1、考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）模拟试卷 3 及答案与解析一、填空题1 设 A 是 3 阶实对称矩阵，特征值是 0，1，2如果 =0 与 =1 的特征向量分别是1=(1， 2，1) T 与 2=(1，-1，1) T，则 =2 的特征向量是_2 已知 A= 相似，则 x=_，y=_3 已知矩阵 A= 有两个线性无关的特征向量，则 a=_4 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x1+x2)2+(x2-x3)2+(x3+x1)2 的正、负惯性指数分别为p=_，q=_5 二次型 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=2x22+2x32+4x1x2-4x1x3+8x2x3 的矩阵 A=_，
2、规范形是_6 假设二次型 f(x1，x 2，x 3)=(x+ax2-2x3)2+(2x2+3x3)2+(x1+3x2+ax3)2 正定，则 a 的取值为_二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 已知 A= ，求 A 的特征值、特征向量，并判断 A 能否对角化，说明理由8 已知 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，求 A*的特征值与特征向量9 已知 A= 可对角化，求可逆矩阵 P 及对角矩阵 A，使 P-1AP=A10 已知 A 暑 3 阶不可可矩阵，-1 和 2 是 A 的特征值B=A 2-A-2E，求 B 的特征值，并问 B 能否相似对角化，并说明理由11 设 3 阶矩阵 A 的
3、特征值 =1，=2，=3 对应的特征向量依次为 1=(1，1，1)T， 2=(1，2，4) T， 3=(1， 3，9) T () 将向量 =(1，1，3) T 用 1， 2， 3 线性表出： ( )求 An12 设矩阵 A= 是矩阵 A*的特征向量，其中 A*是 A的伴随矩阵，求 a，b 的值13 设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2， 1=2=6 是 A 的二重特征值，若 1=(1，1，0)T， 2=(2，1，1) T， 3=(-1，2，-3) T 都是 A 属于 =6 的特征向量，求矩阵 A14 已知 AB，A 2=A，证明 B2=B15 已知 A2=0，A0，证明 A 不能相似对角化16
4、 已知 1， 2， 3 是 A 的特征值， 1， 2， 3 是相应的特征向量且线性无关，如1+2+3 仍是 A 的特征向量，则 1=2=317 设 A= 18 设 A=(aij)是秩为 n 的 n 阶实对称矩阵，A ij 是 A中元素 aij 的代数余子式(i，j=1，2，n)，二次型 f(x1，x 2，x n)= ()记X=(x1，x 2，x n)T，试写出二次型 f(x1，x 2，x n)的矩阵形式； ()判断二次型 g(X)=XTAX 与 f(X)的规范形是否相同，并说明理由19 求正交变换化二次型 2x 32-2x1x2+2x1x3-2x2x3 为标准形，并写出所用正交变换20 已知
5、=(1，-2 ，2) T 是二次型 xTAx=ax12+4x22+bx32-4x1x2+4x1x3-8x2x3 矩阵 A 的特征向量，求正交变换化二次型为标准形，并写出所用正交变换21 设二次犁 x12+x22+x32-4x1x2-4x1x3+2ax2x3 经正交变换化为 3y12+3y22+6y32，求a，b 的值及所用正交变换22 已知二次型 f(x1，x 2，x 2)=(1-a)x12+(1-a)x22+2x32+2(1+a)x1x2 的秩为 2. ()求 a 的值； ( )求正交变换 x=Qy，把 f(x1，x 2，x 3)化成标准形； ()求方程 f(x1，x 2，x 3)=0 的解
6、23 设二次型 f(x 1，x 2，x 3)=ax12+ax22+(a-1)x32+2x1x3-2x2x3， ()求二次型 f 的矩阵的所有特征值； () 若二次型 f 的规范形为 y12+y22，求 a 的值24 设三元二次型 xTAx=x12+ax22+x32+2x1x2-2x2x3-2ax1x3 的正、负惯性指数都是1，( )求 a 的值，并用正交变换化二次型为标准形；()如 B=A3-5A+E，求二次型 xTBx 的规范形25 已知三元二次型 xTAx 的秩为 2，且 求此二次型的表达式，并求正交变换 x=Qy 化二次型为标准形26 用配方法把二次型 2x32-2x1x2+2x1x3-
