1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 136 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 ，则自由变量不能取成（A）x 4，x 5（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 32 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（A）如 mn，则 Ax=b 有无穷多解（B）如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解（C）如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n3 已知 1， 2， 3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还
2、可以是（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1， 2， 3+4， 34（C） 1， 2， 3， 4 的一个等价向量组（D） 1， 2， 3， 4 的一个等秩的向量组4 设 A 是 54 矩阵，A=( 1， 2， 3， 4)，若 1=(1，1，一 2，1)T， 2=(0，1， 0，1) T 是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（A） 1， 3（B） 2， 4（C） 2， 3（D） 1， 2， 45 设 A 为 n 阶可逆矩阵， 是 A 的一个特征值，则伴随矩阵 A*的一个特征值是（A） -1A n1（B） A-1A（C） A（D）A n16 设 =2
3、是可逆矩阵 A 的一个特征值，则( A2)-1+E 的一个特征值是7 设 A 是 3 阶不可逆矩阵， 1， 2 是 Ax=0 的基础解系， 3 是属于特征值 =1 的特征向量，下列不是 A 的特征向量的是（A） 1+32（B） 12（C） 1+3（D）2 38 设 0 是 A 的特征向量，则 0 不一定是其特征向量的矩阵是（A）(A+E) 2（B）一 2A（C） AT（D）A *9 下列矩阵中不能相似对角化的是10 设 A 是 n 阶非零矩阵，A m=0，下列命题中不一定正确的是（A）A 的特征值只有零（B） A 必不能对角化。（C） E+A+A2+Am1 必可逆（D）A 只有一个线性无关的特
4、征向量二、填空题11 已知方程组 有无穷多解，则 a=_12 已知方程组 总有解，则 应满足_13 四元方程组 的一个基础解系是_14 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1， 2， 3，其中 1=(1，1，1，1)T， 2+3=(2，3，4，5) T，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是_15 设 A 为三价非零矩阵，B= ，且 AB=0，则 Ax=0 的通解是_16 设 A= ，A *是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_17 已知 1， 2， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c11+c22+ctt仍是 Ax=b 的解，则 c1+c2+ct =_18 已知方
5、程组 的通解是(1，2，一 1，0) T+k(一1，2，一 1，1) T，则 a=_19 已知 1=(一 3，2，0) T， 2=(一 1，0，一 2)T 是方程组的两个解，则此方程组的通解是_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 已知 1=(1，1，0，2) T， 2=(一 1，1，2，4) T， 3=(2，3，a，7) T， 4=(一1，5，一 3，a+6) T，=(1，0，2，b) T，问 a，b 取何值时，() 不能由1， 2， 3， 4 线性表示?() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法唯一；() 能用 1， 2， 3， 4 线性表出，且表示法不唯一，并
6、写出此时表达式21 已知向量组 1=有相同的秩，且 3 可由 1， 2， 3 线性表出，求 a，b 的值22 已知 a1，a 2，a s 是互不相同的数，n 维向量 i=(1，a i，a iT，a in1)T(i=1，2，s)，求向量组 1， 2， s 的秩23 设 A 是 n 阶非零实矩阵，A *是 A 的伴随矩阵，A T 是 A 的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一 n 维列向量均可由矩阵 A 的列向量线性表出24 证明 1， 2， s(其中( 10)线性相关的充分必要条件是存在一个 i(1is)能由它前面的那些向量 1， 2， s1 线性表出25 已知 A 是 mn 矩阵，B 是 np
