1、考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 1 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 (2010 年试题，3) 曲线 y=x2 与曲线 y=alnx(a0)相切，则 a=( )（A）4e（B） 3e（C） 2e（D）e2 (2005 年试题，二) 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，则曲线 y=y(x)在x=3 处的法线与 x 轴交点的横坐标是( ) （A）（B）（C）一 8ln2+3（D）81n2+33 (2006 年试题，二) 设函数 g(x)可微，h(x)=e 1+g(x)，h (1)=1，g (1)=2，则 g(1)等于( )（A）ln31（
2、B）一 ln31（C）一 ln21（D）ln214 (1999 年试题，二) 设 其中 g(x)是有界函数，则 f(x)在 x=0处( )（A）极限不存在（B）极限存在，但不连续（C）连续，但不可导（D）可导5 (2006 年试题，二) 设函数 y=f(x)具有二阶导数，且 f(x)0,f(x)0，x 为自变量 x在点 xo 处的增量，y 与 dy 分别为 f(x)在点 xo 处对应的增量与微分，若x0，则( )（A）00，则存在 0，使得( )（A）f(x)在(0，)内单调增加（B） f(x)在(一 ，0)内单调减少（C）对任意的 x(0，)有 f(x)f(0)（D）对任意的 x(一 ，0)
3、有 f(x)f(0)8 (2003 年试题，二) 设函数 f(x)在(一，+)内连续，其导函数的图形如右图 123 所示，则 f(x)有( )（A）一个极小值点和两个极大值点（B）两个极小值点和一个极大值点（C）两个极小值点和两个极大值点（D）三个极小值点和一个极大值点9 (2001 年试题，二) 已知函数 y=f(x)在其定义域内可导，它的图形如图 124 所示，则其导函数 y=f(x)的图形如图 1 一 25 所示： ( )（A）（B）（C）（D）10 (2000 年试题，二) 设函数 f(x)，g(x)是大于零的可导函数，且 f(x)g(x)一 f(x)g(x)（A）f(x)g(b)f(
4、b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x)f(a)g(a)11 (1998 年试题，二) 设函数 f(x)在 x=a 的某个领域内连续，且 f(x)为其极大值，则存在 0，当 x(a 一 ，a+)时，必有( ) （A）(x 一 a)f(x)-f(a)0（B） (x 一 a)f(x)一 f(a)0（C）（D）12 (1997 年试题，二) 已知函数 y=f(x)对一切 x 满足 xf(x)+3xf(x)2=1 一 e-x，若f(x0)=0(x00)，则( ) （A）f(x 0)是 f(x)的极大值（B） f(x0)是 f(x
5、)的极小值（C） (x0,f(x2)是曲线 y=f(x)的拐点（D）f(x 0)不是 f(x)的极值，(x 0,f(x0)也不是曲线 y=f(x)的拐点二、填空题13 (2012 年试题，二) 曲线 y=x2+x(x 的点的坐标是_14 (2010 年试题，13) 已知一个长方形的长 l 以 2cms 的速率增加，宽 W 以3cms 的速率增加，则当 l=12cm，w=5cm 时，它的对角线增加速率为_15 (2009 年试题，二) 曲线 在(0，0)处的切线方程为_.16 (2008 年试题，二) 曲线 sin(xy)+ln(y 一 x)=x 在点(0，1)处的切线方程为_17 (2007
6、年试题，二) 曲线 上对应于的点处的法线斜率为_18 (2003 年试题，一) 设函数 y=f(x)由方程 xy+21nx=y4 所确定，则曲线 y=f(x)在点(1，1)处的切线方程是 _.19 (2001 年试题，一) 设函数 y=f(x)由方程 e2x+ycos(xy)=e1 所确定，则曲线)，=f(x)在点(0，1)处的法线方程为_20 (1999 年试题，一) 曲线 ，在点(0，1)处的法线方程为_.21 (2010 年试题，11) 函数 y=ln(12x)在 x=0 处的 n 阶导数 y(n)(0)=_22 (2009 年试题，二) 设 y=y(x)是由方程 xy+ey=x+1 确
7、定的隐函数，则_.23 (2007 年试题，二) 设函数 则 Y(n)(0)=_24 (2006 年试题，一) 设函数 Y=y(x)由方程 Y=1 一 xey 确定，则=_.25 (1997 年试题，三(2)设 y=y(x)由 所确定，求26 (1997 年试题，一) 设 =_.27 (2005 年试题，一) 设 y=(1+sinx)x，则 dy x=_28 (2000 年试题，一) 设函数 y=y(x)由方程 2xy=x+y 所确定，则 dy x=0_.三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。29 (2006 年试题，21) 已知曲线 l 的方程为 (I)讨论 L 的凹凸性；()过
