1、考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 39 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 f(x)g(x)在 x0 处可导，则下列说法正确的是 ( )（A）f(x)，g(x) 在 x0 处都可导（B） f(x)在 x0 处可导，g(x)在 x0 处不可导（C） f(x)在 x0 处不可导，g(x) 在 x0 处可导（D）f(x)，g(x) 在 x0 处都可能不可导2 f(x)在 x0 处可导，则f(x)在 x0 处( )（A）可导（B）不可导（C）连续但不一定可导（D）不连续3 设 f(x)为二阶可导的奇函数，且 x0 时有 f(x)0，f(x) 0，则当 x0
2、 时有 ( )（A）f(x)0，f(x)0（B） f(x)0，f(x)0（C） f(x)0，f(x)0（D）f(x)0，f(x)04 设 f(x)为单调可微函数，g(x) 与 f(x)互为反函数，且 f(2)=4，f(2)= ，f(4)=6，则g(4)等于( )5 设 f(x)在 x=a 的邻域内有定义，且 f+(a)与 f-(a)都存在，则 ( )（A）f(x)在 x=a 处不连续（B） f(x)在 x=a 处连续（C） f(x)在 x=a 处可导（D）f(x)在 x=a 处连续可导6 下列命题成立的是( ) （A）若 f(x)在 x0 处连续，则存在 0，使得 f(x)在x-x 0 内连续
3、（B）若 f(x)在 x0 处可导，则存在 0，使得 f(x)在x-x 0 内可导（C）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 存在，则 f(x)在 x0处可导，且 f(x0)=（D）若 f(x)在 x0 的去心邻域内可导，在 x0 处连续且 不存在，则 f(x)在x0 处不可导二、填空题7 设 f(x)为二阶可导的偶函数，f(0)=1，f(0)=2 且 f(x)在 x=0 的邻域内连续，则=_8 设 f(x)满足 f(x)=f(x+2)，f(0)=0，又在(-1，1)内 f(x)=x，则 =_9 若 f(x)=2nx(1-x)n，记 Mn= =_10 设 f(x)在 x=
4、a 的邻域内二阶可导且 f(a)0，则=_11 设 =_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)1(x 0，1)，又 f(0)=f(1)，证明：12 设 f(x)在(-1 ，1) 内二阶连续可导，且 f(x)0证明：13 对(-1，1)内任一点 x0，存在唯一的 (x)(0，1)，使得 f(x)=f(0)+xf(x)x；14 15 设 f(x)在a，b上二阶可导，且 f(a)=f(b)=0证明：存在 (a，b)，使得16 f(x)在-1， 1上三阶连续可导，且 f(-1)=0，f(1)=1，f(0)=0证明：存在 (-1，1)，使得
5、f()=317 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶连续可导证明：存在 (a，b)，使得17 设 f(x)在0，1上二阶可导，且 f(x)a，f(x) b ，其中 a，b 都是非负常数，c 为(0，1)内任意一点18 写出 f(x)在 x=c 处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；19 证明：f(c)2a+19 设 f(x)在-a，a(a 0)上有四阶连续的导数， 存在20 写出 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式；21 证明：存在 1， 2-a，a，使得22 设 f(x)在 x0 的邻域内四阶可导，且f (4)(x)M(M0) 证明：对此邻域内任一异于 x0 的点 x，有 其中
6、x为 x 关于 x0 的对称点23 设 f(x)，g(x) 在a，b 上连续，在(a ，b)内二阶可导，f(a)=f(b)=0，f +(a)f-(b)0，且 g(x)0(xa，b)，g(x)0(axb)，证明：存在 (a，b) ，使得24 设 f(x)在a，b上连续，在(a，b) 内二阶可导，f(a)=f(b)=0，且 f+(a)0证明：存在 (a，b)，使得 f()025 设 f(x)二阶可导，f(0)=0，且 f(x)0证明：对任意的 a0，b0，有 f(a+b)f(a)+f(b)26 设 f(x)在a，b上连续，且 f(x)0，对任意的 x1，x 2a，b及 01，证明：fx1+(1-)
7、x2f(x1)+(1-)f(x2)27 设 f(x)二阶可导， =1 且 f(x)0证明：当 x0 时，f(x)x28 设 f(x)在0，+)内可导且 f(0)=1，f(x)f(x)(x 0)证明：f(x)e x(x0)考研数学二（一元函数微分学）模拟试卷 39 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 D【试题解析】 令 f(x)= 显然 f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但 f(x)g(x)-1 在任何一点都可导，选(D)【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 C【试题解析】 由 f(x)在 x0 处可导得f(x) 在 x
8、0 处连续，但f(x) 在 x0 处不一定可导，如 f(x)=x 在 x=0 处可导，但f(x) = x在 x=0 处不可导，选(C)【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 A【试题解析】 因为 f(x)为二阶可导的奇函数，所以 f(-x)=-f(x)，f(-x)=f(x) ，f(-x)=-f(x)，即 f(x)为偶函数，f(x)为奇函数，故由 x0 时有 f(x)0，f(x) 0，得当 x0 时有 f(x)0，f(x)0，选(A)【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 B【试题解析】 因为 g(4)= ，所以选(B)【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【试题解析】 因
