1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 10 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (1996 年) 设当 0 时，e (a 2b1) 是比 2 高阶的无穷小，则 【 】（A）a ， b1（B） a1，b1（C） a ，b1（D）a1 ，b12 (1996 年) 设函数 f()在区间( ，) 内有定义，若当 (，) 时，恒有f() 2，则 0 必是 f()的 【 】（A）间断点（B）连续而不可导的点（C）可导的点，且 f(0)0（D）可导的点，且 f(0)03 (1996 年) 设 f()处处可导，则 【 】（A）（B）（C）（D）4 (1996
2、年) 在区间 (，)内，方程 cos0 【 】（A）无实根（B）有且仅有一个实根（C）有且仅有两个实根（D）有无穷多个实根5 (1997 年) 已知 yf()对一切的 满足 f() 3f() 21e -，若 f(0)0( 00)，则 【 】（A）f( 0)是 f()的极大值（B） f(0)是 f()的极小值（C） (0，f( 0)是曲线 yf()的拐点（D）f( 0)不是 f()的极值，( 0，f( 0)也不是曲线 yf()的拐点6 (1998 年) 函数 f()( 2 2) 3的不可导点的个数为 【 】（A）0（B） 1（C） 2（D）37 (1998 年) 设函数 f()在 a 的某个邻域
3、内连续，且 f(a)为其极大值，则存在0，当 (a，a)时，必有 【 】（A）(a)f()f(a)0（B） (a)f()f(a)0（C）（D）8 (1999 年) 设 f() ，其中 g()是有界函数，则 f()在 0 处 【 】（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导9 (2000 年) 设函数 f()满足关系式 f()f() 2，且 f(0)0，则 【 】（A）f(0)是 f()的极大值（B） f(0)是 f()的极小值（C）点 (0，f(0)是曲线 yf() 的拐点（D）f(0)不是 f()的极值，点(0，f(0)也不是曲线 yf()的拐点10 (2000
4、年)设函数 f()，g()是大于零的可导函数，且 f()g()f()g() 0，则当 ab 时有 【 】（A）f()g(b)f(b)g()（B） f()g(a)f(a)g()（C） f()g()g(b)f(b)（D）f()g() f(a)g(a)二、填空题11 (1998 年) _12 (1998 年) 曲线 yln(e )(0) 的渐近线方程为_13 (1999 年) 曲线 在点(70，1) 处的法线方程为_14 (1999 年) 设函数 yy()由方程 ln(2y) 3ysin 眦确定，则_15 (2000 年) _16 (2000 年) 设函数 yy()由方程 2yy 所确定，则 dy
5、0 _17 (2000 年) 曲线 y(2 1) 的斜渐近线方程为_18 (2001 年) 设函数 yf()由方程 e2y cos(y)e1 所确定，则曲线 yf()在点(0， 1)处的法线方程为 _三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 (1991 年) 如图 21 所示，A 和 D 分别是曲线 ye 和 ye 2 上的点，AB 和DC 均垂直于 轴，且AB：DC2：1，AB1求点 B 和 C 的横坐标，使梯形 ABCD 的面积最大20 (1992 年)21 (1992 年) 设函数 yy()由方程 ye y1 所确定，求 的值22 (1992 年) 已知 f()0，f(0)
6、0，试证：对任意的两正数 1 和 2，恒有f(1 2)f( 1)f( 2)成立23 (1993 年) 设 ysinf( 2)，其中 f 具有二阶导数，求 24 (1993 年)作半径为 r 的球的外切正圆锥，问此圆锥的高 h 为何值时，其体积 V最小，并求出该最小值25 (1993 年) 设 0，常数 ae，证明：(a) a aa26 (1994 年) 设 yf(y)，其中 f 具有二阶导数，且其一阶导数不等于 1，求 27 (1994 年) 设当 0 时，方程 k 1 有且仅有一个解，求 k 的取值范围28 (1994 年) 设 y (1)求函数的增减区间及极值； (2)求函数图形的凹凸区间
7、及拐点； (3)求其渐近线； (4) 作出其图形29 (1995 年) 设函数 yy()由方程 ef(y)e y 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求 30 (1995 年) 设 f() ，试讨论 f()在 0 处的连续性考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 10 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由f() 2 知，f(0) 0故应选 C【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 D【试题解析】 令 f()，则 f()， f()，但 f()1，可
8、见A、C 都不正确 令 f()e ，则 ，但，故 B 也不正确 所以应选 D【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【试题解析】 令 f() cos，显然，f()是偶函数所以，只要考虑 f()0 在(0，)上的实根情况，当 0 时则 f()在(0， )上严格单调增，因此 f()0 在(0， )上有唯一实根，而当 时，f()0，故在(0， )上方程 f()0 有且仅有唯一实根，由对称性可知，f()0 在( ，)上有且仅有两个实根【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(0)0 知 0 为 f()的驻点将 0 代入 f()33f() 21e 得 所以 0 为 f
9、()的极小值点【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义知在 0 不可导，而 在 0 可导，而 f()( 22) 3(2)(1) 11，则 f()在 0 和1 不可导，则应选 C【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f()在 a 取得极大值，则存在 0，使得当 (a，a)时 f()f(a) 即 f()(a)0 从而有 0 (a) 又因为 f()在 a 连续，则0 所以应选 C【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 D【试题解析】 所以 f()在 0 处可导【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 C【试题解析】 原式两端对
