1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 132 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 A，B，A+B，A 1 +B1 皆为可逆矩阵，则(A 1 +B1 )1 等于( )（A）A+B（B） A1 +B1（C） A(A+B)1 B（D）(A+B) 12 设则 m，n 可取( ) （A）m=3 ， n=2（B） m=3，n=5（C） m=2，n=3（D）m=2 ， n=23 设 A=(1， 2， m)，其中 1， 2， m 是 n 维列向量，若对于任意不全为零的常数志 k1，k 2，k 3，皆有 k11，k 22，k mm0，则( )（A）mn（B） m=n（C）
2、存在 m 阶可逆阵 P，使得（D）若 AB=O，则 B=O4 设 1， 2， ， m 与 1， 2， s 为两个 n 维向量组，且 r(1， 2， m)=r(1， 2， s)=r，则( )（A）两个向量组等价（B） r(1， 2， m， 1， 2， s)=r（C）若向量组 1， 2， m 可由向量组 1， 2， s 线性表示，则两向量组等价（D）两向量组构成的矩阵等价5 设 A 是 mn 阶矩阵，B 是 nm 阶矩阵，则( )（A）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（B）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解（C）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 有非零解（
3、D）当 mn 时，线性齐次方程组 ABX=0 只有零解6 设三阶矩阵 A 的特征值为1，1，2，其对应的特征向量为 1， 2， 3，令P=(32， 3，2 1)，则 P1 AP 等于( )7 设 A，B 为 n 阶可逆矩阵，则( )（A）存在可逆矩阵 P，使得 P1 AP=B（B）存在正交矩阵 Q，使得 QTAQ=B（C） A，B 与同一个对角矩阵相似（D）存在可逆矩阵 P，Q，使得 PAQ=B二、填空题8 设 A 为 n 阶矩阵，且A=a0，则(kA) *=_9 设矩阵 A，B 满足 A*BA=2BA8E，且 则 B=_10 设 且存在三阶非零矩阵 B，使得 AB=O，则a=_，b=_11
4、设 1， 2， 3 是三阶矩阵 A 的三个不同特征值， 1， 2， 3 分别是属于特征值1， 2， 3 的特征向量，若 1，A( 1+2)，A 2(1+2+3)线性无关，则 1， 2， 3 满足_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 计算12 设 A=E T，其中 为 n 维非零列向量证明：13 A2=A 的充分必要条件是 为单位向量；14 当 是单位向量时 A 为不可逆矩阵15 设 ， 是 n 维非零列向量，A= T+T证明： r(A)216 设 A 是 n(n3)阶矩阵，证明：(A *)*=A n2 A17 设 1， 2， ， n 为 n 个 n 维向量，证明： 1， 2
5、， n 线性无关的充分必要条件是任一 n 维向量总可由 1， 2， n 线性表示18 a，b 取何值时，方程组 有解?19 证明线性方程组 ()有解的充分必要条件是方程组 ()是同解方程组20 讨论方程组 的解的情况，在方程组有解时求出其解，其中 a，b 为常数20 设 相似于对角阵求：21 a 及可逆阵 P，使得 P 1AP=A，其中 A 为对角阵.22 A10023 设 有三个线性无关的特征向量，且 =2为 A 的二重特征值，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵24 设 A 为三阶矩阵，且有三个互异的正的特征值，设矩阵 B=(A*)24E 的特征值为 0，5，32求 A1 的特征值
6、并判断 A1 是否可对角化24 设 的一个特征值为 1=，其对应的特征向量为25 求常数 a， b，c ；26 判断 A 是否可对角化若可对角化，求可逆矩阵 P，使得 P1 AP 为对角矩阵若不可对角化，说明理由27 设方程组 有无穷多个解，为矩阵 A 的分别属于特征值1=1， 2=2， 3=1 的特征向量 (1)求 A； (2)求A *+3E28 设 A，B 为 n 阶矩阵，且 r(A)+r(B)n证明： A，B 有公共的特征向量28 设 A 是 n 阶矩阵， 1， 2， n 是 n 维列向量，且 n0，若A1=2，A 2=3，A n1 =nA n=029 证明： 1， 2， n 线性无关；