8、点(一 1，0)引 L 的切线，求切点(x o，y o)，并写出切线的方程；()求此切线与 L(对应于 xxo 的部分)及 x 轴所围成的平面图形的面积30 (2002 年试题，三) 已知曲线的极坐标方程是 r=1cos，求该曲线上对应于处的切线与法线的直角坐标方程31 (2000 年试题，九) 已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，它在 x=0 的某个邻域内满足关系式 f(1+sinx)一 3f(1 一 sinx)=8x+a(x)，其中 a(x)是当 x0 时比 x 高阶的无穷小，且 F(x)在 x=1 处可导，求曲线 y=f(x)在点(6，f(6)处的切线方程32 (2008 年试题，三
9、) 设函数 y=y(x)由参数方程 确定，其中 x(t)是初值问题 的解，求33 (2000 年试题，五) 求函数 f(x)=x2ln(1+x)在 x=0 处的 n 阶导数 fn(0)(n3)34 (1999 年试题，一) 设函数 y=y(x)由方程 ln(x2+y)=x3y+sinx 确定，则_。35 (2012 年试题，三) 求函数 的极值36 (2010 年试题，15) 求函数 的单调区间与极值考研数学二（一元函数微分学）历年真题试卷汇编 1 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 设曲线 y=x2 与曲线 y=alnx
10、相切的切点为 (xo，y o)，则有2xo=a. 从而联立上式可解得 a=2e，故正确答案为 C【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 由题意可知，当 x=3 时，t=1，t=一 3(不合题意，舍) ，有求得 y=y(x)在 x=3 处的法线方程为 y=ln28(x 一 3)令 y=0，得法线与 x 轴交点的横坐标为 所以选 A【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 C【试题解析】 由已知条件有 h(x)=e1+g(x)g(x)令 x=1，得 h(1)=e1+g(1)g(1)，即1=e1+g(1).2，所以 即 g(1)=一 1 一 ln2 故选 C【知识模块】 一
11、元函数微分学4 【正确答案】 D【试题解析】 题设所给函数 f(x)是分段函数，且 f(0)=0，应分别求左、右极限及左、右导数来讨论 x=0 点的连续性与可导性，由 知f(x)在 x=0 处连续；又由 知 f(x)在 x=0 处可导且 f(0)=0，所以选 D评注分段函数一般采用定义通过左、右两侧讨论来解决在分段点的极限、连续和导数问题【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 A【试题解析】 由已知条件知，曲线 y=f(x)单调上升且是凹的根据凹函数的性质，有 f(xo+x)f(xo)+f(xo)x(x0)，从而 f(xo+x)一 f(xo)f(xo)x0(x0)，所以Aydy0(Ax0
12、)故选 A【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由于增量的线性主部等于函数的微分，因此由题设y=f(x 2)=2xf(x2)x+o(x)，将 x=一 1， x=一 01 代入y x=-1=一 2f(1)x+o(x)=0 2f(1)+0(x)=01+o(x) ，所以 02f (1)=01f (1)= ，选 D评注幂指函数的求导问题，既不能单纯作为指数函数对待，也不能单纯作为幂函数而直接运用相应的求导公式，而是转化成新的指数函数进行处理，例如 F(x)=f(x)g(s)，对 F(x)求导，需先将 F(x)写成 F(x)=egg(x)lnf(x)形式，然后再求导【知识模块】
13、一元函数微分学7 【正确答案】 C【试题解析】 由题设 f(x)连续且 f(0)0，则由函数在一点可导的定义知，由此知存在 0，使得当 x(一 ，)时 即当 x(一 ， 0)时 f(x)f(0)，所以选 C评注 若 f(a)0，且加强条件 f(x)在 x=a 连续，则可以说明存在 0，使得 f(x)在(a 一 ，a+)内单调上升【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【试题解析】 函数的极值点可能出现在驻点，即 f(x)的零点，或者出现在不可导点，即 f(x)不存在的点，因此应考查所给图形中的 f(x)的 3 个零点，依次记为x1，x 2，x 3，及不可导点 x=0，通过分析这 4 个
14、点两侧导数的符号变化情况来确定它们是否为极值点对于 x=x1 点，当 x1 时 f(x)0，当 xx1 时 f(x)1 点是极大值点；对于 x=x2 点，当 x2 时 f(x)x2 时 f(x)0，所以 x2 点是极小值点；对 x=0 点，当 x(x)0，当 x0 时 f(x)2 点，当 x3 时 f(x)x3 时 f(x)0，所以 x=x3 点是极小值点，综上，f(x)有两个极大值点和两个极小值点，选 C 评注熟练应用极值的第一充分条件和第二充分条件【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 D【试题解析】 由题设所给 f(x)的图形知：x (x)0，因而可立即排除 A，C，当 x0时 f
