1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 13 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (91 年 )曲线（A）没有渐近线（B）仅有水平渐近线（C）仅有铅直渐近线（D）既有水平渐近线也有铅直渐近线2 (92 年 )当 x0 时，xsinx 是 x2 的（A）低阶无穷小（B）高阶无穷小（C）等价无穷小（D）同阶但非等价无穷小3 (93 年 )设 f(x)= ，则在点 x=1 处函数 f(x)（A）不连续（B）连续，但不可导（C）可导，但导数不连续（D）可导，且导数连续4 (93 年 )设常数 k0,函数 f(x)= 在(0， +)内零点个数为（A）3（B
2、） 2（C） 1（D）05 (93 年 )若 f(x)=-f(一 x)在(0+) 内 f(x)0，f“(x)0，则 f(x)在(-,0)内（A）f(x)0，f“(x)0（B） f(x)0,f“(x)0（C） f(x)0，f“(x)0（D）f(x)0，f“(x)06 (94 年 )设 则（A）a=1 （B） a=0，b=一 2（C） a=0（D）a=1,b=-27 (94 年 )设 f(x)= ，则 f(x)在 x=1 处的（A）左、右导数都存在（B）左导数存在，但右导数不存在（C）左导数不存在，但右导数存在（D）左、右导数都不存在8 (94 年 )设 y=f(x)是满足微分力程 y“+y一 e
3、sinx=0 的解且 f(x0)=0，则 f(x)在（A）x 0 某邻域内单调增加（B） x0 某邻域内单调减少（C） x0 处取得极小值（D）x 0 处取得极大值9 (94 年 )曲线 的渐近线有（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条10 (95 年) 设 f(x)在(-,+)内可导且对任意 x1，x 2当 x1x 2 时，都有 f(x1)f(x 2)则（A）对任意 x，f(x)0（B）对任意 x,f(一 x)0（C）函数 f(一 x)单调增加（D）函数-f(-x) 单调增加11 (95 年) 设函数 f(x)在0，1上,f“(x)0则 f(1)，f(1)-f(0)或 f(0)
4、-f(1)的大小顺序是（A）f(1)f(0)f(1)一 f(0)（B） f(1)f(1)一 f(0)f(0)（C） f(1)一 f(0)f(1) f(0)（D）f(1)f(0)一 f(1)f(0)12 (95 年) 设 f(x)可导，F(x)=f(x)(1+|sinx|)若 F(x)在 x=0 处可导，则必有（A）f(0)=0（B） f(0)=0（C） f(0)+f(0)=0（D）f(0)一 f(0)=0二、填空题13 (92 年) 设 ，其中 f 可导，且 f(0)0，则 =_14 (92 年) 函数 y=x+2cosx 在区间 上的最大值为_15 (93 年)16 (93 年) 函数 y=
5、y(x)由方程 sin(x2+y2)+ex 一 xy2=0 所确定，则17 (94 年) 设函数 y=y(x)由参数方程18 (95 年) 设 y=cos(x2)sin2 ，则 y=_19 (95 年) 曲线 在 t=2 处的切线方程为_20 (95 年) 曲线 的渐近线方程为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 (91 年) 设22 (91 年) 求23 (91 年) 利用导数证明：当 x1 时，有不等式24 (91 年) 如图 21 昕示，A 和 D 分别是曲线 y=ex 和 y=e-2x 上的点，AB 和 DC 均垂直于 x 轴，且|AB|：|DC|=2：1，|AB|
6、1求点 B 和 C 的横坐标，使梯形 ABCD的面积最大25 (92 年)26 (92 年) 设函数 y=y(x)由方程 yxey=1 所确定，求 的值27 (92 年) 已知 f“(x)0，f(0)=0，试证：对任意的两正数 x1 和 x2,恒有 f(x1+x2)f(x 1)+f(x2)成立28 (93 年) 设 y=sinf(x2)，其中 f 具有二阶导数，求29 (93 年) 作半径为 r 的球的外切正网锥，问此圆锥的高 h 为何值时，其体积 V 最小并求出该最小值30 (93 年) 设 x0常数 ae证明：(a+x) aa a+x31 (94 年) 设 y=f(x+y)其中 f 具有二
7、阶导数，且其一阶导数不等于 1，求32 (94 年) 设当 x0 时，方程 有且仅有一个解求 k 的取值范围33 (94 年) 设 (1)求函数的增减区间及极值；(2)求函数图形的凹凸区间及拐点：(3)求其渐近线； (4)作出其图形34 (95 年) 设函数 y=y(x)由方程 xef(y)=ey 确定，其中 f 具有二阶导数，且 f1，求35 (95 年) 设 f(x)= 试讨论 f(x)在 x=0 处的连续性考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 13 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 由于 则原曲线有水平渐近线
