1、考研数学三（矩阵的特征与特征向量）模拟试卷 3 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -12 设函数 f(x)在(，+)内有定义，x 00 是函数 f(x)的极大值点，则( ) （A）x 0 必是函数 f(x)的驻点（B） x0 必是函数f( x)的最小值点（C）对一切 x0 都有 f(x)f(x0)（D）x 0 必是函数f(x)的极小值点3 函数 yC 1exC 2e2xxe x 满
2、足的一个微分方程是( ) （A）y-y2y3xe x（B） yy2y3e x（C） yy2y3e x（D）yy2y3xe x4 设 A 为 mn 矩阵，齐次线性方程组 Ax0 仅有零解的充分条件是 ( ) （A）A 的列向量线性相关（B） A 的行向量线性相关（C） A 的行向量线性无关（D）A 的列向量线性无关5 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 为 A 的转置矩阵，则对于线性方程组(I)AX 0 和()ATAx0 必有( ) （A）() 的解是 (I)的解，(I)的解也是()的解（B） (I)的解是 ()的解，但 ()的解不是(I)的解（C） (I)的解不是 ()的解， ()的解也不是(I
3、)的解（D）() 的解是 (I)的解，但(I)的解不是()的解6 设函数 f(u)可导，yf(x 2)当自变量 x 在 x1 处取得增量x01 时，相应的函数增量y 的线性主部为 01，则 f(1)( )7 设 A，B，A+B，A -1+B-1 均为 n 阶可逆矩阵，则(A -1+B-1)-1 等于（A）A -1+B-1（B） A+B（C） A(A+B)-1B（D）(A+B) -18 设向量 可由向量组 1， 2，., m 线性表示，但不能由向量组(I)： 1， 2，., m-1, 线性表示，记向量组()： 1， 2，., m-1，则（A） m 不能由 (I)线性表示，也不能由()线性表示（B
4、） m 不能由(I)线性表示，但可由()线性表示（C） m 可由(I)线性表示，也可由()线性表示（D） m 可由 (I)线性表示，但不可由()线性表示9 设 1， 2， .， s 均为 n 维列向量，A 是 mn 矩阵，下列选项正确的是（A）若 1， 2，.， s 线性相关，则 A1，A 2， .，A s 线性相关（B）若 1， 2，.， s 线性相关，则 A1，A 2，.，A s 线性无关（C）若 1， 2，.， s 线性无关，则 A1，A 2，.，A s 线性相关（D）若 1， 2，.， s 线性无关，则 A1，A 2， .，A s 线性无关10 设 1， 2， .， s 均为 n 维向
5、量，下列结论不正确的是（A）若对于任意一组不全为零的数 k1，k 2， ks，都有 k11+k22+kss0，则 1， 2，. ， s ，线性无关（B）若 1， 2，.， s 线性相关，则对于任意一组不全为零的数k1，k 2，k s，有 k11+k22+kss=0（C） 1， 2，.， s 线性无关的充分必要条件是此向量组的秩为 s.（D） 1， 2，.， s 线性无关的必要条件是其中任意两个向量线性无关11 设 1， 2 是矩阵 A 的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为 1， 2，则1， A(1+2)线性无关的充分必要条件是（A） 10（B） 20（C） 1=0（D） 2=012 设向量
6、组 1， 2， 3 线性无关，则下列向量组线性相关的是（A） 1-2， 2-3， 3-1 （B） 1+2， 2+3， 3+1 （C） 1-22， 2-23， 3-21 （D） 1+22， 2+23， 3+21 13 设向量组 I： 1， 2，.， r 可由向量组： 1， 2，.， s 线性表示下列命题正确 的是（A）若向量组 I 线性无关，则 rs（B）若向量组 I 线性相关，则 rs.（C）若向量组线性无关，则 rs（D）若向量组线性相关，则 rs14 设有任意两个 n 维向量组 1， 2，.， m 和 1， 2，., m， 若存在两组不全为零的数 1， 2，.， m,k1，k 2，.，k
7、m， 使( 1+k1)+2+k2)2+.+(m+km)m+=(1-k1)1+(2-k2)2+( m-km)m=0， 则（A） 1， 2，.， m 和 1， 2，., m 都线性相关（B） 1， 2，.， m 和 1， 2，., m 都线性_无关（C） 1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性无关（D） 1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性相关15 设 A，B 为满足 AB=0 的任意两个非零矩阵，则必有（A）A 的列向量组线性相关，B 的行向鞋组线性相关（B） A 的列向量组线性相关，B 的列向量组线性相关（C） A 的行向量组线性相关，B 的行
