特征向量3 【正确答案】 由 A=T 和 T=0，有 A 2=(T)(T)=(T)T=0T=0【知识模块】 矩阵的特征与特征向量4 【正确答案】 设 是 A 的
5、任一特征值， 是 A 属于特征值 的特征向量，即A=，0，那么 A2=A=2因为 A2=0，故 2=0，义因 0，从而矩阵 A的特征值是 =0(n 重根)不妨设向量 的第 1 个分量 a10，b 10对齐次线性方程组(0E-A)x=0 的系数矩阵作初等行变换，有得到基础解系 1=(-b1，b 1，0，0) T， 2=(-b1，0，b 1，0) T， n-1=(-bn，0，0，b 1)T于是矩阵 A 属于特征值 =0 的特征向量为 k11+k22+kn-1n-1，其中 k1，k 2，k n-1 是不全为零的任意常数【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 二次型5 【正确答案】 由于 =（
6、-1） 2（-7）故 A 的特征值为1=2=1， 3=7因为丨 A 丨= i=7，若 A=，则 A*=丨 A 丨/ 所以，A *的特征值为：7，7，1由于 B=P-1A*P，即 A*与 B 相似，故 B 的特征值为7，7，1从而 B+2E 的特征值为 9，9，3因为 B(P-1)=(p-1A*P)(P-1)=P-1A*=丨A 丨/P -1按定义知矩阵 B 属于特征值掣的特丨 A 丨/ 量是 P-1因此 B+2E 属于特征值值丨 A 丨/+2 的特征向量是 P-1.由于 P -1= =1 时，(E-A)x=0， 得到属于 =1 的线性无关的特征向量为a1= ，a 2= .当 =7 时，由(7E-
7、A)x=0， 得到属于 =7 的特征向话为 a3= 那么 P -1a1= ，P -1a2= ，P -1a3= .因此，B+2E 属于特征值 =9 的全部特征向量为 k1 +k2 ，其中 k1，k 2 是不全为零的任意常数而 B+2E 属于特征值 =3 的全部特征向量为 k3 ，其中 k3 为非零的任意常数【试题解析】 因为 A*与 B 相似，而两个相似矩阵的特征值与特征向量有关联，利用它们之间的联系就可求出 B 的特征值与特征向量，进而就可求 B+2E 的特征值与特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量6 【正确答案】 若b0，则由丨 E-B 丨= n-nb
8、n-1 知 B 的特征值是 nb，0，0，0(n-1 个 0)从而A 的特征值： 1=1+(n-1)b， 2= n=1-b对于 B，当 =0 时，由(0E-B)x=0 有解得基础解系 1=(1，-1，0，0) T， 2=(1，0，-1，0) T， n-1=(1，0，0，-1) T它们是 B 属于特征值 =0 的特征向量，也是矩阵 A 属于特征值 =1-b 的特征向量故 =1-b 的全部特征向鼍为：k 11+k22+kn-1n-1，其 k1，k 2，k n-1 是不全为 0 的常数 对于 B，B 2=nbB，则 B(1， 2， n)=nb(1， 2， n)知 i 是 B 属下特征值=nb 的特征
9、向量所以矩阵 A 属于特征值 =1+(n-1)b 的特征向量是：k(1，1 ，1) T其中 k 为任意非零常数b=0，则 A=E，此时 A 的特征倩是1= n=l，任意非零列向量均为特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量7 【正确答案】 当 b0 时，A 有 n 个线性无关的特征向量，令当 b=0 时，因为 A=E，那么对任意可逆矩阵 P，均有 P-1AP=E.【知识模块】 矩阵的特征与特征向量8 【正确答案】 二次型的矩阵是 其特征多项式为=2(9)，所以 A 的特征值是 1=2=0， 3=9 对于 1=2=0，由(0E-A)x=0，即 得到基础解系1=(2， 1，0) T， 2=(-2
10、，0，1) T，即为属于特征值 A=0 的特征向量对于 3=9，由(9E-A)x=0，即 得到基础解系 3=(1，-2，2) T由于不同特征值的特征向量已经正交，只需对 1， 2 正交化 1=1=(2，1，0) T， 2=2-(21)/(1,1)1=1/5(-2,4,5)T把 1， 2， 3 单位化，有 1= 2= 3= 那么经正交变换 二次型 f 化为标准形 f=9y32【知识模块】 二次型9 【正确答案】 由于 AB，故【知识模块】 矩阵的特征与特征向量10 【正确答案】 因为 AB，A 与 B 有相同的特征值，故矩阵 A 的特征值是1=2=2， 3=6当 =2 时，由(2E-A)x=0，
