[考研类试卷]考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编13及答案与解析.doc

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1、考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 (91 年 )曲线(A)没有渐近线(B)仅有水平渐近线(C)仅有铅直渐近线(D)既有水平渐近线也有铅直渐近线2 (92 年 )当 x0 时,xsinx 是 x2 的(A)低阶无穷小(B)高阶无穷小(C)等价无穷小(D)同阶但非等价无穷小3 (93 年 )设 f(x)= ,则在点 x=1 处函数 f(x)(A)不连续(B)连续,但不可导(C)可导,但导数不连续(D)可导,且导数连续4 (93 年 )设常数 k0,函数 f(x)= 在(0, +)内零点个数为(A)3(B

2、) 2(C) 1(D)05 (93 年 )若 f(x)=-f(一 x)在(0+) 内 f(x)0,f“(x)0,则 f(x)在(-,0)内(A)f(x)0,f“(x)0(B) f(x)0,f“(x)0(C) f(x)0,f“(x)0(D)f(x)0,f“(x)06 (94 年 )设 则(A)a=1 (B) a=0,b=一 2(C) a=0(D)a=1,b=-27 (94 年 )设 f(x)= ,则 f(x)在 x=1 处的(A)左、右导数都存在(B)左导数存在,但右导数不存在(C)左导数不存在,但右导数存在(D)左、右导数都不存在8 (94 年 )设 y=f(x)是满足微分力程 y“+y一 e

3、sinx=0 的解且 f(x0)=0,则 f(x)在(A)x 0 某邻域内单调增加(B) x0 某邻域内单调减少(C) x0 处取得极小值(D)x 0 处取得极大值9 (94 年 )曲线 的渐近线有(A)1 条(B) 2 条(C) 3 条(D)4 条10 (95 年) 设 f(x)在(-,+)内可导且对任意 x1,x 2当 x1x 2 时,都有 f(x1)f(x 2)则(A)对任意 x,f(x)0(B)对任意 x,f(一 x)0(C)函数 f(一 x)单调增加(D)函数-f(-x) 单调增加11 (95 年) 设函数 f(x)在0,1上,f“(x)0则 f(1),f(1)-f(0)或 f(0)

4、-f(1)的大小顺序是(A)f(1)f(0)f(1)一 f(0)(B) f(1)f(1)一 f(0)f(0)(C) f(1)一 f(0)f(1) f(0)(D)f(1)f(0)一 f(1)f(0)12 (95 年) 设 f(x)可导,F(x)=f(x)(1+|sinx|)若 F(x)在 x=0 处可导,则必有(A)f(0)=0(B) f(0)=0(C) f(0)+f(0)=0(D)f(0)一 f(0)=0二、填空题13 (92 年) 设 ,其中 f 可导,且 f(0)0,则 =_14 (92 年) 函数 y=x+2cosx 在区间 上的最大值为_15 (93 年)16 (93 年) 函数 y=

5、y(x)由方程 sin(x2+y2)+ex 一 xy2=0 所确定,则17 (94 年) 设函数 y=y(x)由参数方程18 (95 年) 设 y=cos(x2)sin2 ,则 y=_19 (95 年) 曲线 在 t=2 处的切线方程为_20 (95 年) 曲线 的渐近线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (91 年) 设22 (91 年) 求23 (91 年) 利用导数证明:当 x1 时,有不等式24 (91 年) 如图 21 昕示,A 和 D 分别是曲线 y=ex 和 y=e-2x 上的点,AB 和 DC 均垂直于 x 轴,且|AB|:|DC|=2:1,|AB|

6、1求点 B 和 C 的横坐标,使梯形 ABCD的面积最大25 (92 年)26 (92 年) 设函数 y=y(x)由方程 yxey=1 所确定,求 的值27 (92 年) 已知 f“(x)0,f(0)=0,试证:对任意的两正数 x1 和 x2,恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立28 (93 年) 设 y=sinf(x2),其中 f 具有二阶导数,求29 (93 年) 作半径为 r 的球的外切正网锥,问此圆锥的高 h 为何值时,其体积 V 最小并求出该最小值30 (93 年) 设 x0常数 ae证明:(a+x) aa a+x31 (94 年) 设 y=f(x+y)其中 f 具有二

7、阶导数,且其一阶导数不等于 1,求32 (94 年) 设当 x0 时,方程 有且仅有一个解求 k 的取值范围33 (94 年) 设 (1)求函数的增减区间及极值;(2)求函数图形的凹凸区间及拐点:(3)求其渐近线; (4)作出其图形34 (95 年) 设函数 y=y(x)由方程 xef(y)=ey 确定,其中 f 具有二阶导数,且 f1,求35 (95 年) 设 f(x)= 试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性考研数学二(一元函数微分学)历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 则原曲线有水平渐近线

8、 y=1又则原曲线有垂直渐近线 x=0,所以应选(D)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 则当 x0 时,x-sinx是 x2 的高阶无穷小【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)= 令 f(x)=0 得 x=e且当x(0,e)时f(x)0,则 f(x)严格单调增;而当 x(e,+)时,f(x)0,则 f(x)严格单调减,又 f(e)=k0而则 f(x)在(0 e)和(e+)分别有唯一零点,故 f(x)= 在(0,+) 内零点个数为2【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答

9、案】 C【试题解析】 由 f(x)=一 f(-x)知 f(-x)=-f(x),即 f(x)的图形关于原点对称,从而由在(0, +)内f(x)0,f“(x)0 可知,在(一 ,0)内f(x)0,f“(x)0因此应选(C)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由上式右端可知a=1否则原式极限为无穷【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 ,则 f(x)在 x=1 不右连续,从而f+(1)不存在,又 在 x=1 可导,而 x1 时 f(x)= ,则 f+(1)存在,故应选(B)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 y=f(x)