7、2x2x3 化为标准形，并写出所用坐标变换27 用配方法化二次型 x1x2+2x2x3 为标准形，并写出所用满秩线性变换28 判断 3 元二次型 f=x12+5x22+x32+4x1x2-4x2x3 的正定性29 判断 n 元二次型 的正定性考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）模拟试卷 3 答案与解析一、填空题1 【正确答案】 t(-1 ，0， 1)T，t0【试题解析】 设 =2的特征向量是 =(x1，x 2，x 3)，则因实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交故有 所以 =2的特征向量是 t(-1，0，1) T，t0【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量2 【正确答案】 0，1【试题解
8、析】 由 AB，知 ，且-1 是 A 的特征值，即【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量3 【正确答案】 -1【试题解析】 由 A 的特征多项式E-A= =(+1)3，知矩阵A 的特征值是 =-1(三重根 )，因为 A 只有 2 个线性无关的特征向量，故从而 a=-1【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量4 【正确答案】 2，0【试题解析】 由于二次型的标准形是 所以 p=2q=0【知识模块】 二次型5 【正确答案】 2，6，-4；x 12+x22-x32【试题解析】 按定义，二次型矩阵 A= 由特征多项式E-A=(-6)(-2)(+4)，知矩阵 A 的特征值是：2，6，-4 故正交变换下二次型的
9、标准形是 2y21+6y22-4y23所以规范形是 x21+x22-x23 或，由配方法，有 f=2x22+2x2(x1+2x3)+(x1+2x3)2+2x32-4x1x3-2(x1+2x3)2=2(x2+x1+2x3)2-2x12-12x1x3-6x32=2(x2+x1+2x3)2-2(x12+6x1x3+9x32)+12x32=2(x2+x1+2x3)2-2(x1+3x3)2+12x32，亦知规范形是 x12+x22-x32【知识模块】 二次型6 【正确答案】 1【试题解析】 (x1，x 2，x 3)恒有平方和 f(x1，x 2，x 3)0，其中等号成立的充分必要条件是按正定定义，f 正定
10、 =(x1，x 2， 3)T0，恒有 f(x1，x 2，x 3)0因此，本题中二次型 f 正定 方程组(*)只有零解 所以 a 的取值为 a1【知识模块】 二次型二、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。7 【正确答案】 由特征多项式E-A= =(-2)(+1)2，得到矩阵 A 的特征值 1=2， 2=3=-1 由(2E-A)x=0 得基础解系 1=(5，-2，9) T，即 -2的特征向量是 k11(k10) 由(-E-A)x=0 得基础解系 2=(1，-1，0) T，即 =-1 的特征向量是 k22(k20) 因为矩阵 A 只有 2 个线性无关的特征向量，所以 A 不能相似对角化【知
11、识模块】 矩阵的特征值与特征向量8 【正确答案】 因为 A= =B-E，而 r(B)=1，则有E-B= 3-62所以矩阵 B 的特征值是 6，0，0 故矩阵 A 的特征值是 5，-1，-1又行列式A=5，因此 A*的特征值是 1，-5 ，-5 矩阵 B 属于 =6 的特征向量是 1=(1， 1，1) T，属于 =0 的特征向量是 2=(-1，1，0) T 和 3=(-1，0，1) T因此 A*属于 =1 的特征向量是 k11(k10)，属于 =-5 的特征向量是 k22+k33(k2，k 3不全为 0)【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量9 【正确答案】 由特征多项式E-A= =(-1)2(+