7、矩阵，如 AB=C，且 r(C)=m，证明 A 的行向量线性无关26 设 A 是 nzn 矩阵，B 是 ns 矩阵，C 是 ms 矩阵，满足 AB=C，如果秩 r(A)=n，证明秩 r(B)=r(C)27 设 A 是 n 阶实反对称矩阵，x，y 是实 n 维列向量，满足 Ax=y，证明 x 与 y 正交28 求齐次方程组 的基础解系29 求线性方程组 的通解，并求满足条件 x12=x22 的所有解30 当 a，b 取何值时方程组 ，有唯一解，无解，有无穷多解? 当方程组有解时，求其解31 已知 a，b ，c 不全为零，证明方程组 只有零解32 设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任
8、何 b 都有解的充分必要条件是A033 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系考研数学三（线性代数）模拟试卷 136 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定如果选择 x4，x 5对应齐次方程组写作 显见把 x4，x 5 当作参数时，x 1，x 2，x 3 不是唯一确定的因此 x4，x 5 不能唯一确定 x1，x 2，x 3，它们不能取为自由变量选 A【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无
9、解，两者不要混淆，请举简单反例 如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 r(Ab)=n，因此 Ax=b 可以无解例如前者只有零解，而后者无解故 B 不正确 关于(D) ，Ax=b 有唯一解 r(A)=r(Ab)=n由于 r(A)=n r(Ab)=n，例子同上可见(D) 只是必要条件，并不充分 (C)为何正确 ?除用排除法外，你如何证明【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 向量组(A) 线性相关， A 不正确 1， 2， 3， 1+2 与1， 2， 3， 4 等价但前者线性相关，故 C 不正确等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的
10、解，故 D 不正确选 B【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1=0，知 1+223+4=0 由 A2=0，知 2+4=0 因为 n 一 r(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由知， 2， 4 线性相关故应排除(B) 把代入得 2+4 一 23=0，即 1， 3 线性相关，排除(A) 如果2， 3 线性相关，则 r(1， 2， 3， 4)=r(一 23， 2， 3， 2)=r(2， 3)=1 与r(A)=2 相矛盾所以选 C【知识模块】 线性代数5 【正确答案】 C【试题解析】 如 A=，则 A-1= 故选 B【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 C【试
11、题解析】 如 A=则( A2)-1+E=3(A-1)2+= 当 =2时，知 选 C【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 C【试题解析】 A 1=0，A 2=O，A 3=3则 A(1+32)=0，A( 1 一 2)=0，A(2 3)=23因此 A，B ，(D) 都正确 A( 1+3)=3 和 1+3 不相关，因此 1+3 不是特征向量，故应选 C【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 C【试题解析】 由EA=(AEA) T= EA 知 A 与 AT 有相同的特征值，但方程组(E A)X=0 与(E AT)X=0 不一定同解，故 A 与 AT 特征向量不一定相同故应选 C【知识模块】 线性代数9
12、 【正确答案】 D【试题解析】 (A) 是实对称矩阵， (C)有 3 个不同的特征值，均可对角化(B)和 (D)特征值都是 0， 0，3在(B) 中，nr(0EA)=2，说明 =0有 2 个线性无关的特征向量故可以相似对角化在(D)中， n 一 r(0EA)=1，说明 =0只有 1 个线性无关的特征向量因此不能相似对角化故应选 D【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 D【试题解析】 设 A=，0，则 Am=m=0故 A=0A 正确 因为A0，r(A)1，那么 Ax=0 的基础解系有 nr(A)个解，即 =0有 nr(A)个线性无关的特征向量故 B 正确，而(D)不一定正确 由(E 一 A)
13、(E+A+A2+Am1)=EAm=E，知 C 正确故应选 D【知识模块】 线性代数二、填空题11 【正确答案】 5【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a=一 5 时，r(A)=r( )3，方程组有无穷多解【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 1 且 【试题解析】 对任意 b1， b2，b 3，方程组有解r(A)=3A0而由【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(一 1，1，0，1) T【试题解析】 n r(A)=42=2取 x3，x 4 为自由变量： 令 x3=1，x 4=0 得x2=0， x1=0；令 x3=0，x 4=1 得 x2=1，x 1=一 1
