1、考研数学三（矩阵的特征值与特征向量、二次型）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 A= 则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不合同但相似（D）既不合同也不相似2 下列矩阵中，正定矩阵是3 与矩阵 A= 合同的矩阵是4 设 A= ，则 A 与 B（A）合同且相似（B）合同但不相似（C）不舍同但相似（D）不合同也不相似5 设 A，B 均为 n 阶实对称矩阵，则 A 与 B 合同的充要条件是（A）A，B 有相同的特征值（B） A，B 有相同的秩（C） A，B 有相同的行列式（D）A，B 有相同的正负惯性指数6 二次型 x
2、TAx 正定的充要条件是（A）负惯性指数为零（B）存在可逆矩阵 P，使 P-1AP=E（C） A 的特征值全大于零（D）存在 n 阶矩阵 C，使 A=CTC二、填空题7 二次型 f(x1，x 2，x 3)=(a1x1+a2x2+a3x3)2 的矩阵是_8 二次型 f(x2，x 2，x 3)=x22+2x1x3 的负惯性指数 q=_9 若二次型 2x12+x22+x32+2x1x2+2tx2x3 的秩为 2，则 t=_10 已知二次型 f(x1，x 2，x 3)=x12+x22+cx32+2ax1x2+2x1x3 经正交变换化为标准形y12+2y32，则 a=_.11 设三元二次型 x12+x2
3、2+5x32+2tx1x2-2x1x3+4x2x3 是正定二次型，则 t_12 已知 A= ，矩阵 B=A+kE 正定，则 k 的取值为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 设 A，B 均是 n 阶正定矩阵，判断 A+B 的正定性14 已知二次型 xTAx 是正定二次型， x=Cy 是坐标变换，证明二次型 yTBy 是正定二次型，其中 B=CTAC15 证明二次型 xTAx 正定的充分必要条件是 A 的特征值全大于 016 已知 A 是 n 阶可逆矩阵，证明 ATA 是对称、正定矩阵17 已知 A，A-E 都是 n 阶实对称正定矩阵，证明 E-A-1 是正定矩阵18 设 A
4、 是 mn 矩阵，B=E+A TA，证明当 0 时， B 是正定矩阵19 设 D= 为正定矩阵，其中 A，B 分别为 m 阶，n 阶对称矩阵，C 为 mn矩阵() 计算 PTDP，其中 P= ( )利用()的结果判断矩阵 B-CTA-1C 是否为正定矩阵，并证明你的结论20 设 A 是 n 阶正定矩阵， 1， 2， n 是 n 维非零列向量，且 iTAj=0(ij)，证明 1， 2， ， m 线性无关21 设 A 是 n 阶实对称矩阵，AB+B TA 是正定矩阵，证明 A 可逆22 已知 A= ，证明 A 与 B 合同23 设矩阵 A= 有一个特征值是 3，求 ，并求可逆矩阵 P，使(AP)T
5、(AP)为对角矩阵 24 求正交变换化二次型 x12+x22+x32-4x1x2-4x2x3-4x1x3 为标准形25 二次型 f(x1，x 2，x 3)=5x12+5x22+cx32-2x1x2-6x2x3+6x1x3 的秩为 2，求 c 及此二次型的规范形，并写出相应的坐标变换26 设 A 是 n 阶实对称矩阵，若对任意的乃维列向量 恒有 TA=0，证明 A=027 若 A 是 n 阶正定矩阵，证明 A-1，A *也是正定矩阵28 设 A 是 mn 矩阵，r(A)=n，证明 ATA 是正定矩阵29 设 A 是 n 阶正定矩阵，证明A+2E2 n30 已知 A=考研数学三（矩阵的特征值与特征
6、向量、二次型）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 若存在 n 阶可逆矩阵 P，使得 P-1AP=B，称 n 阶矩阵 A 与 B 相似 若存在 n 阶可逆矩阵 C，使得 CTAC=BE，称 n 阶矩阵 A 与 B 合同 A和 B 有相同的正、负惯性指数，即 pA=pB，q 1=qB而正、负惯性指数可由特征值的正、负来决定由 E-A=(-3) 2， E-A=(-1) 2，知 A 与 B 不相似(特征值不同)，但 A 与 B 合同(均有 p=2，q=0) 【知识模块】 二次型2 【正确答案】 C【试题解析】 正定的必