10、满足方程 y”+y一 esinx=0则 f“(x)+f(x)-esinx0 令 x=x 0,得 f“(x0)+f(x0)- =0。即 f”(x 0)= 又 f(x0)=0 则 f(x)在 x0 处取极小值【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 由 可知原曲线有水平渐近线又 则原曲线有垂直渐近线 x=0,虽然原题中当 x=1,x= 一 2 时分母为零,但 都不是,则原曲线的渐近线有两条【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 由于对任意的 x1,x 2,当 x1x 2 时一 x1x 2,则有 f(一 x1)f(-x 2)。即一 f(一 x1)一 f(一

11、 x2), 也就是说,当 x1x 2 时一 f(一 x1)-f(一 x2),故一f(一 x)单调增【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f“(x)0 x0,1则 f(x)单调增,又 f(1)-f(0)=f(c) c(0,1)从而 f(1)f(c)f(0)即 f(1)f(1)一 f(0)f(0)【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 由于 F(x)=f(x)+f(x)|sinx|,而 f(x)可导,则 F(x)在 x=0 可导等价于f(x)|sinx|在 x=0 可导,令 (x)=f(x)|sinx|则要使 F(x)在 x=0 可导,当且仅

12、当 f(0)=一 f(0),即 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 y=12sinx,令 y=0 得 y“=-2cosx, ,则y=x+2cosx 在 取得极大值,又在 上极值点唯一,则该极大值为最大值,最大值为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 等式 sin(x2+y2)+ey 一 xy2=0 两边对 x 求导得 2cos(x 2+y2)(x+yy)+ex 一y2 一 2xyy=0 则【知识模

13、块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 3x 一 y 一 7=0【试题解析】 当 t=2 时 x=5,y=8则所求切线方程为 y 一8=3(x 一 5),即 3xy 一 7=0【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y=0【试题解析】 由于 原曲线仅有一条水平渐近线 y=0【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】

14、要证 只需证明(1-x)ln(1+x)xlnx 为此令 f(x)=(x+1)ln(1+x)一 xlnx f(x)=ln(1 一 x)-lnx0 (x 1)又 f(1)=2ln20 则当 x1 时,f(x)0,即(1+x)ln(1+x) xlnx【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设 B 和 C 的横坐标分别为 x1 和 x,则 =2e-2x 得 x1=ln2-2x。 BC=x-x1=3x-ln2(x0)梯形 ABCD 的面积令 S=0,得且当 时,S0;当 S 0,所以 S 在 取极大值,又驻点唯一,故 是最大值点,当 时,梯形 ABCD 的面积最大【知识模块】 一元函数微分学25

15、 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 方程 yxey=1 两边对 x 求导得 y-e y 一 xeyy=0,由原式知 x=0时y=1 ,将 x=0,y=1 代入得 y| x=0=e,等式 y-ey-xeyy=0 两边对 x 求导得 y“一eyy一 eyy一 x(eyy)=0 将 x=0,y=1 ,y(0)=e 代入上式得 y“(0)=2e2【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 不妨设 x1x2,由拉格朗日中值定理可知 f(x 1)一 f(0)=f(c1)x1 (0c 1x 1) f(x1+x2)一 f(x2)=f(c2)x1(x2c 2x 1+x2) 又 f

16、“(x)0,则 f(x)单调减少,故 f(c2)f(c 1),而 x10 则 f(x 1+x2)一 f(x2)f(x 1)一 f(0) 又 f(0)=0,则 f(x 1+x2)f(x 1)+f(x2)【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 =cosf(x2)f(x2).2x=2xf(x2)cosf(x2) =2f(x2)cosf(x2)+4x2f“(x2)cosf(x2)一 4x2f(x2)2sinf(x2)【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设圆锥底面圆半径为 R,如图 2.6 所示SC=h,OC=OD=r,BC=R由于圆锥的最小体积一定存在,且 h=4r 是 V(h)在

17、(2r,+)内的唯一驻点,所以当 h=4r 时 V 取最小值【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由于 y=lnx 为单调增函数,所以欲证(a+x) aa n+x只需证 aln(a+x)(a+x)lna令 f(x)=(a+x)lnaaln(a+x) ,由于 ae,则lna1,又 x0则 故 f(x)0,所以函数 f(x)在0,+) 上单调增加而 f(0)=0 所以 f(x)0(0x+) 即 aln(a+x) (a+x)lna (a+x) aa a+x。【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 等式 y=f(x+y)两边对 x 求导,得【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案

18、】 1)当k0 时,f(x)0,故 f(x)递减,又 当 k0 时 =-,当k=0 时, 当 k0 时,原方程在(0,+)内有且仅有一个解2)当k0 时,令 f(x)=0,得 且为极小值点,又 f“(x)0,则 f(x)单增,而上 f(x)0,f(x)单调减,在 上 f(x)0,f(x)单调增,又 所以当且仅当时,原方程有且仅有一个解 时,原方程有且仅有一个解由上式解得 而当 原方程或无解,或有两个解综上所述,当 或 k0 时,方程有且仅有一个解【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 定义域(一,0)(0,+) 令 y=0 得驻点 x=2,不可导点 x=0,在 (一,0)和(2,+)上 y0,则函数单调增,在(0,2)上 y0,函数单调减,在 x=2 取得极小值 y=3 ,则在区间(一,0)和(0,+)上都是凹的,无拐点又 则有垂直渐近线 x=0则有斜渐近线 y=x 函数图形见图 27 所示【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 方程两边取对数得 lnx+f(y)=y【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 当 x0 时, 所以 f(x)在x=0 是连续的【知识模块】 一元函数微分学

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