11、 得到基础解系为 1=(-1，1，0) T， 2=(1，0，1) T，即为矩阵 A 的属于特征值 =2 的线性无关的特征向量当 =6 时，由(6E-A)x=0， 其基础解系为 3=(1，-2，3) T，即为矩阵 A 属于特征值 =6 的特征向量那么，令P=(1， 2， 3)= ，则有 P-1AP=B【试题解析】 B 是对角矩阵，那么 A 与 B 相似时的矩阵 P 就是由 A 的线性无关的特征向量所构成，求矩阵 P 也就是求 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量11 【正确答案】 因为矩阵 A 有 3 个线性无关的特征向量，而 =2 是其二重特征值，故 =2 必有 2 个线性无关的特
12、征向量，因此(2E-A)x=0 的基础解系由 2 个解向量所构成于是 r(2E-A)=1由那么，矩阵由此，得矩阵 A 的特征多项式为=(-2)2(-6)，于是得到矩阵 A 的特征值：1=2=2， 3=6=2，(2E-A)x=0， 得到相应的特征向量为 1(1，-1，0) T， 2=(1，0，1) T对 =6，由(6E-A)x=0 ，得到相应的特征向量为 3=(1，-2，3) T那么，令P=(1， 2,3)= ，有 P-1AP=A=【知识模块】 矩阵的特征与特征向量12 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式=(-6)2(+2)，得知 A 的特征值为 1=2=6， 3=-2 由于 A 相似于对角矩
13、阵 A，而 =6 是二重特征值，故 =6应有两个线性无关的特征向量，因此矩阵 6E-A 的秩必为 1从而由当 =6 时，由(6E-A)x=0，得到矩阵 A 属于特征值 A=6 的线性无关的特征向量为1=(1， 2，0) T， 2=(0，0，1) T 当 =-2 时，由(-2E-A)x=0， -2E-A=得到属于特征值 =-2 的特征向量为 3=(1，-2，0) T那么，令 P=(1， 2， 3)= ，则 P-1AP=A=【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 二次型13 【正确答案】 f 的矩阵表示为 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=(x1，x 2，x 3)【知识模块】 二次型1
14、4 【正确答案】 由 A 的特征方程=(1)(236)=0，得到 A 的特征值为 1=1， 2=6， 3=-6 由(E-A)x=0 得基础解系1=(2， 0，-1) T，即属于 1 的特征向量 由(6E-A)x=0 得基础解系 2=(1，5，2)T，即属于 6 的特征向量 由(-6E-A)x=0 得基础解系 3=(1，-1，2) T，即属于=6 的特征向量 对于实对称矩阵，特征值不同特征向最已正交，故只需单位化，有 1=1/丨丨 1 丨丨 2=2/丨丨 2 丨丨 3=3/丨丨 3 丨丨那么，令 Q=(1， 2， 3)= ，经正交变换 ，二次型化为标准形 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=y
15、TAy=y12+6y2212-6y32【知识模块】 二次型15 【正确答案】 对于矩阵 B，由(E-B)x=0， E-B= 得特征向量 1=(-1，1，0) T， 2=(-2，0，1) T由(4E-B)x=0，4E-B=得特征向量 3=(0，1，1) T那么令 P1=(1， 2， 3)，有 P1-1BP1= ，即 P1-1C-1ACP1= 故当 P=CP1=(1， 2， 3)=(-1+2，-2 1+3， 2+3)时，P -1AP=【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 二次型16 【正确答案】 A 的特征多项式为若 =2 是特征方程的二重根，则有 22-16+18+3a=0，解得 a=
16、-2.当 a=-2 时，A 的特征值为2，2，6，矩阵 的秩为 1，故 =2 对应的线性无关的特征向量有两个，从而 A 可相似对角化若 =2 不是特征方程的二重根，则 2-8+18+3a为完全平方，从而 18+3a=16，解得 a=-2/3.当 a=-2/3 时，A 的特征值为 2，4，4，矩阵 的秩为 2，故 =4 对应的线性无关的特征向量只有一个，从而 A 不可相似对角化【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量17 【正确答案】 设 是属了二特征值 o 的特征向量，即解得 o=-1，a=-3，b=0【知识模块】 矩阵的特征与特征向量18 【正确答案】 因为 =(+1)3知矩阵 A 的特征值为 1=2=3=-1由于 从而 =-1 只有一个线性无关的特征向量故 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征与特征向量
