1、考研数学三（线性代数）历年真题试卷汇编 15 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设矩阵 Amn 的秩为 r(A)=mn，I m 为 m 阶单位矩阵，则下述结论中正确的是 ( )（A）A 的任意 m 个列向量必线性无关（B） A 的任意一个 m 阶子式不等于零（C）若矩阵 B 满足 BA=O，则 B=O（D）A 通过初等行变换，必可以化为I mO的形式2 齐次线性方程组 的系数矩阵记为 A若存在 3 阶矩阵 BO使得 AB=O，则 ( )（A）=2 且|B|=0（B） =2 且|B|0（C） =1且|B|=0（D）=1 且|B|03 设 1， 2， 3
2、 是 4 元非齐次线性方程组 Ax=b 的 3 个解向量，且 A 的秩 r(A)=3， 1=(1，2，3，4) T， 2+3=(0，1，2，3) T，c 表示任意常数，则线性方程组Ax=b 的通解 X=( )4 设 A 为 n 阶实矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，则对于线性方程组()：Ax=0 和()：ATAN=0，必有( )（A）() 的解是 ()的解，()的解也是()的解（B） ()的解是( )的解，但( )的解不是()的解（C） ()的解不是( )的解，( )的解也不是()的解（D）() 的解是 ()的解，但()的解不是()的解5 设 A 是 n 阶矩阵， 是 n 维列向量，且秩 =秩
3、(A)，则线性方程组( )（A）AX= 必有无穷多解（B） AX=必有惟一解（C） =0 仅有零解（D） =0 必有非零解6 设 A 是 mn 矩阵，B 是 nm 矩阵，则线性方程组(AB)x=0( )（A）当 nm 时仅有零解（B）当 nm 时必有非零解（C）当 mn 时仅有零解（D）当 mn 时必有非零解7 设 n 阶矩阵 A 的伴随矩阵 A*O，若 1， 2， 3， 4 是非齐次线性方程组 Ax=b 的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组 Ax=0 的基础解系 ( )（A）不存在（B）仅含一个非零解向量（C）含有两个线性无关的解向量（D）含有三个线性无关的解向量8 设 A 为 43 矩阵
4、， 1， 2， 3 是非齐次线性方程组 Ax=的 3 个线性无关的解，k1，k 2 为任意常数，则 Ax=的通解为( )二、填空题9 设 其中aiaj(ij，i ， j=1，2，n)则线性方程组 ATX=B 的解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解情况下，求出其全部解10 设有线性方程组11 证明：若 a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，则此线性方程组无解；12 设 a1=a3=k，a 2=a4=k(k0)，且已知 1=(1，1，1) T， 2=(1，1，1) T 是该方程组的两个解，写出此方程组的通解
5、13 设向量组 1=(a，2，10) T， 2=(2，1，5) T， 3=(1，1，4) ) T，=(1 ，b，c)T试问：当 a，b，c 满足什么条件时 (1) 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一? (2)不能由 1， 2， 3 线性表出? (3) 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一? 并求出一般表达式14 设齐次线性方程组 其中 a0，b0，n2 试讨论 a，b 为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解? 在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解15 已知齐次线性方程组 其中 ai0试讨论 a1，a 2，a n 和 b 满足何种关系时，(1)方程组仅有零解；(2
6、)方程组有非零解在有非零解时，求此方程组的一个基础解系16 设有向量 1=(1，2，0) T， 2=(1，a+2，3a) T， 3=(1，b2，a+2b)T， =(1，3，3) T试讨论当 a、b 为何值时， (1) 不能由 1， 2， 3 线性表示； (2)可由 1， 2， 3 惟一地线性表示，并求出表示式； (3) 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不惟一，并求出表示式17 已知齐次线性方程组同解，求 a，b，c的值18 设线性方程组 与方程()：x 1+2x2+x3=a1 有公共解，求 a 的值及所有公共解18 设 n 元线性方程组 Ax=b，其中19 证明行列式|A|=(n+1)