12、2)，知矩阵 A 的特征值为 1=2=1， 3=-2因为矩阵 A 可以相似对角化，故 r(E-A)=1而所以 x=6 当 =1 时，由(E-A)x=0 得基础解系 1=(-2，1，0) T， 2=(0，0，1) T 当 =-2 时，由 (-2E-A)x=0 得基础解系 3=(-5，1，3) T那么，令 P=(1， 2， 3)=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量10 【正确答案】 因为矩阵 A 不可逆，有A=0，从而 =0 是 A 的特征值由于矩阵 A 有 3 个不同的特征值，则 AA= 于是 P-1AP=A那么 P-1A2P=A2因此 P-1BP=P-1A2P-P-1AP-2E= 所以矩阵
13、B 的特征值是1=2=0， 3=-2，且 B 可以相似对角化.【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量11 【正确答案】 () 设 x11+x22+x33=，即故 =21-22+3 ()A=2A 1-2A2+A3，则 An=2An1-2An2+An3=21-2.2n2+3n3=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量12 【正确答案】 设 A*=，由 AA*=AE，有A=A，即-：(A-2)=0由矩阵 A 可逆，知 A*可逆那么特征值 0，所以 a=2b- ：(b 2+b-2)=0 知 b=1 或 b=-2【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量13 【正确答案】 由 r(A)=2 知A=0，所以 A=0
14、 是 A 的另一特征值 因为1=2=6 是实对称矩阵的二重特征值，故 A 属于 =6 的线性无关的特征向量有 2 个，因此 1， 2， 3 必线性相关，显然 1， 2 线性无关 设矩阵 A 属于 =0 的特征向量 =(x1，x 2，x 3)T，由于实对称矩阵不同特征值的特征向量相互正交，故有解出此方程组的基础解系 =(-1，1，1) T 那么A(1， 2，)=(6 1，6 2，0)，从而 A=(61，6 2，0)( 1， 2，) -1=【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量14 【正确答案】 因为 AB，有 P-1AP=B，那么 B2=P-1A2P=P-1AP=B【知识模块】 矩阵的特征值与特征
15、向量15 【正确答案】 设 A=，0，那么 A2=2=0从而 =0 又因 A0，r(A)1，所以 Ax=0 的基础解系有 n-r(A)个向量，即 =0 有 n-r(A)个线性无关的特征向量 又 n-r(A)n，所以 A 不能相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值与特征向量16 【正确答案】 若 1+2+3 是矩阵 A 属于特征值 A 的特征向量，即 A( 1+2+3)=(1+2+3) 又 A(1+2+3)=A1+A2+A3=11+22+33，于是 (- 1)1+(-2)2+(-3)3=0 因为 1， 2， 3 线性无关，故 - 1=0，- 2=0，- 3=0 即1=2=3【知识模块】 矩阵的特征
16、值与特征向量17 【正确答案】 因为有可逆矩阵或者，由二次型 xTAx=x12+2x22 与 xTBx=3x12+4x22 有相同的正惯性指数 p=2 及相同的负惯性指数 q=0 而知 A B【知识模块】 二次型18 【正确答案】 () 因为 r(A)=n，故 A 是可逆的实对称矩阵，于是 (A-1)T=(AT)-1=A-1，即 A-1 是实对称矩阵，那么 是对称的，因而 A*是实对称矩阵，可见Aij=Aji(i，j=1，2，n)，于是因此，二次型f 的矩阵表示为 XTA-1X，其二次型矩阵为 A-1 ()因为 A，A -1 均是可逆的实对称矩阵，且(A -1)TAA-1=(A-1)TE=(A
17、T)-1=A-1所以 A 与 A-1 合同于是 g(X)与 f(X)有相同的规范形【试题解析】 按定义，若 f(X)=XTBX，其中 B 是实对称矩阵，则 XTBX 就是二次型 f 的矩阵表示，而两个二次型的规范形是否一样关键是看正负惯性指数是否一致【知识模块】 二次型19 【正确答案】 二次型矩阵是 A= 由特征多项式E-A=(+1)(2-3)，得到 A 的特征值是3，-1， 0对 =3，由(3E-A)x=0，即 ，解得1=(1， -1，2) T类似地，对 =-1， 2=(1，1，0) T； =0 时， 3=(-1，1，1) T特征值无重根，仅需单位化：【知识模块】 二次型20 【正确答案】
