1、考研数学三（线性代数）模拟试卷 78 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是 则自由变量不能取成（A）x 4，x 5（B） x2，x 3（C） x2，x 4（D）x 1，x 32 设 A 是 mn 矩阵，则下列命题正确的是（A）如 mn，则 Ax=b 有无穷多解（B）如 Ax=0 只有零解，则 Ax=b 有唯一解（C）如 A 有 n 阶子式不为零，则 Ax=0 只有零解（D）Ax=b 有唯一解的充要条件是 r(A)=n3 已知 1， 2,3， 4 是齐次方程组 Ax=0 的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是
2、（A） 1+2， 2+3， 3+4， 4+1（B） 1， 2， 3+4， 3 一 4（C） 1， 2,3， 4 的一个等价向量组（D） 1， 2,3， 4 的一个等秩的向量组4 设 A 是 54 矩阵，A=( 1,2,3,4)，若 1=(1，1，一 2，1) T， 2=(0，1，0，1) T是 Ax=0 的基础解系，则 A 的列向量组的极大线性无关组可以是（A） 1， 3（B） 2， 4（C） 2， 3（D） 1， 2， 4二、填空题5 已知方程组 有无穷多解，则 a=_6 已知方程组 总有解，则 应满足_7 四元方程组 的一个基础解系是_8 四元方程组 Ax=b 的三个解是 1,2,3，其中
3、 1=(1，1，1，1)T， 2+3=(2，3，4，5) T，如 r(A)=3，则方程组 Ax=b 的通解是_9 设 A 为三阶非零矩阵， 且 AB=0，则 Ax=0 的通解是_10 设 A*是 A 的伴随矩阵，则 A*x=0 的通解是_11 已知 1， 2， t 都是非齐次线性方程组 Ax=b 的解，如果 c11+c22+ctt仍是 Ax=b 的解，则 c1+c2 + +ct =_12 已知方程组 的通解是(1，2，一 1，0) T+k(一1，2，一 1，1) T，则 a=_13 已知 1=(一 3，2，0) T， 2=(一 1，0，一 2)T 是方程组的两个解，则此方程组的通解是_三、解答
4、题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 求齐次方程组 的基础解系15 求线性方程组 的通解，并求满足条件 x12=x22 的所有解16 当 a，b 取何值时，方程组 有唯一解，无解，有无穷多解? 当方程组有解时，求其解17 已知 a，b ，c 不全为零，证明方程组 只有零解18 设 A 是 n 阶矩阵，证明方程组 Ax=b 对任何 b 都有解的充分必要条件是A019 证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系考研数学三（线性代数）模拟试卷 78 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 自由未知量选择的原则是：其它
5、未知量可用它们唯一确定如果选择 x4,x5，对应齐次方程组写作 显见把 x4，x 5 当作参数时，x 1，x 2，x 3 不是唯一确定的因此 x4，x 5 不能唯一确定 x1，x 2，x 3，它们不能取为自由变量选(A)【知识模块】 线性代数2 【正确答案】 C【试题解析】 如 mn，齐次方程组 Ax=0 有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例如 Ax=0 只有零解，则 r(A)=n，但由 r(A)=n 推断不出 r(Ab)=n，因此 Ax=b 可以无解例如前者只有零解，而后者无解故(B)不正确关于(D) ，Ax=b 有唯一解 r(A)=r(Ab)=n由于 r(A)=nr
6、(A b)=n，例子同上可见(D) 只是必要条件，并不充分 (C)为何正确?除用排除法外，你如何证明【知识模块】 线性代数3 【正确答案】 B【试题解析】 向量组(A) 线性相关， (A)不正确 1， 2,3， 4， 1+2 与1， 2,3， 4 等价但前者线性相关，故(C)不正确 等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故(D)不正确选 (B)【知识模块】 线性代数4 【正确答案】 C【试题解析】 由 A1=0，知 1+223+4=0 由 A2=0，知 2+4=0 因为 nr(A)=2，故必有 r(A)=2所以可排除(D) 由知， 2， 4 线性相关故应排除(B) 把代入得
7、 123=0，即 1， 3 线性相关，排除(A) 如果 2,3 线性相关，则 r(1,2,3,4)=r(一 23， 2， 3，一 2)=r(2， 3)=1 与 r(A)=2 相矛盾所以选(C) 【知识模块】 线性代数二、填空题5 【正确答案】 a=一 5【试题解析】 对增广矩阵作初等行变换，有当 a=一 5 时， ，方程组有无穷多解【知识模块】 线性代数6 【正确答案】 【试题解析】 对任意 b1， b2，b 3，方程组有解 而由【知识模块】 线性代数7 【正确答案】 (0，0，1，0) T，(一 1，1，0，1) T【试题解析】 n 一 r(a)=42=2取 x3，x 4 为自由变量：令 x
