1、考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）模拟试卷 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 矩阵 A= 的特征值是（A）1，1，0（B） 1，-1，-2（C） 1，-1，2（D）1，1，22 矩阵 A= 的特征向量是（A）(1 ，2，-1) T（B） (1，-1 ，2) T（C） (1，-2 ，3) T（D）(-1，1 ，-2) T二、填空题3 设 A 是 n 阶矩阵，=2 是 A 的一个特征值，则 2A2-3A+5E 必有特征值_.4 已知 A，B 都是凡阶矩阵，且 P-1AP=B，若 a 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则矩阵 B 必有特征向
2、量_5 已知矩阵 A= 的特征值之和为 3，特征值之积为 -24，则b=_6 设 ， 均为 3 维列向量，且满足 T=5，则矩阵 T 的特征值为_7 设 A 是 3 阶矩阵，如果矩阵 A 的每行元素之和都为 2，则矩阵 A 必有特征向量_8 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T 如果 A 的另外两个特征值是 2 和-1，又 =2 的特征向量是(2，0，-1) T，则 =-1 的特征向量是_.9 已知 A 是 3 阶实对称矩阵，且 A=，其中 =(1，1，2) T 如果 A 的另外两个特征值是 3(二重根) ，则 =3 的特征向量是_.10 已知 =12 是 A=
3、 的特征值，则 a=_.11 已知 A= 有 3 个线性无关的特征向量，则 x=_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 若 1， 2 是矩阵 A 不同的特征值， 1 是对应于 1 的特征向量，则 1 不是 2 的特征向量13 已知 A= ，求可逆矩阵 P，使 P-1AP=A14 求 A= 的特征值与特征向量.15 求 A= 的特征值与特征向量16 已知 A 是 n 阶矩阵，满足 A2-2A-3E=0，求矩阵 A 的特征值17 设 A 是 3 阶矩阵 1， 2， 3 是 3 维线性无关的列向量，且 A1=1-2+33， A2=41-32+53， A 3=0. 求矩阵 A 的特征
4、值和特征向量18 设 A 是 n 阶矩阵，A=E+xy T，x 与 y 都是 n1 矩阵，且 xTy=2，求 A 的特征值、特征向量19 已知 A，B 均是 3 阶非零矩阵，且 A2=A，B 2=B，AB=BA=0，证明 0 和 1 必是A 与 B 的特征值，并且若 是 A 关于 =1 的特征向量，则 必是 B 关于 =0 的特征向量20 已知 A= 有特征值1，问 A 能否对角化?说明理由21 已知 =0 是 A= 的特征值，判断 A 能否对角化，并说明理由22 设矩阵 A= 的特征值有一个二重根，求 a 的值，并讨论矩阵 A是否可相似对角化23 设 A 是 n 阶矩阵，A 2=A， r(A
5、)=r，证明 A 能对角化，并求 A 的相似标准形24 已知 A= ，求可逆矩阵 P，化 A 为相似标准形 A，并写出对角矩阵 A25 已知 A= 是 n 阶矩阵，求 A 的特征值、特征向量并求可逆矩阵 P 使 P-1AP=A26 设矩阵 A 与 B 相似，且 A= 求可逆矩阵P，使 P-1AP=B27 设 A 为 3 阶矩阵， 1， 2， 3 是线性无关的 3 维列向量，且满足A1=1+2+3，A 2=22+3，A 3=22+33 () 求矩阵 A 的特征值；()求可逆矩阵 P 使 P-1AP=A28 已知矩阵 A 与 B 相似，其中 A= 求 a，b 的值及矩阵 P，使 P-1AP=B29
6、 已知 = 的特征向量，求 a，b 的值，并证明 A的任一特征向量均能由 线性表出30 已知 A= ，且 AB，求 a，b，c 的值考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）模拟试卷 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 本题可以南特征方程E-A=0，即直接求出 A 的特征值，再来确定选项 但也可以利用 (5.3)来解.由于a ij，故(B)，(D)应排除.那么，只要再计算A的值就可知应选(A)还是选(C)(如A=0，选(A)，否则选 (C).【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量2 【正确答案】 C【试题解析】 如果(1
7、，-1，2) T 是矩阵 A 的特征向量，则(-1，1，-2) T 亦是 A 的特征向量所以(B)，(D) 均错误又，所以(A)不正确，故应选(C)事实上由 ，知(1，-2，3)T 是矩阵 A 特征值 =6 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量二、填空题3 【正确答案】 7【试题解析】 如 A=，则 A2=A()=A=2 因此(2A 2-3A+5E)=2A2-3A+5=(22-3+5) 所以 2.22-3.2+5=7 必是 A 的特征值【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量4 【正确答案】 P -1【试题解析】 因 P-1AP=B=P-1()=(P-1)所以 B 必有特征向量 P-1.