7、要条件 ii0，可排除(A)、(D) (B)中 2=0 与顺序主子式全大于 0 相矛盾，排除(B)故应选(C)【知识模块】 二次型3 【正确答案】 B【试题解析】 由矩阵 A 的特征多项式E-A= =(-1)(-3)(+2)，知矩阵 A 的特征值为 1，3，-2 即二次型正惯性指数 p=2，负惯性指数q=1故应选(B)【知识模块】 二次型4 【正确答案】 A【试题解析】 由E-A = 3-32，知矩阵 A 的特征值为 3，0，0 又因 A 是实对称矩阵，A 必能相似对角化，所以 AB 因为 A，B 有相同的特征值，从而二次型 xTAx 与 xTBx 有相同的标准形，进而有相同的正、负惯性指 数
8、，所以 AB故应选(A)【知识模块】 二次型5 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是充分条件特征值一样 有相同的正、负惯性指数 合同但不是必要条件例如 A= ，特征值不同，但 AB(B)是必要条件由 CTAC=B，C 可逆 r(A)=r(B)，但不是充分条件例如 A=，虽 r(A)=r(B)，但正负惯性指数不同故 A 与 B 不合同(C)既不必要也不充分例如 A=，虽行列式相同但不合同故应选(D)【知识模块】 二次型6 【正确答案】 C【试题解析】 (A) 是正定的必要条件若 f(x1，x 2，x 3)= ，虽 q=0，但 f 不正定(B) 是充分条件正定并不要求特征值全为 1虽 A= 不
9、和单位矩阵层相似，但二次型 xTAx 正定(D)中没有矩阵 C 可逆的条件，也就推导不出 A 与 E合同，例如 C= ，则 xTAx 不正定故应选(C) 【知识模块】 二次型二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 二次型8 【正确答案】 1【试题解析】 故()是坐标变换，那么经此坐标变换二次型化为 所以负惯性指数 q=1【知识模块】 二次型9 【正确答案】 【试题解析】 r(f)=2即 r(A)=2因A中有 2 阶子式【知识模块】 二次型10 【正确答案】 0【试题解析】 二次型及其标准形的矩阵分别是 A= 在正交变换下二次型矩阵 A 和标准形矩阵 A 不仅合同，而且相似于是由
10、【知识模块】 二次型11 【正确答案】 【试题解析】 二次型矩阵 A= ，顺序主子式 1=1， 2= =1-t20， 3= A=-5t 2-4t0，所以 t【知识模块】 二次型12 【正确答案】 k0【试题解析】 由矩阵 A 的特征值为 3，0，0，知矩阵 B 的特征值为k+3，k ，k又 B 正定【知识模块】 二次型三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 (用定义) 因为 A，B 均是正定矩阵，故 A，B 都是对称矩阵，那么(A+B) T=AT+BT=A+B即 A+B 是对称矩阵又因 0，有 xT(A+B)x=xTAx+xTBx 由于 A，B 均正定，有 xTA
11、x0，x TBx0于是 xT(A+B)x0，所以 A+B 是正定矩阵【知识模块】 二次型14 【正确答案】 0，设 x0=Cy0，由矩阵 C 可逆知 x00，那么由 xTAx 是正定二次型而知 y0TBy0=y0TCTACy0=x0TAx00 按定义， yTBy 是正定二次型【知识模块】 二次型15 【正确答案】 对二次型 xTAx，存在正交变换 x=Qy 化其为标准形1y12+2y22+ynn2，其中 1， 2， n 是矩阵 A 的特征值x TAx 正定1y12+2y22+ nyn2 正定 1， 2， n 全大于 0【知识模块】 二次型16 【正确答案】 (与 E 合同 ) 因为(A TA)
12、T=AT(AT)T=ATA，所以 ATA 是对称矩阵 由于 ATA=ATEA，且 A 是可逆矩阵，所以 ATA 与 E 是合同矩阵，从而 ATA 是正定矩阵【知识模块】 二次型17 【正确答案】 (特征值法) 由(E-A -1)T=ET-(A-1)T=E-(AT)-1=E-A-1 知，E-A -1 是对称矩阵设 1， 2， n 是 A 的特征值，则 A-E 与 E-A-1 的特征值分别是 1-1， 2-1， n-1 与 由于 A-E 正定，其特征值 i-1 全大于0，那么 ，从而 E-A-1 的特征值全大于 0，即 E-A-1 是正定矩阵【知识模块】 二次型18 【正确答案】 (定义法) 因为
13、 BT=(AE+ATA)T=AE+ATA=B，故 B 是 n 阶实对称矩阵， 维实向量 x0，有 xTBx=xTx+xTATAx=xTx+(Ax)T(Ax)=x 2+Ax 2由于 x0，0，恒有 x 20，而Ax 20，因此 xTBx0( 0)，即 B 正定【知识模块】 二次型19 【正确答案】 () 因为 PT=()由()知矩阵 D 与矩阵 M= 合同，又因 D 是正定矩阵，所以矩阵 M 为正定矩阵，从而可知 M 是对称矩阵，那么 B-CTA-1C 是对称矩阵 对 m 维向量X=(0，0，0) T 和任意 n 维非 0 向量 Y=(y1，y 2，y n)T0，有按定义，y T(B-CTA-1