14、，所以基础解系是(0 ，0，1，0)T，(一 1，1，0，1) T【知识模块】 线性代数14 【正确答案】 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【试题解析】 由( 2+3)一 21=(3 一 2)+(3 一 1)=(2，3，4，5) T 一2(1，1 ，1，1) T=(0，1，2，3) T，知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解 又秩 r(A)=3， nr(A)=1，所以 Ax=b 的通解是(1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 c 1(1，4， 3)T+c2(一 2，3，1) T，c 1，c 2 任意【试题解析】 由 AB=
15、0 得 r(A)+r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)=1，nr(A)=2又 AB=0 说明 B 的每个到向量都是 AX=0 的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX=0 的通解 c1(1，4，3) T+c2(一 2，3，1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【试题解析】 因为秩 r(A)=2，所以行列式A=0 ，并且 r(A*)=1 那么A*A=AE=0 ，所以 A 的列向量是 A*x=0 的解 又因 r(A*)=1，故 A*x=0 的通解是 k1(1，4，7) T+k2(2， 5，8
16、) T【知识模块】 线性代数17 【正确答案】 1【试题解析】 因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i=b 若 c11+c22+ctt 是 Ax=b的解，则 A(c 11+c22+ctt)=c1A1+c2A2+ctAt =(c1+c2+ct)b=b 故c1+c2+ct=1【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 3【试题解析】 因(1，2，一 1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出b=1因(一 12一 11) T 是 Ax=0 的解，则将其代入第 1 个方程可求出 a=3【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 (一 3，2，0) T+k(一 1，1，1) T【试
17、题解析】 由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2 又 12 是 Ax=0的非零解，知 r(A)3 故必有 r(A)=2于是 nr(A)=1 所以方程组通解是：(一 3， 2，0) T+k(一 1，1，1) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。20 【正确答案】 设 x11+x22+x33 +x44=，对增广矩阵( 1， 2， 3， 4)作初等行变换，有()当 a=1，b2 或 a=10， b一 1 时，方程组均无解所以 不能由1， 2， 3， 4 线性表出 ()当 a1 且 a10 时， b 方程组均有唯一解所以 能用 1， 2， 3，
18、4 线性表示且表示法唯一。 () 方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当 a=10，b=一 1 时，方程组有无穷多解：(2)当a=1，b=2 时，方程组有无穷多解：x 4=一 ，x 2=t，x 3=1 一 2t，x 1=5t 一 ，即 =(5t 一 )1+t2+(12t)3 一 4【知识模块】 线性代数21 【正确答案】 因为 3 可由 1， 2， 3 线性表示，故方程组 x11+x22+x33=3 有解由并且秩 r(1， 2， 3)=2于是 r(1， 2， 3)=2从而 1， 2， 3= =一(a 一 15)=0a=15【知识模块】 线性代数22 【正确答案】 当 sn 时， 1， 2，
19、s 必线性相关，但 1， 2， n是范德蒙行列式，故 1， 2， n 线性无关因而 r(1， 2， s)=n 当 s=n时， 1， 2， ， n 线性无关，秩 r(1， 2， n)=n 当 sn 时，记1=(1， a1，a 12，a 1s1)T， 2=(1，a 2，a 22，a 2s1)T， ， s=(1，a s，a s2，a ss1)T，则 1， 2， s 线性无关那么1， 2， s 必线性无关故 r(1， 2， s)=s【知识模块】 线性代数23 【正确答案】 因为 A*=AT，按定义有 Aij=aij( i，j=1，2，n)，其中 Aij 是行列式A中 aij 的代数余子式 由于 A0，