15、(x)先严格单调递增然后递减，最后递增，因此其导数符号的相应变化应该是先正，再负最后再变为正，显然，只有 D 符合此种情况，选 D评注熟练应用导数的几何意义【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 A【试题解析】 根据题设，f (x)g(x)一 g(x)g(x) 因此 xa，b 时 严格单调递减，于是 又由已知 f(x)0，g(x)0，从而有 f(a)g(x)f(x)g(a)及 f(x)g(b)f(b)g(x)成立，所以选 A评注利用证明不等式的证明方法，及【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 C【试题解析】 由于 f(a)题函数 f(x)极大值，则当 x(a 一 ，a+) 时
16、 f(a)f(x)，即(a)一 f(x)0,又 f(x)在 x=a 连续则 应选 C【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 B【试题解析】 由题设 f(x0)=0，则 x0 为 f(x)的驻点，将 x=x0 代入原方程，由于xo0，所以 当 xo0 时 f(xo)0；当 xo(xo)0，所以 f(xo)是 f(x)的极小值，选 B评注用极值第一、第二充分条件来判定【知识模块】 一元函数微分学二、填空题13 【正确答案】 由于 y=2x+1，y =2，曲率 解得 x=0(由已知条件舍去)， x=一 1x=一 1 时，y=0，所以坐标为(一 1，0)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确
17、答案】 设长方形的长 l=x(t)，宽 w=y(t)，则对角线 s=s(t)=根据题意知，在 t=t0 时刻，x(t 0)=12，y(t 0)=5，且有 x(t0)=2，y (t0)=3 则即对角线增加速率为 3cm/s。【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 由曲线的参数方程可得在点(0，0)处，t=1， 所以，所求的切线方程为 y=2x【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 先求曲线在点(0，1)处切线的斜率，即隐函数求导，对曲线方程两边求导数得 将点(0，1)代入上述方程可得1+y(0)一 1=1，即 y(0)=1故切线方程为 y 一 1=x，即 y=x+1【知识模块】
18、一元函数微分学17 【正确答案】 因 故斜率为【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由题设所给方程 xy+21nx=y4，两边对 x 求导得将 x=1，y=1 代入上式得 所以点(1，1)处的切线方程是 y 一 1=x 一 1，即 y=x【试题解析】 把 x=xo 代入方程求得相应的 y=yo，然后根据隐函数的求导法则即可求出 y x=xo 即为切线的斜率【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由题设，将 e2x+ycos(xy)=e 一 1 两边对 x 求导，得e2x+y.(2+y+sin(xy).(y+xy)=0(1)将 x=0 代入原方程得 y=1，再将 x=0，y=1
19、 代入式(1)，得 y x=0=一 2，因此所求法线方程为 即 x 一 2y+2=0【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知 x=0，y=1时，t=0 ，由 ，知 因此此即该点的切线斜率，因而该点法线斜率为一 2，从而法线方程为 y 一1=一 2x，即 2x+y 一 1=0【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 y=f(x)=ln(12x)，则由麦克劳林展开式得xn，即有 y(n)(o)=f(n)(o)=一 2n(n 一 1)!【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 对方程 xy+ey=x+1 两边关于 x 求导得
20、 y+xy+yey=1，则对 y+xy+yey=1 再求导可得 2y+xy+(y)2ey+yney=0，则当 x=0 时，由方程 xy+ey=x+1 可解得 y=0所以【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 函数 则观察规律得【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令方程 y=1 一 xey 中 x=0，得 y(0)=1将方程两边对 x 求导，且令 x=0，得 y=-ey-xeyyy,y(0)=-ey(0)=-e 即【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 由题设， 其中 而求 需将方程 2y 一 ty2+e=5 两边对 t 求导，得 从而 所以，【知识模块】 一元函数微