8、【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量5 【正确答案】 -3【试题解析】 由公式(53)知 a+3+(-1)=i=3， 则 a=1又=5b-9=-24所以，b=-3【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量6 【正确答案】 5，0，0【试题解析】 因为矩阵 A=T 的秩为 1，由公式(5.2) 的特例知，矩阵 A 的特征值为a ii，0，0. 又因矩阵特征值之和等于矩阵的迹(即矩阵主对角线元素之和)，由于T=T 正是矩阵的迹，所以矩阵 T 的特征值为 5，0，0 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量7 【正确答案】 (1，1，1) T【试题解析】 由于矩阵 A 的每行元素之和都为 2，所以有可见矩阵A
9、 必有特征向量(1，1，1) T【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量8 【正确答案】 k(1，-5 ，2) T，k0【试题解析】 对于实对称矩阵，特征值不同特征向量相互正交设 =-1 的特征向量是(x 1，x 2，x 2)T，则 得基础解系(1，-5，2) T 所以 =-1 的特征向量是 k(1，-5，2) T，k0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量9 【正确答案】 k 1(-1，1，0) T+k2(-2，0，1) T，k 1，k 2 不全为 0【试题解析】 设 =3 的特征向量是(x 1，x 2，x 3)T，则 x 1+x2+2x3=0， 得基础解系(-1，1，0) T，(-2，0，1)
10、T 所以 =3 的特征向量是 k1(-1，1，0) T+k2(-2，0，1)T，k 1， k2 不全为 0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量10 【正确答案】 4【试题解析】 由于 =12 是矩阵 A 的特征值，故12E-A =0，即所以 a=4 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量11 【正确答案】 0【试题解析】 由 A 的特征方程E-A= =(-1)(2-1)=0，得到特征值 =1(二重)，=-1 因为 A 有 3 个线性无关的特征向量，故 =1 必须有两个线性无关的特征向量(59)那么，必有 r(E-A)=3-2=1于是由【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量三、解答题解答应写出文字说
11、明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 (反证法) 若 1 是 2 所对应的特征向量，则 11=A1=21于是(1-2)1=0 从 12 得到 1=0，与特征向量非零相矛盾.【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量13 【正确答案】 由E-A= =(-3)2=0，得矩阵 A 的特征值 1=2=3， 3=0当 =3 时，对(3E-A)x=0， 3E-A=得特征向量 1=(1，-2，0) T， 2=(0，0，1) T当 =0时，对(OE-A)x=0， OE-A= 得特征向量 3=(-1，-1，1) T那么，令 P=(1， 2， 3)=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量14 【正确答案】 E-A
12、= =(-7)(2-5-14)=(-7)2(+2)，当 =7 时，7E-A=当 =-2 时，-2E-A=所以 A 的特征值是 1=2=7， 3=-2，相应的特征向量分别是 k 11+k22，k 33，其中(k 1，k 2)(0，0)，k 30【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量15 【正确答案】 E-A= =(-1)2-(2a+1)A+4a-2=(-1)(-2)-(2a-1)，当 =1 时，E-A=当 =2 时，2E-A=当 =2a-1 时，(2a-1)E-A=若 a=1，即 =1，显然其特征向量就是 1所以，A 的特征值是 1，2，2a-1；相应的特征向量依次是 k11，k 22，k 33(
13、k1，k 2，k 3 全不为 0) 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量16 【正确答案】 设 是矩阵 A 的任意一个特征值， 是 所对应的特征向量，即A=，0那么(A 2-2A-3E)=所以矩阵 A 的特征值是 3 或-1 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量17 【正确答案】 由 A3=0=03，知 =0 是 A 的特征值， 3 是 =0 的特征向量由已知条件，有 A( 1， 2， 32)=(1-2+33，4 1-32+53，0)=( 1， 2， 3)记 P=(1， 2， 3)，由 1， 2， 3 线性无关，知矩阵 P 可逆，进而P-1AP=B， 其中 B= 因为相似矩阵有相同的特征值，而