8、向量组线性相关（D）A 的行向量组线性相关，B 的列向量组线性相关16 设有向量组 1=(1，-1 ，2，4)， 2=(0，3，1，2)， 3=(3，0，7，14)， 4=(1，-2，2，0) ， 5=(2，1，5，10)，则该向量组的极大线性无关组是（A） 1， 2， 3.（B） 1， 2， 4（C） 1， 2， 5（D） 1， 2， 4， 517 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仪有零解（D）当 mn 时必有非零解18 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*0，若 1， 2， 3，
9、4 是非齐次线性方程组 Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量19 设 A 为 43 矩阵， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax= 的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax= 的通解为（A）( 2+3)/2+k1(2-1)（B） (2-3)/2+k1(2-1) （C） (2+3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)（D）( 2-3)/2+k1(2-1)+k2(3-1)20 已知 1， 2 是非齐次线性方程组 Ax=b 的两个不同的解， 1， 2
10、是对应齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系， k1，k 2 为任意常数，则方程组 Ax=b 的通解必是（A）k 11+k2(1+2)+(1-2)/2（B） k11+k2(1-2)+(1+2)/2（C） k11+k2(1+2)+(1-2)/2（D）k 11+k2(1-2)+(1-2)/221 非齐次线性方程组 Ax=b 中未知量个数为 n，方程个数为 m，系数矩阵 A 的秩为 r，则（A）r=m 时，方程组 Ax=b 有解（B） r=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（C） m=n 时，方程组 Ax=b 有唯一解（D）rn 时，方程组 Ax=b 有无穷多解二、填空题22 设矩阵 A 满足 A2+
11、A-4E=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.23 若四阶矩阵 A 与 B 为相似矩阵，A 的特征值为 12、13、14、15，则行列式B -1E_24 设 n 维向量 =(a，0，0，a) T，a T， B=E+1/a T 其中 A 的逆矩阵为 B，则 a=_.25 设矩阵 A 满足 A2+A-4E=0，其中 E 为单位矩阵，则(A-E) -1=_.26 设行向量组(2，1，1，1)，(2，1，a ，a)，(3， 2，1，a) ，(4，3，2，1)线性相关，且 a1，则 a=_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 设向量 1， 2，.， t 是齐次方程组 A
12、x=0 的一个基础解系，向量 不是方程组Ax=0 的解即 A0试证明：向量组 ，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 考研数学三（矩阵的特征与特征向量）模拟试卷 3 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A，B，A+B 均可逆，则有 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1E)-1 =(B-1BA-1+B-1AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C) 注意，一般情况下(A+B) -1A-1+B-1，不要与转置的性质相混淆【知识模块】 二次型2
13、 【正确答案】 D【知识模块】 二次型3 【正确答案】 C【知识模块】 二次型4 【正确答案】 D【知识模块】 二次型5 【正确答案】 A【知识模块】 二次型6 【正确答案】 0.5【知识模块】 二次型7 【正确答案】 C【试题解析】 因为 A，B，A+B 均可逆，则有 (A -1+B-1)-1=(EA-1+B-1E)-1 =(B-1BA-1+B-1AA-1)-1=B-1(B+A)A-1-1 =(A-1)-1(B+A)-1(B-1)-1=A(A+B)-1B 故应选(C) 注意，一般情况下(A+B) -1A-1+B-1，不要与转置的性质相混淆【知识模块】 矩阵的特征与特征向量8 【正确答案】 B
14、【试题解析】 因为 可由 1， 2，., m 线性表示，故可设 =k11，k 22，.,k mm 由于 不能由 1， 2，., m-1 线性表示，故上述表达式中必有 km0因此 m=1/km(-k11-k22-km-1m-1) 即 m 可由()线性表示，可排除(A)、 (D) 若 m 可由(I)线性表示，设 m=l11+lm-1m-1，则 =(k 1+kml1)1+(k2+kml2)2+(km-1+kmlm-1)m-1 与题设矛盾，故应选 (B)【知识模块】 矩阵的特征与特征向量9 【正确答案】 A【试题解析】 因为(A 1， A2，.，A s=A(1， 2，.， s)，所以 r(A1，A 2