8、 y=1又则原曲线有垂直渐近线 x=0，所以应选(D)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 B【试题解析】 则当 x0 时，x-sinx是 x2 的高阶无穷小【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 由 f(x)= 令 f(x)=0 得 x=e且当x(0,e)时f(x)0，则 f(x)严格单调增；而当 x(e,+)时，f(x)0，则 f(x)严格单调减，又 f(e)=k0而则 f(x)在(0 e)和(e+)分别有唯一零点，故 f(x)= 在(0，+) 内零点个数为2【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答
9、案】 C【试题解析】 由 f(x)=一 f(-x)知 f(-x)=-f(x)，即 f(x)的图形关于原点对称，从而由在(0， +)内f(x)0，f“(x)0 可知，在(一 ，0)内f(x)0，f“(x)0因此应选(C)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 A【试题解析】 由上式右端可知a=1否则原式极限为无穷【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 B【试题解析】 ，则 f(x)在 x=1 不右连续，从而f+(1)不存在，又 在 x=1 可导，而 x1 时 f(x)= ，则 f+(1)存在，故应选(B)【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 由于 y=f(x)
10、满足方程 y”+y一 esinx=0则 f“(x)+f(x)-esinx0 令 x=x 0，得 f“(x0)+f(x0)- =0。即 f”(x 0)= 又 f(x0)=0 则 f(x)在 x0 处取极小值【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 B【试题解析】 由 可知原曲线有水平渐近线又 则原曲线有垂直渐近线 x=0，虽然原题中当 x=1，x= 一 2 时分母为零，但 都不是，则原曲线的渐近线有两条【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 D【试题解析】 由于对任意的 x1，x 2，当 x1x 2 时一 x1x 2，则有 f(一 x1)f(-x 2)。即一 f(一 x1)一 f(一
11、 x2)， 也就是说，当 x1x 2 时一 f(一 x1)-f(一 x2)，故一f(一 x)单调增【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 B【试题解析】 由于 f“(x)0 x0，1则 f(x)单调增，又 f(1)-f(0)=f(c) c(0，1)从而 f(1)f(c)f(0)即 f(1)f(1)一 f(0)f(0)【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 A【试题解析】 由于 F(x)=f(x)+f(x)|sinx|，而 f(x)可导，则 F(x)在 x=0 可导等价于f(x)|sinx|在 x=0 可导，令 (x)=f(x)|sinx|则要使 F(x)在 x=0 可导，当且仅
12、当 f(0)=一 f(0)，即 f(0)=0【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 3【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 【试题解析】 y=12sinx，令 y=0 得 y“=-2cosx， ，则y=x+2cosx 在 取得极大值，又在 上极值点唯一，则该极大值为最大值，最大值为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 0【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【试题解析】 等式 sin(x2+y2)+ey 一 xy2=0 两边对 x 求导得 2cos(x 2+y2)(x+yy)+ex 一y2 一 2xyy=0 则【知识模
13、块】 一元函数微分学17 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 3x 一 y 一 7=0【试题解析】 当 t=2 时 x=5，y=8则所求切线方程为 y 一8=3(x 一 5)，即 3xy 一 7=0【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 y=0【试题解析】 由于 原曲线仅有一条水平渐近线 y=0【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。21 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】
