1、考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 5 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 f()在( ，)上连续，F() 0f(t)dt，则下列命题错误的是 ( )（A）若 f()为偶函数，则 F()为奇函数（B）若 f()为奇函数，则 F()为偶函数（C）若 f()为以 T 为周期的偶函数，则 F()为以 T 为周期的奇函数（D）若 f()为以 T 为周期的奇函数，则 F()为以 T 为周期的偶函数2 设 f()为连续的奇函数，且 0，则( )：（A）0 为 f()的极小点（B） 0 为 f()的极大点（C）曲线 yf() 在 0 处的切线平行于 z
2、轴（D）曲线 yf() 在 0 处的切线不平行于 z 轴3 设偶函数 f()有连续的二阶导数，并且 f(0)0，则 0( )（A）不是函数的驻点（B）一定是函数的极值点（C）一定不是函数的极值点（D）不能确定是否是函数的极值点4 曲线 上 t1 对应的点处的曲率半径为 ( )（A）（B）（C） 10（D）55 下列曲线有斜渐近线的是( )（A）y sin（B） y 2sin（C） ysin（D）y 2 sin2二、填空题6 设函数 yy()由 e2y cosy e1 确定，则曲线 yy() 在 0 对应点处的法线方程为_7 椭圆 22y 23 在点(1 ，1) 处的切线方程为_三、解答题解答应
3、写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 F()在0，1上连续，且 f()1，证明：2 0f(t)dt1 在(0，1) 内有且仅有一个实根9 证明：方程 aln(a 0)在(0，)内有且仅有一个根10 设 fn()C n1cosC n2cos2(1) n-1Cnncosn，证明：对任意自然数 n，方程 fn() 在区间 (0， )内有且仅有一个根11 设 f()在0，1上连续、单调减少且 f()0，证明：存在 c(0，1)，使得 0cf()d(1c)f(c)12 求在 1 时有极大值 6，在 3 时有极小值 2 的三次多项式13 求函数 f() (2t)e -tdt 的最小值和最大值14 设
4、f()为 2，2上连续的偶函数，且 f()0，F() -22 t f(t)dt，求 F()在2 ，2 上的最小值点15 求函数 f() 在0，2上的最大和最小值16 f(，y) 3y 33y 的极小值17 设 yf() (1)讨论 f()在 0 处的连续性； (2)f() 在何处取得极值?18 设 f() 求 f()的极值19 设 g()在a，b上连续，且 f()在a，b上满足 f()g()f()f()0，又 f(a)f(b)0，证明：f()在a ，b上恒为零20 求函数 y 的单调区间与极值，并求该曲线的渐近线21 设 yy()由 2y2y1(y0)确定，求函数 yy() 的极值22 求 f
5、() 01tdt 在0，1上的最大值、最小值23 当 0 时，证明：24 当 0 时，证明： 0(tt) 2sin2ntdt (n 为自然数)25 证明：当 0 1 时， e-226 设 0a b ，证明：27 求 y 的渐近线考研数学二（一元函数微分学及应用）模拟试卷 5 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 取 f()1cos，f() 是以 2 为周期的偶函数， 而 F() 0(1cost)dtsin，F()不是以 2 为周期的奇函数，应选 C【知识模块】 一元函数微分学及应用2 【正确答案】 C【试题解析】 由 0 得
6、f(0)0，f(0) 0，则曲线 yf() 在 0 的切线平行于 轴，应选 C【知识模块】 一元函数微分学及应用3 【正确答案】 B【试题解析】 因为 f()为偶函数，所以 f()为奇函数，从而 f(0)0因为 f(0)0，而 f(0)0，所以 0 一定是 f()的极值点，应选 B【知识模块】 一元函数微分学及应用4 【正确答案】 C【试题解析】 故应选 C【知识模块】 一元函数微分学及应用5 【正确答案】 A【试题解析】 由 0 得 曲线ysin 有斜渐近线 y ，应选 A【知识模块】 一元函数微分学及应用二、填空题6 【正确答案】 y 1【试题解析】 当 0 时，y1， e 2y cosy
7、e1 两边对 求导得将 0，y1 代入得2， 故所求法线方程为 y1 (0)，即 y 1【知识模块】 一元函数微分学及应用7 【正确答案】 y2 3【试题解析】 2 2y 23 两边对 求导得 42yy0，即y ，y 1 2， 所求的切线方程为 y12(1)，即 y23【知识模块】 一元函数微分学及应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 令 ()2 0f(t)dt1， (0)1，(1)1 01f(t)dt 由 f()1得 01f(t)dt1，从而 (1)1 01f(t)dt0， 由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)0，即方程 2 0f(t)dt1 至少有
8、一个实根 因为 ()2f()0，所以 ()在0， 1上严格递增，故 2 0f(t)dt1 在(0，1)内有且仅有一个实根【知识模块】 一元函数微分学及应用9 【正确答案】 令 f() aln，f()在(0，) 连续， 因为 f(1)10， f()，所以 f()在(0 ， )内至少有一个零点，即方程 aln 在(0，)内至少有一个根 因为 f()a a-1 0，所以 f()在(0，)内严格递减，故 f()在(0， )内有且仅有一个零点，从而方程 aln 在(0 ，) 内有且仅有一个根【知识模块】 一元函数微分学及应用10 【正确答案】 由 fn()C n1cosC n2cos2( 1) n-1c
