1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 37 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设 ，则在 x=a 处( )（A）f(x)在 x=a 处可导且 f(a)0（B） f(a)为 f(x)的极大值（C） f(a)不是 f(x)的极值（D）f(x)在 x=a 处不可导2 设 f(x)二阶连续可导，f(0)=0，且 ，则( )（A）x=0 为 f(x)的极大点（B） x=0 为 f(x)的极小点（C） (0，f(0)为 y=f(x)的拐点（D）x=0 不是 f(x)的极值点，(0，f(0)也不是 y=f(x)的拐点3 设 f(x)可导，则当x0 时，y-dy 是
2、 x 的( )（A）高阶无穷小（B）等价无穷小（C）同阶无穷小（D）低阶无穷小4 若 f(x)在 x=0 的某邻域内二阶连续可导，且 ，则下列正确的是( )（A）x=0 是 f(x)的零点（B） (0，f(x)是 y=f(x)的拐点（C） x=0 是 f(x)的极大点（D）x=0 是 f(x)的极小点5 设 f(x)=x3+ax2+bx 在 x=1 处有极小值-2，则( ) （A）a=1 ，b=2（B） a=-1，b=-2（C） a=0，b=-3（D）a=0 ，b=36 设 f(x)，g(x)(axb) 为大于零的可导函数，且 f(x)g(x)-f(x)g(x)0，则当axbb 时，有 ( )
3、（A）f(x)g(b) f(b)g(x)（B） f(x)g(a)f(a)g(x)（C） f(x)g(x)f(b)g(b)（D）f(x)g(x) f(a)g(a)二、填空题7 xy=yx，则 y=_8 设 f(x)为偶函数，且(-1)=2，则 =_9 设 f(x)在 x=2 处可导，且 ，则 f(2)=_，f(2)=_10 设曲线 y=lnx 与 y= 相切，则公共切线为_11 设 f(x)= ，则 f(n)(x)=_12 曲线 的斜渐近线为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 证明：当 x1 时，14 证明：当 x0 时，15 证明：当 0x1 时，16 当 0x17 设
4、f(x)在0，1上连续，且 f(x)1，证明： 在(0，1)有且仅有一个根18 求曲线 y= 的上凸区间19 求曲线 y= 的斜渐近线20 求 y=f(x)= 的渐近线21 证明：当 x0 时，22 设 0a 1，证明：方程 arctanx=ax 在(0，+)内有且仅有一个实根23 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得24 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内可导，且 f(a)=f(b)=0，证明：存在(a， b)，使得 f()+f()g()=024 设 f(x)在0，3上连续，在 (0，3)内二阶可导，且 2f(0)=
5、f(t)dt=f(2)+f(3)证明：25 1， 2(0， 3)，使得 f(1)=f(2)=026 存在 (0，3)，使得 f()-2f()=026 设 f(x)在1，2上连续，在 (1，2)内可导，且 f(x)0(1x2)，又存在，证明：27 存在 (1，2)，使得28 存在 (1，2)，使得 f(t)dt=(-1)f()ln229 设 f(x)在a，b上二阶可导且 f(x)0，证明： f(x)在(a ，b)内为凹函数考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 37 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 ，根据极限的保号性，存
6、在 0，当0x-a 时，有 0，从而有 f(x)f(a) ，于是 f(a)为 f(x)的极大值，选(B) 【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 A【试题解析】 因为 所以由极限的保号性，存在 0，当 0x 时， 注意到 x3=o(x)，所以当 0x 时，f(x)0，从而 f(x)在(- ，) 内单调递减，再由 f(0)=0 得故 x=0 为 f(x)的极大值点，应选(A) 【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)可导，所以 f(x)可微分，即y=dy+o(x)，所以y-dy 是x 的高阶无穷小，选(A) 【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】
7、D【试题解析】 由 得 f(0)=0，由 1=得 x=0 为极小点，应选(D)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 C【试题解析】 f(x)=3x 2+2ax+b，因为 f(x)在 x=1 处有极小值-2，所以解得 a=0，b=-3，选(C)【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 D【试题解析】 由 f(x)g(x)-f(x)g(x)0 得【知识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 由 xy=yx，得 ylnx=xlny，两边求导数得【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 -8【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(