15、， .，A s)r(1， 2，.， s) 因为 1， 2，.， s 线性相关，有r(1， 2，.， s)1，A 2，.，A s)1，A 2，.，A s 线性相关，故应选(A) 注意，当 1， 2，.， s 线性无关时，若秩 r(A)=n，则 A1，A 2，.，A s 线性无关，否则 A1，A 2，.，A s 可以线性相关因此，(C)，(D) 均不正确【知识模块】 矩阵的特征与特征向量10 【正确答案】 B【试题解析】 按线性相关定义：若存在不全为零的数 k1，k 2，k s，使 k11+k22+kss=0， 则称向量组 1， 2，.， s 线性相关 因为线性无关等价于齐次方程组只有零解，那么，
16、若 k1，k 2，k s 不全为 0，则(k 1，k 2，k s)T必不 是齐次方程组的解，即必有 k11+k22+kss0可知(A)是正确的，不应当选 因为“如果 1， 2，.， s 线性相关，则必有 1， 2，.， s+1 线性相关”，所以，若 1， 2，.， s 中有某两个向量线性相关，则必有 1， 2，.， s 线性相关那么 1， 2，.， s 线性无关的必要条件是其任一个部分组必线性无关因此(D)是正确的，不应当选【知识模块】 矩阵的特征与特征向量11 【正确答案】 D【试题解析】 按特征值和特征向量的定义，有 A(1+2)=A1+A2=11+22 1， A(1+2)线性无关 k11
17、+k2A(1+2)=0，k 1，k 2 恒为 0 (k1+1k2)1+2k22=0，k 1，k 2 恒为 0 由于不同特征值的特征向量线性无关 所以 1， 2 线性无关【知识模块】 矩阵的特征与特征向量12 【正确答案】 A【试题解析】 这一类题目，最好把观察法与( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 法相结合 因为 ( 1-2)+(2-3)+(3-1)=0， 所以向量组 1-2， 2-3， 3-1 线性相关，故应选(A) 至于(B)、(C)、(D)的线性无关性可以用( 1， 2， 3)=(1， 2， 3)C 的方法来处理 1+2， 2+3， 3+1 线性无关【知识模块】 矩阵的特征与特征
18、向量13 【正确答案】 A【试题解析】 因为向量组 I 可由线性表出所以 r(1， 2，.， r)r(1， 2，.， s)s 如果向量组 1 线性无关，则 r(1， 2，.， r)=r可见(A)正确。 若 1=(1，0，0) T， 2=(0，0，0) T， 1=(1， 0，0) T， 2=(0，1，0)T， 3=(0，1， 0)T，可知(B) 不 正确。 若 1=(1，0，0) T， 2=(2，0，0)T， 3=(3，0， 0)T， 1=(1，0，0) T， 2=(0，1，0) T，可知(C) 不正确 关于(D)，请同学举一个简单的反例说明其不正确如：当向量组 1 只包含(0，0) T，向量组
19、由(1， 0)T 与(0，0) T 组成时，便可否定选项(B) 与(D)【知识模块】 矩阵的特征与特征向量14 【正确答案】 D【试题解析】 若向量组 1， 2，.， m 线性无关，即 若 x11+x22+xss=0，必有 x1=0，x 2=0，x s=0既然 1， 2，.， m 与 k1，k 2，.，k m 不全为零， 由此推不出某向量组线性无关，故应排除(B)，(C) 一般情况下，对于 k11+k22+kss+l11+l22+lss=0， 不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+l22+lss=0，故(A)不正确 一般情况下，对于 k11+k22+kss+l11+l22+lss
20、=0，不能保证必有 k11+k22+kss=0 及l11+l22+lss=0，故(A)不正确 1(1+1)+2(2+2)+ m(m+m)+k1(1-1)+k2(2-2)+km(m-m)=0，又 1， 2，.， m，k 1，k 2，.，k m 不全为零，故1+1， 2+2， m+m， 1-1， 2-2， m-m 线性相关故应选(D)【知识模块】 矩阵的特征与特征向量15 【正确答案】 A【试题解析】 若设 A=(1，0)，B=(0，1) T，显然 AB=0但矩阵 A 的列向量组线性相关，行向景组线性无关；矩阵 B 的行向量组线性相关，列向量组线性无关由此就可断言选项(A) 正确【知识模块】 矩阵
21、的特征与特征向量16 【正确答案】 B【知识模块】 矩阵的特征与特征向量17 【正确答案】 D【知识模块】 矩阵的特征与特征向量18 【正确答案】 B【试题解析】 因为 12，知 1-2 是 Ax=0 的非零解，故秩 r(A)*0，说 明有代数余子式 Aij0，即丨 A 丨中有 n-1 阶子式非零因此秩 r(A)=n-1那么 n-r(A)=1，即 Ax=0 的基础解系仅含有一个非零解向量应选(B)【知识模块】 矩阵的特征与特征向量19 【正确答案】 C【试题解析】 分析一 因为 1， 2， 3 足 Ax= 的 3 个线性无关的解，那么 2-1， 3-1 是 Ax=0 的 2 个线性无关的解从而