9、osn 得 f n()1(1 cos) n， 令 g()f n() (1 cos)n，由零点定理，存在 c(0， )，使得 g(c)0， 即方程 fn() 在(0， )内至少要有一个根 因为 g()n(1cos) n-1.sin0(0 )， 所以 g()在(0， )内有唯一的零点，从而方程 fn() 在(0， )内有唯一根【知识模块】 一元函数微分学及应用11 【正确答案】 令 ()( 1) 0f(t)dt， 因为 (0)(1)0，所以存在 c(0，1)，使得 (c)0， 而 () 0f(t)dt(1)f()， 于是 0cf()d(1c)f(c)【知识模块】 一元函数微分学及应用12 【正确答
10、案】 令 f()a 3b 2cd， 由 f(1)6，f(1)0，f(3) 2，f(3)0 得 解得 a1，b6，c 9，d2， 所求的多项式为 36 292【知识模块】 一元函数微分学及应用13 【正确答案】 显然 f()为偶函数，只研究 f()在0，)上的最小值和最大值 令 f()2(2 2) 0 得 当 0 时，f() 0；当 时，f()0， 为最大值点，最大值 M ； f(0)0，故 f()的最小值为 m0，最大值 M1 【知识模块】 一元函数微分学及应用14 【正确答案】 F() -22tf(t)dt -2(t)f(t)dt 2(t)f(t)dt -2f(t)dt -2tf(t)dt
11、2tf(t)dt 2f(t)dt， F() -2f(t)dt 2f(t)dt -20f(t)dt 0f(t)dt 20f(t)dt 0f(t)dt， 因为 -20f(t)dt 02f(t)dt，所以 F()2 0f(t)dt 因为 f()0，所以 F()0 得 0， 又因为 F()2f()，F(0)2f(0)0，所以 0为 F()在(2，2)内唯一的极 小值点，也为最小值点【知识模块】 一元函数微分学及应用15 【正确答案】 故 f()在0 ，2上最大值为 0，最小值为 ln 【知识模块】 一元函数微分学及应用16 【正确答案】 由 得(，y)(0，0)，(，y)(1， 1) f 6，f y3
12、，f yy6y， 当 (，y)(0，0)时，A0，B3，C 0，因为 ACB 20，所以(0，0)不是极值点； 当(，y)(1， 1)时， A6，B 3，C6， 因为 ACB 20 且 A0，所以(1，1) 为极小值点，极小值为 f(1，1)1【知识模块】 一元函数微分学及应用17 【正确答案】 f(00)1， f(0)f(00)1，由 f(0)f(00)f(0 0)1 得 f()在 0 处连续 (2)当 0 时，由 f()2 2(1ln) 0 得 ；当 0 时，f()10 当 0 时，f()0；当 0 时，f()0；当 时，f()0， 则 0 为极大点，极大值为 f(0)1； 为极小值点，极
13、小值为 【知识模块】 一元函数微分学及应用18 【正确答案】 因为 f (0)f (0)，所以 f()在 0 处不可导 于是 f()令 f()0 得 1， 当 1 时，f()0；当 1 0 时，f()0；当 0 时，f()0； 当 时，f() 0， 故 1 为极小值点，极小值为 f(1)1 ； 0 为极大值点，极大值为 f(0)1； 为极小值点，极小值为 【知识模块】 一元函数微分学及应用19 【正确答案】 设 f()在区间a，b上不恒为零，不妨设存在 0(a，b)，使得 f()0，则 f()在 (a，b)内取到最大值，即存在 c(a， b)，使得 f(c)M0，且 f(c)0，代入得 f(c
14、)f(c) M0，则 c 为极小值点，矛盾，即 f()0，同理可证明 f()0，故 f()0(ab)【知识模块】 一元函数微分学及应用20 【正确答案】 由得 1， 0 当 1 时，y0；当10 时，y0；当 0 时，y0， y(1) 的单调增区间为( ， 1(O，) ，单调减区间为1， 0，1 为极大值点，极大值为 y(1)2 ；0 的极小值点，极小值为 y(0) 因为 ，所以曲线 y(1) 没有水平渐近线； 又因为 y(1) 为连续函数，所以 y( 1) 没有铅直渐近线；得 y2 为曲线的斜渐近线；得 ye 2e 为曲线 y(1) 的斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学及应用21 【正确答
15、案】 2y2y 1 两边关于 求导得 2y22yyy0，解得 y， 由 y 0 得 0， 2y 22 2yyy0 两边对 求导得 2y 28yy 2 2y22 2yyy0， 将 0 ，y1，y(0)0 代入得 y(0)20， 故 0 为函数 yy() 的极大值点，极大值为 y(0)1【知识模块】 一元函数微分学及应用22 【正确答案】 由 f()210 得 ， 因为 所以 f()在0，1上的最大值为 、最小值为 【知识模块】 一元函数微分学及应用23 【正确答案】 令 f(t) lnt，f(t) ，由拉格朗日中值定理得 ln(1 )ln(1)lnf(1)f()f() ( 1)， 从而【知识模块
16、】 一元函数微分学及应用24 【正确答案】 令 f() 0(tt 2)sin2ntdt 令 f()( 2)sin2n0 得1，k(k1，2，)， 因为当 01 时，f()0；当 1 时，f()0， 所以 1 时， f()取最大值，故当 0 时，【知识模块】 一元函数微分学及应用25 【正确答案】 e 2 等价于2ln(1 )ln(1)， 令 f()ln(1)ln(1)2，f(0) 0， f() 0(01)， 由得 f()0(01)， 故当 0 1 时，e 2 【知识模块】 一元函数微分学及应用26 【正确答案】 令 f() ， 因为 sin(0 )且 cos1，所以 f()0(0 )， 即 f()在(0， )内单调递增， 从而当 0a b 时，f(a)f(b)，【知识模块】 一元函数微分学及应用27 【正确答案】 由 得 1 与 1 为 y 的铅直渐近线； 由 得 y 没有水平渐近线； 由得 y 为曲线 y 的斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学及应用