7、30 求 A 的特征值与特征向量31 求 a，b 及可逆矩阵 P，使得P1 AP=B32 设 A 为 mn 阶实矩阵，且 r(A)=N证明：A TA 的特征值全大于零33 设二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 经过正交变换 X=QY，化为标准形 f=y12+y22+4y32，求参数 a，b 及正交矩阵 Q考研数学三（线性代数）模拟试卷 132 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 A(A+B) 1 B(A1 +B1 )=(A+B)A1 (BA1 +E)=(BA1 +E)1 (BA1
8、+E) =E，选 C【知识模块】 矩阵2 【正确答案】 B【试题解析】 P 1mAP2n= 经过了 A 的第 1，2 两行对调与第 1，3 两列对调，P 1= 且Eij2=E，P 1mAP2n=P1AP2，则 m=3，n=5 ，选 B【知识模块】 矩阵3 【正确答案】 D【试题解析】 因为对任意不全为零的常数 k1，k 2， ，k m，有k11+k22+kmm0，所以向量组 1， 2， m 线性无关，即方程组 AX=0 只有零解，故若 AB=O，则 B=O选 D【知识模块】 向量4 【正确答案】 C【试题解析】 不妨设向量组 1， 2， m 的极大线性无关组为1， 2， r，向量组 1， 2，
9、 s 的极大线性无关组为 1， 2， r，若1， 2， m 可由 1， 2， s 线性表示，则 1， 2， r 也可由1， 2， r 线性表示，若 1， 2， r，不可由 1， 2， r 线性表示，则 1， 2， s 也不可由 1， 2， m 线性表示，所以两向量组秩不等，矛盾，选 C【知识模块】 向量5 【正确答案】 A【试题解析】 AB 为 m 阶方阵，当 mn 时，因为 r(A)n，r(B)n 且 r(AB)minr(A)，r(B) ，所以 r(AB)m，于是方程组 ABX=O 有非零解，选 A【知识模块】 线性方程组6 【正确答案】 C【试题解析】 显然 32 3，2 1 也是特征值
10、1，2，1 的特征向量，所以P1 AP= 选 C【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量7 【正确答案】 D【试题解析】 因为 A，B 都是可逆矩阵，所以 A，B 等价，即存在可逆矩阵PQ，使得 PAQ=B，选 D【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量二、填空题8 【正确答案】 k n(n1) an 1【试题解析】 因为(kA) *=kn1 A*，且A *=A n1 ，所以(kA)*= kn1 A*=k n(n1) A n1 =kn(n1) an1 【知识模块】 行列式9 【正确答案】 【试题解析】 由 A*BA=2BA8E ，得 AA*BA=2ABA8A，即2BA=2ABA8A，于是 B=2AB8
11、E，(A+E)B=4E，所以 B=4(A+E)1 =【知识模块】 矩阵10 【正确答案】 a=2，b=1【试题解析】 因为 AB=O，所以 r(A)+r(B)3，又B0，于是 r(B)1，故 r(A)2，从而 a=2，b=1【知识模块】 线性方程组11 【正确答案】 120【试题解析】 令 x11+x2A(1+2)+x3A2(1+2+3)=0，即 (x 1+1x2+12x3)1+(2x2+22x3)2+32x33=0，则有 x 1+1x2+12x3=0， 2 x2+22x3=0， 32x3=0，因为x1，x 2，x 3 只能全为零，所以【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量三、解答题解答应写出文