20、不妨设 a10，那么 A=a 11A11+a12A12+a1nA1n=a112+a122+a1n20 于是 A=(1， 2， n)的n 个列向量线性无关那么对任一 n 维列向量 ，恒有 1， 2， n， 线性相关因此 必可由 1， 2， n 线性表出。【知识模块】 线性代数24 【正确答案】 必要性因为 1， 2， s 线性相关，故有不全为 0 的k1，k 2，k s，使 k 11+k22+kss=0 设 ks，k s1，k 2，k 1 中第一个不为0 的是 ki(即 ki0，而 ki+1=ks1=ks=0)，且必有 i1(若 i=1 即k10，k 2=ks=0，那么 k11=0于是 1=0
21、与 10 矛盾)，从而k11+k22+kii=0，k i0那么 i=一 (k11+k22+ki1i1) 充分性设有i 可用 1， 2， i1 线性表示，则 1， 2， i1， i 线性相关，从而1， 2， s 线性相关【知识模块】 线性代数25 【正确答案】 (用定义) 对矩阵 A 按行分块，记 A= ，那么AT=(1T， 2T， mT)若 k11T+k22T+kmmT=0，即( 1T， 2T， mT)于是 CT =0 因为 C 是 mp 矩阵，那么 CT 是 pm 矩阵由于 r(CT)=r(C)=m，所以齐次方程组 CTx=0 只有零解因此k1=0， k2=0， ，k m=0 故 1， 2，
22、 m 线性无关【知识模块】 线性代数26 【正确答案】 对齐次方程组()ABx=0， ()Bx=0，如 是( )的解，有 B=0，那么 AB=0，于是 是()的解如 是( )的解，有 AB=0，因为 A 是 mn 矩阵，秩 r(A)=n，所以 Ax=0 只有零解，从而 B=0于是 是()的解因此方程组(1)与()同解那么 sr(AB)=sr(B)，即 r(AB)=r(B)所以 r(B)=r(C)【知识模块】 线性代数27 【正确答案】 因为 AT=一 A，Ax=y，所以 (x，y)=x TAx=(ATx)Tx=(一 Ax)Tx=(一y，x)， 得(x，y)=0【知识模块】 线性代数28 【正确
23、答案】 对系数矩阵作初等变换，有当 a1 时，r(A)=3，取自由变量 x4 得 x4=1，x 3=0，x 2=一 6，x 1=5。基础解系是(5，一 6，0，1) T 当 a=1 时，r(A)=2 取自由变量 x3，x 4，则由 x 3=1，x 4=0 得 x2=一 2，x 1=1， x3=0， x4=1 得 x2=一 6，x 1=5，知基础解系是(1 ，一 2，1，0) T，(5，一 6，0，1) T【知识模块】 线性代数29 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 x3=0，x 4=0 得 x2=1，x 1=2即 =(2，1，0，0) T导出组的解： 令x3=1， x4=
24、0 得 x2=3，x 1=1即 1=(1，3，1，0) T； 令 x3=0，x 4=1 得 x2=0，x 1=一1即 2=(一 1，0，0，1) T因此方程组的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，O)T+k 2(一 1，0，0，1) T 而其中满足 x12=x22 的解，即(2+k 1k2)2=(1+3k1)2 那么 2+k 1k2=1+3k1 或 2+k1 一 k2=一(1+3k 1)， 即 k 2=12k1 或k2=3+4k1所以(1 ，l，0， 1)T+k(3，3，1，一 2)T 和 (一 1，1，0，3) T+k(一3，3，1，4) T 为满足 x12=x22 的所有解【知
25、识模块】 线性代数30 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有()当 a0，且b3 时，方程组有唯一解( ，1，0) T(1I)当 a=0 时， b 方程组均无解(11I)当a0，b=3 时，方程组有无穷多解( ，1，0) T+k(0，一 3，2) T【知识模块】 线性代数31 【正确答案】 因为系数行列式 =一(a2+b2+c2)0，所以齐次方程组只有零解【知识模块】 线性代数32 【正确答案】 必要性对矩阵 A 按列分块 A=(1， 2， n)，则 b，Ax=b有解 1， 2， n 可表示任何 n 维向量 b 1， 2， n 可表示e1=(1，0，0，0) T，e 2=(0，1，0，0)
26、 T， ，e n=(O，0，0，1) T r( 1， 2， n)r(e1， e2，e n)=nr(A)=n所以A 0充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 b，Ax=b 总有解【知识模块】 线性代数33 【正确答案】 设 Ax=0 的基础解系是 1， 2， t若 1， 2， s 线性无关， 1， 2， s 与 1， 2， t 等价 由 j(j=1，2，s)可以由1， 2， t 线性表示，而 i(i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 j (j=1，2，s)是 Ax=0 的解 因为 1， 2， t 线性无关，秩 r(1， 2， t)=t，又1， 2， t 与 1， 2， s 等价，所以 r( 1， 2， s)=r(1， 2， t)=t义因 1， 2， s 线性无关，故 s=t 因此 1， 2， t 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性代数