7、a n；20 当 a 为何值时，该方程组有唯一的解，并在此时求 x1；21 当 a 为何值时，该方程组有无穷多解，并在此时求其通解22 设 ()求满足 A2=1，A 23=1 的所有向量2， 3；() 对() 中的任意向量 2， 3，证明 1， 2， 3 线性无关22 已知线性方程组 Ax=b 存在 2 个不同的解23 求 ，a；24 求方程组 Ax=b 的通解25 设 A= 当 a，b 为何值时，存在矩阵 C 使得 ACCA=B，并求所有矩阵 C25 设 A= ，E 为 3 阶单位矩阵26 求方程组 Ax=0 的一个基础解系；27 求满足 AB=E 的所有矩阵 B考研数学三（线性代数）历年真
8、题试卷汇编 15 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 1 由 BA=O 知 A 的每个列向量都是齐次方程组 Bx=0 的解，由题设知 A 的列向量中有 m 个是线性无关的，故 Bx=0 解集合中至少有 m 个线性无关的解向量，因而 Bx=0 的基础解系所含向量个数不小于 m，即 mr(B)m，所以r(B)0，故 r(B)=0，即 B=O2 由于 r(Amn)=m，故存在可逆矩阵 Pmn，使得AP=Im O用 右乘两端，得 记 nm 矩阵Q=P ，则有 AQ=Im，于是用 Q 右乘题设等式 BA=O 两端，得 BAQ=O，即B
9、Im=O，亦即 B=O【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 1 设 B 按列分块为 B=1 2 3，则由题设条件，有 O=AB=A1A2 A3所以 Aj=0(j=1，2，3)，即矩阵 B 的每一列都是方程组 Ax=0 的解又 BO，故 B 至少有一列非零，因而方程组 Ax=0 存在非零解，从而有=(1) 2=0 得 =1 另一方面，必有|B|=0 ，否则|B|0，则 B 可逆，于是由给 AB=O 两端右乘 B1 ，得 A=O，这与 AO 矛盾，故必有|B|=0因此 C 正确2 同解 1 一样可说明必有|B|=0，同理有|A|=0，观察可知当 =1 时有|A|= =0，故 C
10、正确【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 C【试题解析】 由于 AX=b 的通解等于 AX=b 的特解与 AX=0 的通解之和，故只要求出 AX=0 的基础解系，即得 AXb 的通解因为 r(A)=3，故 4 元齐次方程组Ax=0 的基础解系所含向量个数为 4r(A)=1 ，所以 AX=0 的任一非零解就是它的基础解系由于 1 及 1 2(2+3)都是 Ax=b 的解故 1 (2+3)=1 221( 2+3) 是 AX=0 的一个解，从而 =(2，3，4，5) T 也是 AX=0的一个解，由上述分析知考是 AX=0 的一个基础解系，故 Ax=b 的通解为X=1+c，因此 C 正确【知识模块】
11、 线性代数4 【正确答案】 A【试题解析】 若向量 X 满足方程组 AX=0，两端左乘 AT，得 ATAX=0，即 X 也满足方程组 ATAX=0，故 AX=0 的解都是 ATAX=0 的解 反之，若 X 满足ATAX=0，两端左乘 XT，得 ATATAX=0，即(AX) T(AX)=0，或AX 2=0，故AX=0，即 X 也满足方程组 AX=0，故 ATAX=0 的解都是 AX=0 的解 由以上两方面，说明方程组() 与()是同解的，故 A 正确【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 D【试题解析】 方程组 =0 是 +1 元齐次线性方程组，由条件，其系数矩阵的秩=A nn 的秩nn+1，故
12、该 +1 元齐次线性方程组必有非零解于是知 D 正确【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 D【试题解析】 1 注意 AB 为 m 阶方阵，方程组(AB)x=0 有非零解(只有零解) (AB)m(r(AB)=m)当 mn 时，有 r(AB)r(A)nm 故当 mn 时，方程组(AB)x=0 必有非零解可以举例说明备选项 A、B 都不对故只有 D 正确2 B 为 nm矩阵，当 n m 时，齐次线性方程组 Bx=0 必有非零解，从而知当 nm 时，齐次线性方程组 ABx=0(即(AB)x=0)必有非零解【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 B【试题解析】 由 A*O 知 A*至少有一个元素 Ai