12、字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 D 2n=a2D2n2 b 2D2n2 =(a2b 2)D2n2 =(a2b 2)n【知识模块】 行列式【知识模块】 矩阵13 【正确答案】 令 T=k，则 A2=(E T)(E T)=E2 T+kT，因为 为非零向量，所以 T0，于是 A2=A 的充分必要条件是 k=1，而 T= 2，所以A2=A 的充要条件是 为单位向量【知识模块】 矩阵14 【正确答案】 当 是单位向量时，由 A2=A 得 r(A)+r(EA)=n，因为EA= T0，所以 r(EA)1，于是 r(A)n1n，故 A 是不可逆矩阵【知识模块】 矩阵15 【正确答案】 r(A)
13、=r( T+T)r(T)+r(T)，而 r(T)r()=1，r( T)r()= 1，所以 r(A)r(T)+r(T)2【知识模块】 矩阵16 【正确答案】 (A *)*A*=A *E= A n1 E，当 r(A)=N 时，r(A *)=n，A *=AA 1 则(A *)*A*=(A*)*AA 1 = A n1 E ，故(A *)*=A n2 A当 r(A)=n1 时，A=0，r(A *)=1，r(A *)*=0，即(A *)*=O，原式显然成立当 r(A)n1 时 A=0 ，r(A *)=0，(A *)*=O，原式也成立【知识模块】 矩阵17 【正确答案】 设 1， 2， n 线性无关，对任意
14、的 n 维向量 因为1， 2， n， 一定线性相关所以 a 可由 1， 2， n 唯一线性表示即任一 n 维向量总可 1， 2， n 线性表示反之，设任一 n 维向量总可由1， 2， n 线性表示取 则e1，e 2，e n，可由 1， 2， n 线性表示故 1， 2， n 的秩不小于e1，e 2，e n 的秩而 e1，e 2，e n 线性无关，所以 1， 2， n 的秩一定为 n，即 1， 2， n 线性无关【知识模块】 向量18 【正确答案】 (1)a1时，x4=0；(2)a=1，b 一 1 时， 因此方程组无解；(3)a=1，b=1 时，通解为X=k1(1，2，1，0) T+k2(1，2，
15、0，1) T+(1，1，0，0) T(k1，k 2 为任意常数)【知识模块】 线性方程组19 【正确答案】 令方程组() 可写为 AX=b，方程组 ()、()可分别写为 ATy=0 及 若方程组( )有解，则 r(A)=r(Ab) ，从而 又因为()的解一定为()的解，所以 ()与()同解；反之，若()与()同解，则 从而 r(A)=r(Ab) ，故方程组 () 有解【知识模块】 线性方程组20 【正确答案】 =(a+1)(n+2)(1) 当 a1，b2 时，因为 D0，所以方程组有唯一解，由克拉默法则得(2)当a=1，b2 时，当 b1 时，方程组无解当 b=1 时， 方程组的通解为 (k
16、为任意常数)(3) 当 a1，b=2 时，当 a=1 时，方程组的通解为(k 为任意常数)当 a1时，显然方程组无解【知识模块】 线性方程组【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量21 【正确答案】 E 一 A=0= 1=2=1， 3=1因为 A 相似于对角阵，所以r(EA)=1=a=2=A= (EA)X=0 基础解系为 1=(0，1，0)T， 2=(1，0，1) T，( E A)X=0 基础解系为 3=(1，2，1) T，令 P=(1， 2， 3，则 P1 AP=diag(1，1，1)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量22 【正确答案】 P 1 A100P=E=A100=PP1 =E【知识模块
17、】 矩阵的特征值和特征向量23 【正确答案】 因为 A 有三个线性无关的特征向量，所以 =2的线性无关的特征向量有两个，故 r(2EA)=1而所以 x=2，y=2由=(2) 2(6)=0 得 1=2=2， 3=6由(2EA)X=0 得 =2对应的线性无关的特征向量为 由(6EA)X=0 得 =6对应的线性无关的特征向量为 令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量24 【正确答案】 设 A 的三个特征值为 1， 2， 3，因为 B=(A*)24E 的三个特征值为 0，5，32，所以 (A *)2 的三个特征值为 4，9， 36，于是 A*的三个特征值为2，3，6又因为A *=36=A 31 ，所以