14、矩阵 B 的特征多项式E-B= =(+1)2，所以矩阵 A 的特征值是：-1，-1，0 对于矩阵 B， 所以矩阵 B 关于特征值 =-1 的特征向量是 =(-2，1，1) T若 B=，即(P -1AP)=，亦即 (P)=(P)，那么矩阵 A 关于特征值 -1 的特征向量是 P=(1， 2， 3) =-21+2+3 因此 k1(-21+2+3)，k 23 分别是矩阵 A 关于特征值 =-1 和 =0 的特征向量，(k 1k20) 【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量18 【正确答案】 令 B=xyT= (y1，y 2，y n)，则 B2=(xyT)(xyT)=x(yTx)yT=2xyT=2B，可
15、见 B 的特征值只能是 0 或 2 因为 r(B)=1，故齐次方程组 Bx=0 的基础解系由 n-1 个向量组成，则基础解系是： 1=(-y2，y 1，0，0) T， 2=(-y3，0，y 1，0) T， n-1=(-yn，0，0，y 1)T.这正是 B 的关于 =0，也就是 A 关于 =1 的，n-1 个线性无关的特征向量 由于B2=2B，对 B 按列分块，记 B=(1， 2， n)，则 B(1， 2， n)=2(1， 2， n)，即 Bi=2i可见 n=(x1，x 2， ，x n)T 是 B 关于 =2，也就是 A 关于 =3 的特征向量 那么，A 的特征值是 1(n-1 重)和 3，特征
16、向量分别是 k11+k22+kn-1n-1，k nn，其中 k1，k 2，k n-1 不全为 0，k n0【试题解析】 令 B=xyT，则 A=E+B，如 是 B 的特征值， 是对应的特征向量，那么 Aa=(B+E)=+=(+1) 可见 +1 就是 A 的特征值， 是 A 关于 +1 的特征向量反之，若 A=，则有 B=(-1) 所以，为求 A 的特征值、特征向量就可转化为求 B 的特征值、特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量19 【正确答案】 由于 A2=A，则 A 的特征值只能是 0 或 1，又因(A-E)A=0，A0，知齐次方程组(A-E)x=0 有非零解，故A-E=0 ，即 =
17、1 必是 A 的特征值据AB=0，B0，得 Ax=0 有非零解，那么0E-A =A=0，故 0 必是 A 的特征值 由于已知条件的对称性，0 与 1 必是 B 的特征值对于 A=，同时左乘矩阵B，得 B=B(A)=(BA)=0=0=0， 所以 是矩阵 B 关于 =0 的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量20 【正确答案】 由于1 是 A 的特征值，将其代入特征方程，有据(53)，+(-1)+3=2+(-3)+(-1)得 3=-2那么，A 有 3 个不同的特征值，故 A 可以对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量21 【正确答案】 因为 =0 是特征值，故由由特征多项式E-A=2(
18、-1)，知 =0 是 A 的二重特征值由于 r(0E-A)=r(A)=2，那么 n=r(0E-A)=1，说明齐次方程组(0E-A)x=0 只有一个线性无关的解，亦即 1=2=0 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量22 【正确答案】 矩阵 A 的特征多项式为E-A= =(-2)(2-8+18+3a)，() 如果 =2 是单根，则 2-8+18+3a 是完全平方，那么有18+3a=16，即 a= 由于矩阵 A 的特征值是 2，4，4，而秩 r(4E-A)=2，故 =4 只有一个线性无关的特征向量，从而 A 不能相似对角化 () 如果 =2 是二
19、重特征值，则 2-8+18+3a=(-2)(-6)，那么有18+3a=12，即 a=-2由于矩阵 A 的特征值是 2，2，6，而秩 r(2E-A)=1，故 A=2 有 2 个线性无关的特征向量从而 A 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量23 【正确答案】 对 A 按列分块，记 A=(1， 2， ， n)由 r(A)=r，知 A 中有 r个列向量线性无关，不妨设为 1， 2， n，因为 A2=A，即 A( 1， 2， n)=(1， 2， n)，所以 A 1=1=1.， ， A r=2r=1.r那么 =1 是 A 的特征值， 1， 2， ， r 是其线性无关的特征向量 对于齐次线性