14、要证 只需证明(1-x)ln(1+x)xlnx 为此令 f(x)=(x+1)ln(1+x)一 xlnx f(x)=ln(1 一 x)-lnx0 (x 1)又 f(1)=2ln20 则当 x1 时，f(x)0，即(1+x)ln(1+x) xlnx【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 设 B 和 C 的横坐标分别为 x1 和 x，则 =2e-2x 得 x1=ln2-2x。 BC=x-x1=3x-ln2(x0)梯形 ABCD 的面积令 S=0，得且当 时，S0；当 S 0，所以 S 在 取极大值，又驻点唯一，故 是最大值点，当 时，梯形 ABCD 的面积最大【知识模块】 一元函数微分学25
15、 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 方程 yxey=1 两边对 x 求导得 y-e y 一 xeyy=0，由原式知 x=0时y=1 ，将 x=0，y=1 代入得 y| x=0=e，等式 y-ey-xeyy=0 两边对 x 求导得 y“一eyy一 eyy一 x(eyy)=0 将 x=0，y=1 ，y(0)=e 代入上式得 y“(0)=2e2【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 不妨设 x1x2，由拉格朗日中值定理可知 f(x 1)一 f(0)=f(c1)x1 (0c 1x 1) f(x1+x2)一 f(x2)=f(c2)x1(x2c 2x 1+x2) 又 f
16、“(x)0，则 f(x)单调减少，故 f(c2)f(c 1)，而 x10 则 f(x 1+x2)一 f(x2)f(x 1)一 f(0) 又 f(0)=0，则 f(x 1+x2)f(x 1)+f(x2)【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 =cosf(x2)f(x2).2x=2xf(x2)cosf(x2) =2f(x2)cosf(x2)+4x2f“(x2)cosf(x2)一 4x2f(x2)2sinf(x2)【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 设圆锥底面圆半径为 R，如图 2.6 所示SC=h，OC=OD=r，BC=R由于圆锥的最小体积一定存在，且 h=4r 是 V(h)在
17、(2r，+)内的唯一驻点，所以当 h=4r 时 V 取最小值【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由于 y=lnx 为单调增函数，所以欲证(a+x) aa n+x只需证 aln(a+x)(a+x)lna令 f(x)=(a+x)lnaaln(a+x) ，由于 ae，则lna1，又 x0则 故 f(x)0，所以函数 f(x)在0，+) 上单调增加而 f(0)=0 所以 f(x)0(0x+) 即 aln(a+x) (a+x)lna (a+x) aa a+x。【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 等式 y=f(x+y)两边对 x 求导，得【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案
18、】 1)当k0 时，f(x)0，故 f(x)递减，又 当 k0 时 =-，当k=0 时， 当 k0 时，原方程在(0，+)内有且仅有一个解2)当k0 时，令 f(x)=0，得 且为极小值点，又 f“(x)0，则 f(x)单增，而上 f(x)0，f(x)单调减，在 上 f(x)0，f(x)单调增，又 所以当且仅当时，原方程有且仅有一个解 时，原方程有且仅有一个解由上式解得 而当 原方程或无解，或有两个解综上所述，当 或 k0 时，方程有且仅有一个解【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 定义域(一，0)(0，+) 令 y=0 得驻点 x=2，不可导点 x=0，在 (一，0)和(2，+)上 y0，则函数单调增，在(0，2)上 y0，函数单调减，在 x=2 取得极小值 y=3 ，则在区间(一，0)和(0，+)上都是凹的，无拐点又 则有垂直渐近线 x=0则有斜渐近线 y=x 函数图形见图 27 所示【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 方程两边取对数得 lnx+f(y)=y【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 当 x0 时， 所以 f(x)在x=0 是连续的【知识模块】 一元函数微分学
