1、考研数学三（矩阵的特征与特征向量）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A 为 4 阶实对称矩阵，且 A2+A=0若 A 的秩为 3，则 A 相似于二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 设 A 是 n 阶证定阵，E 是 n 阶单位阵，证明 A+E 的行列式大于 13 a 的值；4 正交矩阼 Q，使 QTAQ 为对角矩阵4 设 A 为 3 阶实对称矩阵，且满足条件 A2+2A=0，已知 A 的秩 r(A)=25 求 A 的全部特征值；6 当 k 为何值时，矩阵 A+kE 为正定矩阵，其中 E 为 3 阶单位矩阵6 设 3
2、阶实对称矩阵 A 的各行元素之和均为 3，向量 1=(-1，2，-1) T， 2=(0，-1，1) T 是线性方程组 Ax=0 的两个解7 求 A 的特征值与特征向量；8 求正交矩阵 Q 和对角矩阵 A，使得 QTAQ=A；9 求 A 及(A-3/2E) 6，其中 E 为 3 阶单位矩阵9 设 3 阶交对称矩阵 A 的特征值 1=1， 2=2， 3=-2， 1=(1，-1，1) T 是 A 的属于1 的一个特征向量B=A 5-4A3+E，其中 E 为 3 阶单位矩阵10 验证 1 是矩阵 B 的特征向量，并求 B 的全部特征值与特征向量；11 求矩阵 B.12 设 正交矩阵 Q 使得 QTAQ
3、 为对角矩阵若 Q 的第 1 列为(1， 2，1) T，求 a，Q12 设 A 为 3 阶实对称矩阵，A 的秩为 2，且13 求 A 的所有特征值与特征向量；14 求矩阵 A14 设三阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，l ) T， 3=(-1，2，-3) T。都是 A 的属于特征值 6 的特征向量15 求 A 的另一特征值和对应的特征向量；16 求矩阵 A17 设实对称矩阵 ，求可逆矩阵 P，使 P-1AP 为对角形矩阵，并计算行列式丨 A-E 丨的值考研数学三（矩阵的特征与特征向量）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列
4、每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 A=Ad，0 知 An=n 对于 A2+A=0 有( 2+)=0 2+=0 因此矩阵 A 的特征值只能是-1 或 0【知识模块】 矩阵的特征与特征向量二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。2 【正确答案】 证法一 因为 A 是正定阵，故存在正交矩阵 Q，使 Q TAQ=Q-1AQ=A= 其中 i0(i：1，2，n)， i 是 A 的特征值. 因此 QT(A+E)Q=QTAQ+QTQ=A+E 两端取行列式得 丨 A+E 丨=丨 QT 丨丨 A+E 丨丨 Q 丨=丨 QT(A+E)Q 丨= 丨 A+E 丨
5、= (i+1) 从而丨 A+E 丨1证法二 设 A 的 n个特征值是 1， 2， n由于 A 是正定矩阵，故特征值全大于 0 因为 A+E的特征值是 i+1， 2+1， ， n+1，它们全大于 1，根据丨 A 丨= i，知 丨 A+E丨= (i+1)1【知识模块】 二次型3 【正确答案】 对方程且 Ax= 的增广矩阵作初等行变换，有【知识模块】 矩阵的特征与特征向量4 【正确答案】 由于故矩阵 A 的特征值为： 1=3， 2=0， 3=-3当 1=3 时，由 得到属于特征值 =3 的特征向量 1=(1，0，-1) T当 2=0 时，由(0E-A)x=0，得到属于特征值 A=0 的特征向最 2=
6、(1，1，1) T当3=-3 时，由(-3E-A)x=0， 得到属于特征值 =-3 的特征向量 3=(1， -2，1) T实对称矩阵的特征值不同时，其特征向量已经正交，故只需单位化 1= 2= 3= 那么令 Q=(1， 2， 3)= ，得 QTAQ=Q-1AQ=A=【试题解析】 方程组有解且不唯一，即方程组有无穷多解，故可由 r(A)=r(A)TAQ=A 即 Q-1AQ=A，为此应当求出 A 的特征值与特征向量再构造正交矩阵 Q【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量5 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任一特征值， 是属于特征值 的特征向量，即A=，0那么，A 2=
7、2，于是由 A2+2A=0 得(A 2+2A)=(2+2)=0又因0，故 =-2 或 =0因为 A 是实对称矩阵，必可相似对角化，且 r(A)=r(A)=2，所以 即矩阵 A 的特征值为 1=2=-2， 3=0【知识模块】 矩阵的特征与特征向量6 【正确答案】 由于 A+kE 是对称矩阵，且由(1) 知 A+kE 的特征值为 k-2，k-2，k那么 因此，k2 时，矩阵 A+AE 为正定矩阵.【试题解析】 矩阵 A 的元素没有具体给出，故应用定义法求特征值然后再用正定的充分必要条件是特征值全大于零来求 k 的值【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量7 【正确答案】
8、 因为 ，所以 3 是矩阵 A 的特征值，=(1 ，1，1) T是 A 属于 3 的特征向量 又 A1=0=01， A 2=0=02，故 1， 2 是矩阵 A 属于=0 的两个线性无关的特征向量因此矩阵 A 的特征值是 3，0，0 =3 的特征向量为 k(1，1，1) T，其中 k0 为任意常数； =0 的特征向量为 k1(-1，2，-1)T+k2(0，-1 ，1) T 其中 k1，k 2 是不全为 0 的任意常数【知识模块】 矩阵的特征与特征向量8 【正确答案】 因为 1， 2 不正交，故要 Schmidt 正交化 1=1=(-1，2，-1)T， 2=2=（ 2， 1）/（ 1， 1） 1=