20、方程组 Ax=0，其基础解系由 n-r(A)=n-r 个向量组成因此，0 是 A 的特征值，基础解系是 =0 的特征向量从而 A 有 n 个线性无关的特征向量，A 可以对角化(=1 是 r 重根，=0 是，n-r 重根)，且有【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量24 【正确答案】 先求 A 的特征值、特征向量由特征多项式，有 E-A=(+1)(2+)，于是 A 的特征值是 -1(二重)，0对 =-1，解齐次方程组(-E-A)x=0， 得到特征向量 1=(-2，1，0) T， 2=(1，0，1) T对 =0，解方程组 Ax=0，得特征向量 3=(2，0，1) t令 P=(1， 2， 3)=【知识
21、模块】 矩阵的特征值与特征向量25 【正确答案】 由 A 的特征多项式，得=(-2n+1)(-+1)N-1，所以 A 的特征值为 1=2n-1， A2=N-1(n-1 重根)对于 1=2n-1，解齐次方程组( 1E-A)x=0，得到基础解系 1=(1，1，1) T 对于 2=n-1，齐次方程组( 2E-A)x=0 等价于x1+x2+xn=0，得到基础解系 2=(-1，1，0， 0)T， 3=(-1，0，1，0)T， ， n=(-1，0，0， ，1) T，所以 A 的特征向量是：k 11 及k22+k33+knn令 P=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量26 【正确答案】 由于 AB，据(55
22、)及(57)有由 AB ，知 A 与 B 有相同的特征值，于是 A 的特征值是 1=2=2， 3=6 当 =2 时，解齐次线性方程组(2E-A)x=0 得到基础解系为 1=(1，-1，0) T， 2=(1，0，1) T，即 =2 的线性无关的特征向量 当 =6 时，解齐次线性方程组(6E-A)x=0 得到基础解系是(1，-2 ，3) T，即 =6的特征向量那么，令 P=(1， 2， 3)= ，则有 P-1AP=B【试题解析】 A 与对角矩阵 B 相似，为求矩阵 P 应当用相似的性质先求出a，b，然后再求 A 的特征值与特征向量可逆矩阵 P 即为特征值 2 和 b 对应的线性无关特征向量构成的矩
23、阵【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量27 【正确答案】 () 由已知条件有 A(1， 2， 3)=(1+2+3，2 2+3，2 2+33)=(1， 2， 3) 记 P1=(1， 2， 3)，B= ，则有 AP1=P1B因为 1， 2， 3 线性无关，矩阵 P 可逆，所以 P1-1AP1=B，即矩阵 A 与 B 相似由E-B= =(-1)2(-4)，知矩阵 B 的特征值是1，1，4，故矩阵 A 的特征值是 1，1，4 ()对矩阵 B，由(E-B)x=0 ，得 =1 的特征向量 1=(-1，1，0) T， 2=(-2，0，1) T；由(4E-B)x=0，得 =4 的特征向量3=(0，1，1) T
24、那么令 P2=(1， 2， 3)=故当 P=P1P2=(1， 2， 3) =(-1+12，-2 1+3， 2+3)时，P -1AP=A=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量28 【正确答案】 由 AB，知 a=7，b=-2从矩阵 A 的特征多项式E-A = =2-4-5，得到 A 的特征值是 1=5， 2=-1它亦是 B 的特征值 解齐次线性方程组(5E-A)x=0，(-E-A)x=0 可得到矩阵 A 的属于1=5， 2=-1 的特征向量 1=(1，1) T 与 2=(-2，1) T 解齐次线性方程组(5E-B)x=0，(-E-B)x=0 得到 B 的特征向量分别是 1=(-7， 1)T， 2
25、=(-1，1) T那么，令 P1=即 P2P1-1AP1P2-1=B可见，取 P=P1P2-1= ，就有 P-1AP=B【试题解析】 由A= 12=-50，知 AA，因而可求可逆矩阵 P1 和 P2，使 P1-1AP1=P2-1BP2=A，那么 P=P1P2-1【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量29 【正确答案】 按特征向量的定义，设 是 A 所对应的特征向量，则 A=，即由E-A= 3-2+(-3)+(-2)+(-1+6-2)2-(-1)=(+1)3，知 =-1 是 A 的三重特征值又因r(-E-A)= =2，从而 =-1 对应的线性无关的特征向量只有一个所以 A 的特征向量均可由 线性表出【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量30 【正确答案】 由于 AB，它们有相同的特征值，相同的迹，又因 B 是上三角矩阵，故 0，-1，-1 是 B 的特征值，于是由【试题解析】 由于相似矩阵有相同的特征值(54)，B 是上三角矩阵，故 0，-1，-1 就是 B 的特征值，因而也就是 A 的特征值，故 A=0，-E-A=0，再利用(5 3)就可得到以 a，b，c 为未知数的方程组【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量