13、j=(1) ijMij0，故 A 的余子式Mij0而 Mij 为 A 的 n 1 阶子式，故 r(A)n1，又由 Ax=b 有解且不唯一知r(A)n，故 r(A)=n1，因此， Ax=0 的基础解系所含向量个数为 nr(A)=n (n1)=1，只有 B 正确【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 首先，由 A12( 2+3)=，知 1 2(2+3)是 Ax= 的一个特解；其次，由解的性质或直接验证，知 2 1 及 3 1 均为方程组 Ax=0 的解；再次，由 1， 2， 3 线性无关，利用线性无关的定义，或由 2 1， 3 1及矩阵 的秩为 2，知向量组 2 1， 3 1，线性
14、无关，因此，方程组 Ax=0 至少有 2 个线性无关的解，但它不可能有 3 个线性无关的解(否则， 3r(A)=3， r(A)=0 A=O，这与 A1=0 矛盾)，于是2 1， 3 1 可作为 Ax=0 的基础解系，Ax=0 的通解为 k1(2 1)+k2(3 1)，再由非齐次线性方程组解的结构定理即知只有选项 C 正确【知识模块】 线性代数二、填空题9 【正确答案】 (1，0，0) T【试题解析】 因为 a1，a 2，a n 两两不相等，故范德蒙行列式|A|= (aia j)0，所以方程组 ATX=B 的系数行列式|A T|=|A|0，故方程组有唯一解，再由观察法或克莱默法则可得此唯一解为
15、X=(1，0，0) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10 【正确答案】 对方程组的增广矩阵作初等行变换：由此可知(1)当 k1且k4时，r(A)=r( )=3，方程组有唯一解此时，由得方程组的唯一解为： (2)当 k=1 时，r(A)=2r( )=3方程组无解(3) 当 k=4 时，有 r(A)=r( )=23故方程组有无穷多解由阶梯形矩阵得同解方程组： 令x3=c，得方程组的全部解：【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 增广矩阵 为一方阵，其行列式显然为4 阶范德蒙行列式的转置：=(a2a 1)(a3a 1)(a4a 1)(
16、a3a 2)(a4a 2)(a4a 3)由a1，a 2，a 3，a 4 两两不相等，知| |0，从而知矩阵 的秩为 4但系数矩阵 A 为 43矩阵，有 r(A)3(或由 A 左上角的 3 阶子式不等于零知 r(A)=3)，故 r(A)r( )，因此方程组无解【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 当 a1=a3=k，a 2=a4=k(k0) 时，方程组为因为 =2k0，故 r(A)=r()=2，从而原方程组相容且它的导出方程组的基础解系应含有 32=1 个解向量因为 1， 2 是原非齐次方程组的两个解，故 =1 2是对应齐次方程组的解，且 0，故 是导出方程组的基础解系于是原非齐次方程组的通
17、解为 X=1+c (c 为任意常数)【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 1 设有一组数 k1，k 2，k 3，使得 k11+k22+k33=该方程组的系数行列式 (1)当 a4 时，|A|0，方程组有唯一解， 可由 1， 2， 3 唯一地线性表出(2)当 a=4 时，对增广矩阵作行的初等变换，有若 3bc1，则秩(A) 秩( )，方程组无解， 不能由 1， 2， 3 线性表出(3) 当 a=4，且 3bc=1 时，秩(A)=秩( )=23，方程组有无穷多解， 可由 1， 2， 3 线性表出，但表示不唯一此时，解得 k1=t，k 2=2tb1 ，k 3=2b+1(t 为任意常数)因此有 =
18、t1(2t+b+1) 2+(2b+1)32 设有一组数 x1，x 2，x 3，使得 x11+x22+x33=对该方程组的增广矩阵作初等行变换，有 (1)当2 0，即 a 4 时，秩(A) ：秩( )=3，方程组有唯一解， 可由 1， 2， 3 线性表出，且表示唯一(2)当2 =0，即 a=4 时，对 作初等行变换，有当 3bc1 时，秩(A)秩( )，方程组无解， 不能由1， 2， 3 线性表出(3)同解 1【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 方程组的系数行列式 =a+(n1)b(a b)n1 (1)当 ab且 a(1n)b 时，方程组仅有零解(2)当 a=b 时，对系数矩阵A 作行初等