8、3=1，x 4=0 得x2=0， x1=0；令 x3=0，x 4=1 得 x2=1，x 1=一 1，所以基础解系是(0 ，0，1，0)T，(一 1，1，0，1) T【知识模块】 线性代数8 【正确答案】 (1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【试题解析】 由( 2+3)一 21=(2 一 1)+(3 一 1)=(2，3，4，5) T 一2(1，1 ，1，1) T=(0，1，2，3) T，知(0，1，2，3) T 是 Ax=0 的解 又秩 r(A)=3， nr(A)=1，所以 Ax=b 的通解是(1，1，1，1) T+k(0，1，2，3) T【知识模块】 线性代数9 【正确答案】 c
9、1(1，4， 3)T+c2(一 2，3，1) T，c 1，c 2 任意【试题解析】 由 AB=0 得 r(a)+r(B)3显然 r(B)2，r(A)0，因而 r(A)=1， n 一r(a)=2又 AB=0 说明 B 的每个到向量都是 AX=0 的解，取它的 1，3 两列作为基础解系，得 AX=0 的通解 c1(1，4，3) T+c2(一 2，3，1) T，c 1，c 2 任意【知识模块】 线性代数10 【正确答案】 k 1(1，4，7) T+k2(2，5，8) T【试题解析】 因为秩 r(a)=2，所以行列式A=0，并且 r(A*)=1 那么A*A=AE=0 ，所以 A 的列向量是 A*x=0
10、 的解 又因 r(A*)=1，故 A*x=0 的通解是 k1(1，4，7) T+k2(2， 5，8) T【知识模块】 线性代数11 【正确答案】 1【试题解析】 因为 i 是 Ax=b 的解，所以，A i=b 若 c11+c22+ctt 是 Ax=b的解，则 A(c 11+c22+ctt)=c1A1+c2A2+ctAt =(c1+c2+ct)b=b 故c1+c2+ct=1【知识模块】 线性代数12 【正确答案】 3【试题解析】 因(1，2，一 1，0) T 是 Ax=b 的解，则将其代入第 2 个方程可求出b=1因(一 1，2，一 1，1) T 是 Ax=0 的解，则将其代入第 1 个方程可求
11、出 a=3【知识模块】 线性代数13 【正确答案】 (一 3，2，0) T+k(一 1，1，1) T【试题解析】 由于矩阵 A 中有 2 阶子式不为 0，故秩 r(A)2又 1 一 2 是 Ax=0的非零解，知 r(A)3故必有 r(A)=2于是 n 一 r(A)=1所以方程组通解是：(一 3， 2，0) T+k(一 1，1，1) T【知识模块】 线性代数三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。14 【正确答案】 对系数矩阵作初等变换，有当 a1 时，r(A)=3，取自由变量 x4 得 x4=1，x 3=0，x 2=一 6，x 1=5基础解系是(5，一6，0，1) T当 a=1 时，
12、r(A)=2取自由变量 x3，x 4，则由 x3=1，x 4=0 得 x2=一2，x 1=1，x 3=0，x 4=1 得 x2=一 6，x 1=5，知基础解系是(1，一 2，1，0) T，(5，一6，0，1) T【知识模块】 线性代数15 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令 x3=0，x 4=0 得 x2=1，x 1=2即 =(2，1，0，0) T导出组的解：令x3=1， x4=0 得 x2=3，x 1=1即 1=(1，3，1，0) T；令 x3=0，x 4=1 得 x2=0，x 1=一1即 2=(一 1，0，0，1) T因此方程组的通解是：(2，1，0，0) T+k1(1
13、，3，1，0)T+k2(一 1，0，0，1) T而其中满足 x12=x22 的解，即(2+k 1 一 k2)2=(1+3k1)2那么 2+k1 一 k2=1+3k1 或 2+k1 一 k2=一(1+3k 1)，即 k 2=12k1 或 k2=3+4k1所以(1，1， 0，1) T+k(3，3，1，一 2)T 和(一 1，1，0，3) T+k(一 3，3，1，4) T 为满足x12=x22 的所有解【知识模块】 线性代数16 【正确答案】 对增广矩阵作初等行变换，有(I)当 a0，且 b3 时，方程组有唯一解 ()当 a=0 时， 方程组均无解( )当 a0，b=3 时，方程组有无穷多解【知识模
14、块】 线性代数17 【正确答案】 因为系数行列式所以齐次方程组只有零解【知识模块】 线性代数18 【正确答案】 必要性对矩阵 A 按列分块 A=(1,2， n)，则 ，Ax=b有解 1,2， ， n 可表示任何 n 维向量 b 1,2， n 可表示e1=(1，0，0，0) T，e 2=(0，1，0，0) T， ，e n=(0，0，0，1)Tr( 1,2， n)r(e1，e 2，e n) =n r(A) =n所以A 0充分性由克莱姆法则，行列式A0 时方程组必有唯一解，故 ，Ax=b 总有解【知识模块】 线性代数19 【正确答案】 设 Ax=0 的基础解系是 1,2， t若 12， s 线性无关，12， s 与 1,2， t 等价 由于 j(j=1，2，s)可以由 1,2， t 线性表示，而 i(i=1，t)是 Ax=0 的解，所以 1(j=1，2，s) 是 Ax=0 的解 因为 1,2， ， t 线性无关，秩 r(1,2， t)=t，又 1,2， t，与12， s 等价，所以 r(12， s)=r(1,2， ， t)=t又因 12， s 线性无关，故 s=t 因此 12， t 是 Ax=0 的基础解系【知识模块】 线性代数