10、求导得f()2f()f()1令 0 得 f(0)10，又 f(0) 0则，点(0 ，f(0)是曲线 yf()的拐点【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 由 f()g()f()g() 0，ab 可知，ab 则 在(a，b) 内单调减，从而应有 即 f()g(b)f(b)g() 故应选 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题11 【正确答案】 【试题解析】 由洛必达法则知【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 y 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 y2 10【试题解析】 当 0 时，t0，故 从而在(0，1)处的法线方程为 y12即
11、y210【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 1【试题解析】 原方程两边对 求导得 3 2y 3ycos 由原方程可知，当 0 时 y1，将 0，y1 代入上式，得 y1【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 (ln21)d 【试题解析】 等式 2yy 两端求微分得 2 yln2(yddy)ddy 由原式可知当 0 时，y1，将 0，y1 代入上式得 dy 0 (ln2 1)d【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 y2 1【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 2105 2y20【试
12、题解析】 方程 e2y cos(y)e1 两边对 求导得 (2y)e 2y sin(y)(yy)0 将 0，y1 代入上式得 y2 则 yf()在(0，1)处的法线方程为 y1 即 2y20【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。19 【正确答案】 设 B 和 C 的横坐标分别为 1 和 ，则 得 1ln22 BC 13 ln2 (0) 梯形 ABCD 的面积 S (3ln2)e -2 S (362ln2)e -2 令 S0，得 ln2 且当 ln2 时，S0；当 ln2 时，S0，所以 S 在 ln2 取极大值，又驻点唯一，故 ln2 是最大值点，当 l
13、n2， 1 ln21 时，ABCD 的面积最大【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 原式0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 方程 ye y1 两边对 求导得 ye ye yy0，由原式知 0时，y1，将 0，y 1 代入得 y 0 e，等式 ye ye yy0 两边对 求导得 ye yy eyy(e yy)0 将 0，y1，y(0) e 代入上式得 y(0)2e 2【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 不妨设 12，由拉格朗日中值定理可知 f( 1)f(0)f(c 1)1(0c 1 1) f(1 2)f( 2)f(c 2)1 (2c 2 1 2) 又 f()
14、0，则 f()单调减少，故 f(c2) f(c1)，而 10 则 f(1 2)f( 2) f(1)f(0) 又 f(0)0，则f(1 2)f( 1)f( 2)【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设圆锥底面圆半径为 R，如图 26 所示SCh，OCODr，BC R 于是圆锥体积为 V(h) (2r h) V(A) 令V(h)0 得 h4r，h0 舍去 由于圆锥的最小体积一定存在，且 h4r 是 V(h)在(2r，)内的唯一驻点，所以当 h4r 时 V 取最小值 V(4r)【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由于 yln 为单
15、调增函数，所以欲证(a) aa a ，只需证aln(a )(a)lna 令 f()(a)lnaaln(a) f()lna ，由于 ae ，则 lna1，又 0，则 1 故 f()0，所以函数 f()在0 ，) 上单调增加，而 f(0)0 所以 f()0(0 ) 即 aln(a)(a)lna， (a ) aa a【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 等式 yf(y)两边对 求导，得【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 设 f()k 1，则 f()k ，f() 0 1)当 k0 时，f()0，故 f()递减，又 f() 当 k0 时， f()，当 k0 时，f()1 当 k0
16、时，原方程在 (0，) 内有且仅有一个解 2)当 k0 时，令 f()0，得 ，且为极小值点，又 f()0，则 f()单增，而f 0，则在(0 ， )上 f()0，f()单调减，在( ，)上 F()0，f()单调增，又 f() ， ，f()，所以当且仅当 f( )0时，原方程有且仅有一个解 即 时， 原方程有且仅有一个解由上式解得 k 而当 k 时，原方程或无解，或有两个解 综上所述，当 k 或 k0 时，方程有且仅有一个解【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 定义域(，0)(0，) y1 ，令 y0 得驻点 2，不可导点 0，在 (，0)和(2，)上 y0，则函数单调增，在 (0，2)上 y0，函数单调减，在 2 取得极小值 y3 y 0，则在区间( ，0) 和(0， )上都是凹的，无拐点 又 ，则有垂直渐近线 0则有斜渐近线 y 令 y0 得 函数图形见图 27 所示【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 方程两边取对数得 lnf(y) y 上式两边对 求导得 f(y)yy 从而【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 所以 f()在 0 是连续的【知识模块】 一元函数微分学