21、分学26 【正确答案】 由题设， 则【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 根据题意有 得 dy x=-dx【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由已知方程 2xy=x+y 两边对 x 求导得，2 xy.ln2.y+xy=1+y(1)在原方程中令 x=0，则 y=1将 x=0，y=l 代入(1) 式，则 ln2=1+y，即 y x=0=ln2 一 1，所以 dy x=0=(1n21)dx评注先将 x=xo 代入原方程，求得相应的 y=yo对隐函数进行求导后将 x=xo，y=y o 代入即可求得 yx=x o【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演
22、算步骤。29 【正确答案】 (I)先求 由已知 x=t2+1 代入 y 得 y=，于是 所以曲线 L 是凸的( )设 L 上切点(x o，y o)处的切线方程是令 x=一 1，y=0 ，则有再令 to= 得即 to2+to 一 2=0 解得 to=1，t o=一 2(不合题意)所以切点是(2 ，3) ，相应的切线方程是 y=3+(x 一 2)，即 y=x+1()切点为(x o，y o)的切线与 L 及 x 轴所围成的平面图形如图 122 所示，则所求平面图形的面积为【试题解析】 将参数方程转化为直角坐标方程求解【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 由题设，曲线极坐标方程为 r=1 一
23、 cos，则曲线的直角坐标参数方程为 当 时， 该点切线斜率为 因此，该点切线方程为 化简得 该点法线方程为化简得【试题解析】 极坐标与直角坐标的转化公式为【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 题设要求的是切线方程，因此只需知道切点坐标及该点处切线斜率即可，由已知 f(x)是周期为 5 的连续函数，因而求 f(6)及 f(6)就等价于求 f(1)及f(1)，由关系式 再根据导数的定义，有 其中 f(1)可由下述步骤确定：在原关系式中令 x0并结合 f(x)的连续性可得 f(1)一 3f(1)=0，即 f(1)=0，则由=f(1)+3f(1)=4f(1)因此 f(1)=2，由周期性知
24、f(6)=f (1)=2，f(6)=f(1)=0，所以待求切线方程为 y=2(x 一 6)，即 2x 一 y12=0评注由于只知道 f(x)连续，且在 x=1 处可导，所以其在 x=6 处的导数不能直接套用公式 f(x+T)=f(x)，而得由导数的定义求得【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 由 x=x(t)满足 可得 exdx=2tdt等式两边积分得ex=t2+C，即 x=ln(t2+C)又 x x=0=0，则 C=1，x=In(t 2+1)所以则 又则【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 求函数的高阶导数在 0 点的值，可利用麦克劳林展开式即只需将 f(x)展开成麦克劳
25、林级数，就可得到相应的高阶导数在 0 点的值，由题设 f(x)=x2In(1+x)，则由此知 ，所以【试题解析】 本题还可直接由莱布尼兹公式（uv） (n)=u(n)v(0)+Cn1v+Cn2u(n-2)vn+u(0)v(n)及 而求，在莱布尼兹公式中，令u=In(1+x)，v=x 2，则 因此【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 将 x=0 代入题设方程可得 y=1，然后由隐函数求导法则，将原方程两边对 x 求导，得 将茗=0,y=1 代入上式，得y x=0=1评注 先将 x=0 代入原方程求出相应的 y，然后运用隐函数求导法则求导数，再将相应的 x，y 代入即可求得 y x=0=0【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 由于 fx(x，y)=(1 一 x2) 令 fx=0,fy=0，得函数 f(x，y)的驻点为(1，0)，(一 1，0)将(1，0)代入上面的 A，B，C，中，得 所以(1，0)是函数的极大值点，极大值为将(一 1，0) 代入 ，B 2 一 AC=一 2e-1【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 因为又 f(1)=4e-10，所以 f(1)=0 是极小值因为当 x1 或一 1(x)0；当 x(x)【知识模块】 一元函数微分学