19、变换，有 原方程组的同解方程组为 x1+x2+xn=0 方程组的基础解系为 1=(1，1，0，0)T， 2=(1，0，1，0) T， n1 =(1，0，0，1) T，方程组的全部解为x=c11+c22+cn1 n1 (c1，c 2，c n1 为任意常数)(3)当 a=(1n)b 时，对系数矩阵 A 作行初等变换，有原方程组的同解方程组为 其基础解系为 =(1，1， 1)T方程组的全部解是 x=c(c为任意常数)【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 方程组的系数行列式为一“行和” 相等行列式，将各列加至第 1 列，然后提取第 1 列的公因子(b+ ai)，再将第 1 列的(a i)倍加至第
20、i 列(i=2，n)，就将行列式化成了下三角行列式：(1)当|A|0，即 b0且b+ ai0时，方程组仅有零解；(2)当 b=0 时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+?+anxn=0，由 ai0知 a1，a 2，a n 不全为零，不妨设 a10，则得原方程组的用自由未知量表示的通解为x1= xn(x2，x 3，x n 任意)由此得方程组的一个基础解系为 1=(a 2a 1，1，0，0) T， 2=(a 3a 1，0，1，0)T， ， n1 =(a na 1，0，0，1) T 当 b= ai 时，有 b0，对原方程组的系数矩阵 A 作初等行变换：将第 1 行的(1)倍分别加至第 2，3
21、，n 行，得用 1b 乘第 i 行(i=2，3，n)，得将第 i 行的(a i)倍加至第 1 行(i=2，3，n)，并利用 b+ ai=0，得 因此得原方程组的用自由未知量表示的通解为 x2=x1，x 3=x1，x n=x1，(x 1 任意)令x1=1，则得原方程组的一个基础解系为 =(1，1，1) T【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 设有一组数 x1，x 2，x 3，使得 x11+x22+x33= (*)对方程组(*)的增广矩阵施行初等行变换：(1)当 a=0，b 为任意常数时，有 可知 r(A)r( )，故方程组(*)无解， 不能由 1， 2， 3 线性表示(2)当 a0，且 ab
22、时，r(A)=r( )=3，方程组 (*)有唯一解：x1=1 ，x 2=1a，x 3=0故此时 可由 1， 2， 3 唯一地线性表示为：=(12(3)当 a=b0时，对 施行初等行变换： 可知r(A)=r( )=2，故方程组(*)有无穷多解，通解为：x 1=1 +C，x 3=C，其中C 为任意常数故此时 可由 1， 2， 3 线性表示，但表示式不唯一，其表示式为=(1 +C)2+C3，其中 C 为任意常数【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 方程组()的未知量个数大于方程的个数，故方程组()有非零解因为方程组() 与() 同解，所以方程组()的系数矩阵的秩小于 3对方程组()的系数矩阵施以
23、初等行变换： 从而 a=2此时，方程组()的系数矩阵可由初等行变换化为故(1，1，1) T 是方程组()的一个基础解系将 x1=1，x 2=1，x 3=1 代入方程组 ()可得：b=1，c=2或 b=0，c=1当 b=1，c=2 时，对方程组()的系数矩阵施以初等行变换，有由于(1)式与(2)式右边矩阵的行向量组等价，故方程组()与() 同解当 b=0，c=1 时，方程组()的系数矩阵可由初等行变换化为 由于(1)式与(3)式右边矩阵的行向量组不等价，故方程组()与( )的解不相同综上所述，当 a=2，b=1，c=2 时，方程组()与()同解【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 1 方程组
24、()的系数矩阵 A 的行列式为=(a1)(a 2)(1)当|A|0，即 a1且 a2时，方程组() 只有零解，而零解 x=(0，0，0) T 不满足方程()，故当 a1且 a2时，()与() 无公共解；(2)当 a=1 时，由 A 的初等行变换得方程组()的通解为 x=c(1，0，1) T，其中 c 为任意常数显然当 a=1 时，( )是()的一个方程，()的解都满足()所以，当 a=1时，( )与()的所有公共解是 x=c(1，0，1) T，其中 c 为任意常数；(3)当 a=2 时，由 A 的初等行变换 得()的通解为 x=k(0，1，1) T，要使它是() 的解，将其代入方程() ，得
25、k=1，故当 a=2 时，()与() 的公共解为x=(0，1，1) T2 将( )与( )联立，得线性方程组 显然，方程组() 的解既满足 () ，又满足()；反之，()与()的公共解必满足()因此，要求()与()公共解，只要求方程组 ()的解即可对方程组( )的增广矩阵施行初等行变换 由线性方程组有解判定定理知，方程组()有解 (a1)(a2)=0 a=1 或 a=2(1) 当a=1 时 由此得方程组()的通解、即()与()的所有公共解为x=c(101) T，其中 c 为任意常数；(2)当 a=2 时由此得()有唯一解 x=(0，1，1) T，故当 a=2时，( )与()的公共解为 x=(0