18、 二次型矩阵 A= 设 =(1，-2，2) T 是矩阵 A 属于特征值 的特征向量，则可知矩阵 A 的特征值为 0，0，9 对 =0，由(0E-A)x=0 得基础解系 1=(2，1，0) T， 2=(-2，0，1) T 因为 1， 2 不正交，故需 Sehmidt 正交化，即把1， 2， 单位化，得那么经正交变换 因此，二次型化为标准形xTAx=yTAy=9y32【知识模块】 二次型21 【正确答案】 二次型及其标准形的矩阵分别是 A=由于是用正交变换化为标准形，故 A 与 B不仅合同而且相似那么对 =3，由(3E-A)x=0 得特征向量 1=(1，-1，0) T， 2=(1，0，-1) T；
19、 对 =-3，由(-3E-A)x=0得特征向量 3=(1，1，1) T因为 =3 是二重根，对 1， 2 正交化有 1=1=(1，-1，0) T， 【知识模块】 二次型22 【正确答案】 () 二次型矩阵 A= 二次型的秩为 2，即二次型矩阵 A 的秩为 2，从而 A= =-8a=0，解得 a=0()当a=0 时，A= ，由特征多项式E-A= =(-2)(-1)2-1=(-2)2，得矩阵 A 的特征值 1=2=2， 3=0当 =2 时，由(2E-A)x=0，得特征向量 1=(110) T 2=(0，0，1) T当=0 时，由(0E-A)x=0， ，得特征向量 3=(1，-1，0) T容易看出，
20、 1， 2， 3 已两两正交，故只需将它们单位化：()由 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+2x32+2x1x2=(x1+x2)2+2x32=0，得 所以方程 f(x1，x 2， x3)=0 的通解为：k(1，-1，0) T，其中 k 为任意常数.【知识模块】 二次型23 【正确答案】 () 二次型 f 的矩阵为 A= ，其特征多项式为E-A= =(-a)-(a+1)-(a-2)，所以二次型 f 矩阵 A 的特征值为 1=a， 2=a+1， 3=a-2 ()因为二次型 f 的规范形是 y12+y22，所以二次型矩阵 A 的特征值为：2 个正数，1 个 0 由于 a-2aa+1，所以
21、a-2=0，即 a=2【知识模块】 二次型24 【正确答案】 () 二次型矩阵是 A= 由于 r(A)=p+q=2，所以A=-(a-1) 2(a+2)=0若 a=1，则 r(A)=1 不合题意，舍去若 a=-2，由特征多项式E-A = =(-3)(+3)，得出 A 的特征值为3 与0p=q=1 合于所求故 a=-2 当 =3 时，由(3E-A)x=0，得特征向量1=(1， 0，1) T； 当 =-3 时，由 (-3E-A)x=0，得特征向量 2=(1，-2，-1) T； 当 =0时，由(0E-A)x=0，得特征向量 3=(-1，-1，1) T 由于特征值不同特征向量已正交，单位化得 那么令Q=
22、(1， 2， 3)，则经正交变换 x=Qy，有 f=xTAx=yTAy=3y12-3y22 ( )如 A=，则 An=n，那么 B=(A3-5A+E)=(3-5+1)因为 A 的特征值是 3，-3，0，所以B 的特征值是 13，-11，1从而 xTBx 的规范形是 y12+y22-y32【知识模块】 二次型25 【正确答案】 二次型 xTAx 的秩为 2，即 r(A)=2，所以 =0 是 A 的特征值又所以 3 是 A 的特征值，(1，2， 1)T 是 3 的特征向量；-1 也是 A 的特征值， (1，-1，1) T 是-1 的特征向量 因为实对称矩阵特征值不同特征向量相互正交，设 =0 的特征向量是(x 1，x 2，x 3)T，则有【知识模块】 二次型26 【正确答案】 【知识模块】 二次型27 【正确答案】 令【试题解析】 二次型中不含平方项，故应先作一次坐标变换构造出平方项，再按前例实施配方【知识模块】 二次型28 【正确答案】 用配方法化 f 为标准形 f=(x1+2x2)2+(x2-2x3)2-3x32 由于正惯性指数 p=23，所以 f 不是正定二次型 【知识模块】 二次型29 【正确答案】 (顺序主子式) 二次型矩阵 其顺序主子式由于顺序主子式全大于 0，所以二次型正定【知识模块】 二次型