18、A =6由得 1=3， 2=2， 3=1，由于一对逆矩阵的特征值互为倒数，所以 A1 的特征值为 1， 因为 A1 的特征值都是单值，所以A1 可以相似对角化【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量25 【正确答案】 由 A1=21，得【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量26 【正确答案】 由 得1=2=2， 3=1由(2EA)X=0，得 由(E A)X=0 ，得显然 A 可对角化，令【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量27 【正确答案】 因为方程组有无穷多个解，所以=a22a+1=0 ，解得 a=1令 P=(1， 2， 3)=则(2)A =2，A *对应的特征
19、值为 即 2，1，2，A *+3E 对应的特征值为5，2，1，所以A *+3E=10 【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量28 【正确答案】 因为 r(A)+r(B)n，所以 r(A)n，r(B)n，于是 =0为 A，B 公共的特征值， A 的属于特征值 =0的特征向量即为方程组 AX=0 的非零解； B 的属于特征值 =0的特征向量即为方程组 BX=0 的非零解，因为有非零解，即 A，B 有公共的特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量29 【正确答案】 令 x11+x22+xnn=0，则 x1A1+x2A2+xnAn=0=x12+x23+xn1 n=
20、0 x1A2+x2A3+xn1 An=0=x13+x24+xn2 n=0 x1n=0 因为 n0，所以x1=0，反推可得 x1=xn=0，所以 1， 2， n 线性无关【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量30 【正确答案】 A( 1， 2， n)=(1， 2， n)令 P=(1， 2， n)，则 P1 AP=B，则 A 与 B 相似，由 EB=0= 1= n=0，即A 的特征值全为零，又 r(A)n1，所以 AX=0 的基础解系只含有一个线性无关的解向量，而 An=0n(n0)，所以 A 的全部特征向量为 kn(k0)【知识模块】 矩阵的特征值和特征向量31 【正确答案】 由E B=0，得 1
21、=1， 2=1， 3=2，因为 AB，所以 A 的特征值为 1=1， 2=1， 3=2由 tr(A)=1+2+3，得 a=1，再由A=b= 123=2，得 b=2，即 由(E A)X=0，得 1=(1，1，0) T；由(EA)X=0，得 2=(2，1， 1)T；由(2E A)X=0，得3=(2，1，0) T，令 由(EB)X=0 ，得 1=( 1，0，1) T；由(E B)X=0，得 2=(1，0，0) T；由(2EB)X=0，得 3=(8，3，4) T，令由 p1 AP1=P21 BP2，得(P1P21 )1 AP1P21 =B，令 P=P1P21 =则 P1 AP=B【知识模块】 矩阵的特
22、征值和特征向量32 【正确答案】 首先 ATA 为实对称矩阵，r(A TA)=n，对任意的 X0， X T(ATA)X=(AX)T(AX)，令 AX=，因为 r(A)=n，所以 0，所以 (AX) T(AX)=T0，即二次型 XT(ATA)X 是正定二次型， ATA 为正定矩阵，所以ATA 的特征值全大于零【知识模块】 二次型33 【正确答案】 二次型 f=2x12+2x22+ax32+2x1x2+2bx1x3+2x2x3 的矩阵形式为f=XTAX 其中 所以AB(因为正交矩阵的转置矩阵即为其逆矩阵)，于是 A 的特征值为1，1，4而EA= 3(a+4) 2+(4ab 2+2)+(3a 2b+2b 2+2)，所以有3(a+4) 2+(4ab 2+2)+(3a 2b+2b 2+2)=(1) 2(4)，解得 a=2，b=1当1=2=1 时，由(EA)X=0 得 由 3=4 时，由(4E A)X=0 得 显然 1， 2， 3 两两正交，单位化为【知识模块】 二次型