22、 n-r(A)2，即 3-r(A)2 r(A)1 显然 r(A)l，凶此 r(A)=1 由 n-r(A)=3-1=2，知(A)、(B)均不正确 又 A（ 2+3）/2=1/22+1/2A3=,故 1/2(2+3)是方程组 Ax= 的解所以应选(C)， 注意：1/2(2+3)是齐次方程组 Ax=0 的解 分析二 用排除法( 2+3)/2 三是齐次线性方程组 Ax=0 的解，所以可排除选项(B)，(D)；又 2-1， 3-1 线性无关，所以 Ax=0 的基础解系至少包含 2 个解向量，从而可排除选项(A)因此应选(C) 【知识模块】 矩阵的特征与特征向量20 【正确答案】 B【试题解析】 本题考查
23、解的性质与解的结构从 1， 2 是 Ax=0 的基础解系，知Ax=b 的通解形式为 k 11+k21+, 其中， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 是 Ax=b 的解 由解的性质知： 1， 1+2，( 1-2)/2， 1-2,1-2 都是 Ax=0 的解，( 1+2)是Ax=b 的解 那么(A)中没有特解 ，(C) 中既没有特解 ，且 1+2 也不是 Ax=0 的解(D)中虽有特解，但 1， 1-2 的线性相关性不能判定，故(A) 、(C)、(D)均不正确 唯(B) 中，( 1-2)/2 是 Ax=b 的解， 1， 1+2 是 Ax=0 的线性无关的解，是基础解系故应选(B)【知识模块】
24、矩阵的特征与特征向量21 【正确答案】 A【试题解析】 因为 A 是 mn 矩阵，若秩 r(A)=m，则m=r(A)r(A， b)m于是 r(A)=r(A，b) 故方程组有解，即应选(A)或，由 r(a)=m，知 A 的行向量组线性无关，那么其延伸组必线性无关，故增广矩阵(A，b)的 m 个行向量也是线性无关的亦知 r(A)=r(A，b)关于(B) 、(D)不正确的原因是：由 r(A)=n 不能推导出 r(A，b)=n(注意 A 是 mn 矩阵，m 可能大于 n)，由 r(A)=r 亦不能推导出 r(A，b)=r，你能否各举一个简单的例子?至于(C)，由克莱姆法则，r(A)=n 时才有唯一解，
25、而现在的条件是 r(a)=r，因此(C)不正确本题答对的同学仅 40，一是由 r(A)=m 不会分析出 r(A，b)=m，一是由 r(A)=n误认为必有 r(A)=n【知识模块】 矩阵的特征与特征向量二、填空题22 【正确答案】 1/2(A+2E)【试题解析】 矩阵 A 的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞应当考虑用定义法 因为 (A-E)(A+2E)-2E=A 2+A-4E=0 故 (A-E)(A+2E)=2E 按定义知 (A-E) -1=1/2(A+2E)【知识模块】 二次型23 【正确答案】 24【试题解析】 由已知 A 与 B 相似，则 A 与 B 的特征值相同，
26、 即 B 的特征值也为12、13、14、15，从而 B-1E 的特征值为 1，2，3，4，因此B -1E 1.2.3.424【知识模块】 二次型24 【正确答案】 -1【试题解析】 按可逆定义，有 AB=E，即 (E- T)(E+1/aT)=E+1/aT-T-1/aTT 由于 T=2a2，而 T 是秩为 1 的矩阵.【知识模块】 矩阵的特征与特征向量25 【正确答案】 1/2(A+2E)【试题解析】 矩阵 A 的元素没有给出，因此用伴随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞应当考虑用定 义法 因为 (A-E)(A+2E)-2E=A 2+A-4E=0 故 (A-E)(A+2E)=2E 按定义知 (A-
27、E) -1=1/2(A+2E)【知识模块】 矩阵的特征与特征向量26 【正确答案】 1/2【知识模块】 矩阵的特征与特征向量三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。27 【正确答案】 若有一组数 k,k1，k 2，.，k t，使得 k+k1(+1)+k2(+2)+kt(+t)=0， 则因 1， 2，.， t 是 Ax=0 的解，知 Ai=0(i=1，2，t)，用 A 左乘上式的两边，有 (k+k 1+k2+kt)A=0 由于 A0，故k+k1+k2+kt=0 对重新分组为(k+k 1+kt)+k11+k22+ktt=0 把代入，得 k11+k22+ktt=0 由于 1， 2，.， t
28、 是基础解系，它们线性无关，故必有 k1=0，k 2=0，k t=0 代人式得：k=0 因此，向量组，+ 1，+ 2，+ t 线性无关 经初等变换向量组的秩不变把第 1 列的-1倍分别加至其余各列，有 (，+ 1，+ 2，+ t)( ， 1， 2，.， t) 因此 r(，+ 1，+ 2，+ t)=r(,1， 2，.， t) 由于 1， 2，.， t 是基础解系，它们是线性无关的，秩 r(1， 2，.， t)=t，又 必不能由 1， 2，.， t 线性表出(否则 Aft=0)，故 r(1， 2，.， t,)=t+1 所以 r(，+ 1，+ 2，+ t)=t+1 即向量组 ， +1，+ 2，+ t 线性无关【知识模块】 矩阵的特征与特征向量