9、 单位化 1= 2=3= 那么令 Q=(1， 2， 3)= ，得 QTAQ=A=【知识模块】 矩阵的特征与特征向量9 【正确答案】 由 A(1， 2，)=(o ，0，3) 有 A=(0，0，3a)( 1， 2，) -1=记 B=A-3/2E= 则 P-1BP=其中 P=(1， 2，)于是 B 6=PA6P-1=(3/2)PEP-1=(3/2)6E.【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量10 【正确答案】 由 A= 知 An=n那么 B 1=(A5-4A3+E)1=A51-4A31+1=(15-413+1)1=-21， 所以 1 是矩阵 B 属于特征值 1=-2 的
10、特征向量 类似地，若 A2=22，A 333，有 B 2=(25-423+1)2=2，B 3=(35-433+1)3=3， 因此，矩阵 B 的特征值为 1=-2， 2=3=1 由矩阵 A 是对称矩阵知矩阵B 也是对称矩阵，设矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向量是 =(x1，x 2，x 3)T，那么 1T=x1-x2+x3=0 所以矩阵 B 属于特征值 =1 的线性无关的特征向量是2=(1，1，0) T， 3=(-1，0，1) T 因而，矩阵 B 属于特钲值 1=-2 的特征向量是k1(1，-1，1) T，其中 k1 是不为 0 的任意常数. 矩阵 B 属于特征值 =1 的特征向最是k2(1，
11、1 ，0) T+k3(-1，0，1) T，其中 k2，k 3 是不全为 0 的任意常数【知识模块】 矩阵的特征与特征向量11 【正确答案】 由 B1=-21，B 2=2，B 3=3 有 B(1， 2， 3)=(-21， 2， 3).于是 B=(-21， 2， 3)(1， 2， 3)-1【知识模块】 矩阵的特征与特征向量12 【正确答案】 按已知条件，(1，2，1) T 是矩阵 A 的特征向量，设特征值是 1，那么 知矩阵 A 的特征值是：2，5，-4 对 =5，由(5E-A)x=0， 得基础解系2=(1， -1，1) T 对 =-4，由(-4E-A)x=0， 得基础解系 3=(-1，0，1)
12、T 因为 A 是实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，故只需把 2， 3 单位化，有 2= （1，-1,1） T， 3= （-1,0,1）.那么令 Q=则 QTAQ=Q-1AQ=【试题解析】 因为 Q 是正交矩阵 Q T=Q-1，所以 QTAQ=A，即 Q-1AQ=AA 的对角线上的元素是 A 的特征值，Q 是 A 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量13 【正确答案】 r(A)=2 知丨 A 丨=0，所以 =0 是 A 的特征值，所以按定义 =1 是 A 的特征值，1=(1， 0，1) T 是 A 属于 =1 的特征向量；A=-1 是 A 的
13、特征值， 2=(1，0，-1) T 是A 属于 =-1 的特征向量设 3=(x1，x 2，x 3)T 是 A 属于特征值 =0 的特征向量，作为实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交，因此1T3=x1+x3=0； 2T3=x1-x3=0；解得 3=（0,1,0） T 故矩阵 A 的特征值为 1，-1，0；特征向量依次为 k1(1，0，1) T，k 2(1，0，-1) T，k 3(0，1，0) T，其中k1，k 2，k 3 均是不为 0 的任意常数【知识模块】 矩阵的特征与特征向量14 【正确答案】 由 A(1， 2， 3)=(1-2，0)，有 A=(1-2，0)( 1， 2， 3)-1
14、=【知识模块】 矩阵的特征与特征向量【知识模块】 矩阵的特征与特征向量15 【正确答案】 由秩 r(A)=2，知丨 A 丨=0，所以 =0 是 A 的另一特征值 因为1=2=6 是实对称矩阵 A 的二重特征值，故 A 的属于特征值 =6 的线性无关的特征向量 有 2 个，因此 1， 2， 3 必线性相关，而 1， 2 是 A 的属于特征值 =6 的线性无关的特征向量 设 =0 所对应的特衙向量为 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交， 1T=x1+x2=0， 2T=2x1+x2+x3=0， 解此方程组得基础解系 =(-1，1，1) T，那么矩阵 A 属于特征
15、值 =0 的特征向量为 k(-11，1) T，k 是不为零的任意常数【知识模块】 矩阵的特征与特征向量16 【正确答案】 令 P=(1， 2， 3)，则 P-1AP=【知识模块】 矩阵的特征与特征向量17 【正确答案】 由矩阵 A 的特征多项式得到矩阵 A 的特征值为 1=2=a+1， 3=a-2对于 =a+1，由(a+1)E-Ax=0.得到 2 个线性无关的特征向量 1=(1，1，0)T， 2=(1，0，1) T对于 =a-2，由(a-2)E-Ax=0 ， 得到特征向量 3=(-1，1，1) T那么，令 P=(1， 2， 3)= 有 P-1AP=A=因为 A 的特征值是 a+1，a+1 ，a-2，故 A-E 的特征值是a，a，a-3所以丨 A-E 丨=a 2(a-3)，【试题解析】 实对称矩阵必可相似对角化，对于 p-1AP=A，其叶 A 的对角线上的元素是 A 的全部特征值，P 的每一列是 A 的对应特征值的特征向量故应从求特征值、特征向量入手【知识模块】 矩阵的特征与特征向量