14、C)Y 为正定二次型，所以矩阵 B-CTA-1C 为正定矩阵【知识模块】 二次型20 【正确答案】 如 k11+k22+km2=0，两边左乘 1TA，有 k11TA1+k21TA2+km1TAm=0 由于 A 正定， 1TA10 及 1TAj=0(j1)，得 k1=0类似可证 k2=k3=km=0，即 1， 2， m 线性无关【知识模块】 二次型21 【正确答案】 0，由于 AB+BTA 正定，故总有 xT(AB+BTA)x=(Ax)T(Bx)+(Bx)T(Ax)0因此， 0，恒有 Ax0即齐次方程组 Ax=0 只有零解，从而A 可逆【知识模块】 二次型22 【正确答案】 构造二次型 xTAx
15、=a1x12+a2x22+a3x32 和 yTBy=a3y12+a1y22+a2y32，经坐标变换所以矩阵 A 和 B 合同【知识模块】 二次型23 【正确答案】 因为 3 是 A 的特征值，故3E-A=8(3-y-1)=0 ，解出 y=2那么由于 AT=A，要(Ap) T(AP)=PTA2P=A，而 A2=，故可构造二次型 xTA2x，再化其为标准形由配方法，有 xTA2x=x12+x22+5x32+5x42+8x3x4=y12+y22+5y32+ 其中y1=x1， y2=x2，y 3=x3+ y4=x4，即【知识模块】 二次型24 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由特征多项式 E-A=(
16、+3)(-3)2，得特征值为 1=2=3， 3=-3 由(3E-A)x=0 得基础解系 1=(-1，1，0) T， 2=(-1，0，1) T，即 =3 的特征向量是 1， 2 由(-3E-A)x=0 得基础解系 3=(1，1，1) T 对 1， 2 经 Schmidt 正交化，有那么，令 x=Qy，其中Q=(1， 2， 3)，则有 f(x1，x 2，x 3)=xTAx=yTAy=【知识模块】 二次型25 【正确答案】 二次型矩阵 A= ，由二次型的秩为 2，即矩阵 A的秩 r(A)=2，则有A=24(c-3)=0 c=3由特征多项式可知矩阵 A 的特征值是0，4，9 由(0E-A)x=0 得
17、A=0 的特征向量 1=(-1，1，2) T 由(4E-A)x=0 得 A=4的特征向量 2=(1，1，0) T 由(9E-A)x=0 得 A=9 的特征向量 3=(1，-1，1) T 令P1=(1， 2， 3)，经 x=P1y 有 xTAx=yTAy=而所用坐标变换是 x=Cz，其中【知识模块】 二次型26 【正确答案】 维向量口恒有 TA=0，那么令 1=(1，0，0，0) T，有类似地，令i=(0， 0，0，1，0，0) T(第 i 个分量为 1)，由 =aii=0 (i=1，2，n) 令 12=(1，1，0，0) T，则有故 a12=0类似可知 aij=0(i，j=1，2， ，n)所以
18、 A=0【知识模块】 二次型27 【正确答案】 因 A 正定，所以 AT=A那么(A -1)T=(AT)-1=A-1，即 A-1 是对称矩阵设 A 的特征值是 1， 2， n，那么 A-1 的特征值是 ，由 A 正定知 i0(i=1，2，n)因此 A-1 的特征值 0(i=1，2，n)从而 A-1 正定 由(A *)T=(AT)*=A*，知 A*是对称矩阵因为 ATA*A=A A，由矩阵 A 可逆，知 A*与AA 合同又由 A 正定，知 A 与 E 合同，即 CTAC=E 由 A 正定，知行列式A0，那么令 D= ，则 D 可逆，且 DT(A A)D=E即AA 与层合同从而 A*与 E 合同故
19、 A*正定【知识模块】 二次型28 【正确答案】 由(A TA)T=AT(AT)T=ATA，知 ATA 是对称矩阵又 r(A)=n， 0，恒有 A0从而 T(ATA)=(A)T(A)=A 20故 xT(ATA)x是正定二次型，从而 ATA 正定【知识模块】 二次型29 【正确答案】 设矩阵 A 的特征值是 1， 2， n因为 A 正定，故特征值i0(i=1，2，n)又 A+2E 的特征值是 1+2， 2+2， n+2，所以 A+2E=( 1+2)(2+2)( n+2)2 n【知识模块】 二次型30 【正确答案】 令 C1= ，C=C 1C2，则 C 是可逆矩阵，且 则 AB由于 A 正定，故 B 正定，从而曰的顺序主子式0【知识模块】 二次型