8、1)=-2，【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 8【试题解析】 因为 ，再由 f(x)在 x=2 处的连续性得 f(2)=0由 ，得 f(2)=8【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【试题解析】 设当 x=a 时，两条曲线相切，由 得 a=e2两条曲线的公共切线为 y-lne2=【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 【试题解析】 令 f(x)=【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 y=x【试题解析】 由的斜渐近线为 y=x【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。13 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+
9、x)-xlnx，f(1)=2ln20，因为 f(x)=ln(1+x)+1-lnx-1=ln(1+ )0(x 1)，所以 f(x)在1，+) 上单调增加，再由 f(1)=24n20 得当x1 时，f(x)0，即【试题解析】 当 x1 时， 等价于(1+x)ln(1+x)-xlnx0【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 令 f(x)=arctanx+ 因为 f(x)= 0(x0)，所以 f(x)在(0，+) 内单调递减，又因为【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 令 f(x)=(1+x)ln(1+x)- f(x)=ln(1+x)+arcsinx0(0x 1)，由【试题解析】 【
10、知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 令 f(x)=x-sinx，f(0)=0f(x)=1-cosx0(0x )，【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 令 (x)=2x- 因为 f(x)1，所以 1，从而 (0)(1)0，由零点定理，存在 c(0，1)，使得 (c)=0因为 (x)=2-f(x)0，所以 (x)在0，1上单调增加，故方程 2x-有且仅有一个根【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 由 y00 得(x-3)2-10，解得 2x4，故曲线 y= 的上凸区间为(2，4)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 由 得曲线 y= 的斜渐近线为 y=2x-
11、11【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 因为 ，所以 y=f(x)没有水平渐近线，得 y=x+3 为斜渐近线【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 令 (t)=ln(x+t)，由拉格朗日中值定理得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 令 f(x)=arctanx-ax，由由为 f(x)的最大点，由得方程 arctanx=ax 在 (0，+)内有且仅有唯一实根，位于 内【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 令 F(x)=lnx，F(x)= 0，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得即【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 令 (x)=f(x)eg(
12、x)，由 f(a)=f(b)=0 得 (a)=(b)=0，则存在 (a，b)，使得 ()=0，因为 (x)=eg(x)f(x)+f(x)g(x)且 eg(x)(x)0，所以 f()+f()g()=0【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 令 F(x)= f(t)dt，F(x)=f(x)， f(t)dt=F(2)-F(0)=F(c)(2-0)=2f(c)，其中 0c2 因为 f(x)在2，3上连续，所以 f(x)在2，3上取到最小值 m 和最大值 M，m M，由介值定理，存在 x02，3，使得 f(x0)=，即 f(2)+f(3)=2f(x0)，于是 f(0)
13、=f(c)=f(x0)，由罗尔定理，存在1(0， c) (0，3)， 2(c，x 0) (0，3)，使得 f(1)=f(2)=0【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 (x)=e-2xf(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2)(0， 3)，使得 ()=0，而 (x)=e-2xf(x)-2f(x)且 e-2x0，故 f()-2f()=0【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 令 h(x)=lnx，F(x)= f(t)dt，且 F(x)=f(x)0，由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 由 得 f(1)=0，由拉格朗日中值定理得 f()=f()-f(1)=f()(-1)，其中 1，故 f(t)dt=(-1)f()ln2【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 对任意的 x1，x 2(a，b)且 x1x2，取 x0= ，由泰勒公式得f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)2，其中 介于 x0 与 x 之间因为 f(x)0，所以f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，“=”成立当且仅当“x=x 0”，从而两式相加得 f(x0)由凹函数的定义，f(x)在(a， b)内为凹函数【知识模块】 一元函数微分学