26、，1，1) T【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 证法 1 记 Dn=|A|，以下用数学归纳法证明 Dn=(n+1)an当 n=1 时，D1=2a，结论成立；当 n=2 时，D 2 =3a2=(n+1)an 结论成立；假设结论对于小于 n 的情况成立将 Dn 按第 1 行展开，得=2aDn1 a 2Dn2 (代入归纳假设Dk=(k+1)ak， kn)=2ana n1 a 2(n1)a n2 =(n+1)an 故|A|=(n+1)a n证法 2 把|A|化成上三角行列式 =(n+1)an【知识模块】 线性代数20 【正确答案】 该方程组有唯一解 |A|0，即 a0此时
27、，由克莱姆法则，将 Dn第 1 列换成 b，得行列式 所以，x 1=1D n=【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 当 a=0 时，方程组为 此时方程组系数矩阵的秩和增广矩阵的秩均为 n1，所以此时方程组有无穷多解，其通解为x=(0，1，0，0) T+k(1，0，0，0) T 其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 () 设 2=(x1，x 2，x 3)T，解方程组 A2=1，由A， 1得x1=x 2，x 3=12x 2(x2 任意)令自由未知量 x2= c1，则得 2其中 c1 为任意常数设 3=(y1，y 2，y 3)T，解方程组A22=1，由A 2， 1 得 y
28、1= y 2(y2，y 3任意)令自由未知量 y2=c2，y 3=c3，则得其中 c2，c 3 为任意常数()3 个 3 维向量 1， 2， 3 线性无关的充要条件是 3 阶行列式 D=|1 2 3|0而所以 1， 2， 3 线性无关【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A 为方阵且方程组 Ax=b 的解不唯一，所以必有|A|=0，而|A|=(1) 2(+1)，于是 =1或 =1当 =1时，因为 r(A)rA b，所以 Ax=b 无解(亦可由此时方程组的第 2 个方程为矛盾方程知 Ax=b 无解)，故舍去 =1当=1 时，对 Ax=b 的增广矩阵施以初等行变换因
29、为 Ax=b 有解，所以a=2【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 当 =1、a=2 时， 所以，x1= +x3，x 2=12，x 3 任意，令自由未知量 x3=k，则得 Ax=b 的通解为其中 k 为任意常数【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 设矩阵 C= ，由同型矩阵相等的充分必要条件是它们的对应元素都相等，得 ACCA=B 成立的充分必要条件是 对方程组(*)的增广矩阵施以初等行变换，得当 a1 或 b0时，方程组(*)的系数矩阵的秩不等于增广矩阵的秩，方程组(*)无解当 a=1 且 b=0 时，方程组(*)的系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，方程组(*)有解，通解为k1，k 2
30、为任意常数综上，当且仅当 a=1 且b=0 时，存在满足条件的矩阵 C，且 k1，k 2 为任意常数【知识模块】 线性代数【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 对方程组的系数矩阵 A 施以初等行变换设 x=(x1，x 2，x 3，x 4)T，选取 x4 为自由未知量，则得方程组的一般解：x 1=x 4，x 2=2x4，x 3=3x4(x4 任意)令 x4=1，则得方程组 Ax=0 的一个基础解系为 =(1，2，3，1) T【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 对矩阵A E施以初等行变换记E=e1，e 2，e 3，则方程组 Ax=e1 的同解方程组为 从而得Ax=e1 的通解为 k1 为任意常数，同理得方程组 Ay=e2 的通解为k2 为任意常数，方程组 Ax=e3 的通解为 k3 为任意常数，于是得所求矩阵为 B=x y z +k1，k 2k 3或k1，k 2，k 3 为任意常数【知识模块】 线性代数