9、为 f+(a)存在，所以 =f(a)，即f(x)在 x=a 处右连续，同理由 f-(a)存在可得 f(x)在 x=a 处左连续，故 f(x)在 x=a 处连续，选(B) 【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【试题解析】 设 f(x)= 显然 f(x)在 x=0 处连续，对任意的 x00，因为 不存在，所以 f(x)在 x0 处不连续，(A)不对；同理 f(x)在 x=0 处可导，对任意的 x00，因为 f(x)在 x0 处不连续，所以 f(x)在 x0 处也不可导，(B)不对；因为也存在，即 f(x)在 x0 处可导且 f(x0)= ，选(C)；令 f(x)=不存在，(D)不对【知
10、识模块】 一元函数微分学二、填空题7 【正确答案】 1【试题解析】 因为 f(x)为偶函数，所以 f(x)为奇函数，于是 f(0)=0，又因为 f(x)在 x=0 的邻域内连续，所以 f(x)=f(0)+f(0)x+ +o(x2)=1+x2+o(x2)，于是【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 【试题解析】 因为在(-1，1)内 f(x)=x，所以在(-1，1) 内 f(x)=由 f(0)=0 得 f(x)=【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 【试题解析】 由 f(x)=2n(1-x)n-2n2x(1-x)n-1=0 得 x=【知识模块】 一元函数微分学10 【正确答案】 【
11、试题解析】 【知识模块】 一元函数微分学11 【正确答案】 0【试题解析】 当 x=0 时，t=0；当 t=0 时，由 y+ey=1，得 y=0，方程 Y+ey=ln(e+t2)两边对 t 求导数，得【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。12 【正确答案】 由泰勒公式得 f(0)=f(x)-f(x)x+ f()x2， 1(0，x)，f(1)=f(x)+f(x)(1-x)+ f(2)(1-x)2， 2(x，1)，两式相减，得 f(x)= (2)(1-x)2两边取绝对值，再由f(x)1，得【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答
12、案】 对任意 x(-1，1)，根据微分中值定理，得f(x)=f(0)+xf(x)x，其中 0(x)1因为 f(x)C(-1，1) 且 f(x)0，所以 f(x)在(-1，1)内保号，不妨设 f(x)0，则 f(x)在(-1 ，1)内单调增加，又由于 x0，所以 (x)是唯一的【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 由泰勒公式，得 f(x)=f(0)+f(0)x+ ，其中 介于 0 与 x 之间，而 f(x)=f(0)+xf(x)x，所以有令 x0，再由二阶导数的连续性及非零性，得【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 由泰勒公式得(1)当f( 1)f( 2)时，取 =1，则有f
13、() f(b)-f(a)；(2)当f( 1)f( 2)时，取 =2，则有f() f(b)-f(a)【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 由泰勒公式得 f(-1)=f(0)+f(0)(-1-0)+ (-1-0)2， 1(-1，0) ，f(1)=f(0)+f(0)(1-0)+ (1-0)3， 2(0，1)，两式相减得 f(1)+f(2)=6因为 f(x)在-1，1上三阶连续可导，所以 f(x)在 1， 2上连续，由连续函数最值定理，f(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 2mf(1)+f(2)2M，即 m3M由闭区间上连续函数介值定理，存在 1， 2 (-1，1)，使得f
14、()=3【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 因为 f(x)在(a ，b)内二阶可导，所以有因为 f(x)在(a， b)内连续，所以 f(x)在 1， 2上连续，从而 f(x)在 1， 2上取到最小值 m 和最大值 M，故 m M，由介值定理，存在 1， 2故 f(a)+f(b)-【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 f(x)=f(c)+f(c)(x-c)+ (x-c)2，其中 介于 c 与 x 之间【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 分别令 x=0，x=1 ，得 f(0)=f(c)-f(c)c+ ， 1(0，c)，f(1)=f(c)
15、+f(c)(1-c)+ (1-c)2， 2(c，1)，两式相减，得 f(c)=f(1)-f(0)+(1-c)2，利用已知条件，得f(c)2a+ c2+(1-c)2，因为 c2+(1-c)21，所以 f(c)2a+【知识模块】 一元函数微分学【知识模块】 一元函数微分学20 【正确答案】 由 存在，得 f(0)=0，f(0)=0，f(0)=0 ，则 f(x)的带拉格朗日余项的麦克劳林公式为 f(x)= ，其中 介于 0 与 x 之间【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 上式两边积分得 因为 f(4)(x)在-a，a 上为连续函数，所以 f(4)(x)在-a，a上取到最大值 M 和最小值
16、 m，于是有mx4f(4)()x4Mx4，两边在 -a，a 上积分得再由积分中值定理，存在 -a，a ，使得【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 由 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+f(x)f(x0)+f(x0)x-x0)+两式相加得【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 设 f+(a)0，f -(b)0，由 f+(a) 0，存在 x1(a，b)，使得 f(x1)f(a)=0；由 f-(b)0，存在 x2(a，b) ，使得 f(x2)f(b)=0，因为 f(x1)f(x2)0，所以由零点定理，存在 c(a，b)，使得 f(c)=0令 h(x)= ，显然 h(x)
17、在a ，b上连续，由 h(a)=h(c)=f(b)=0，存在 1(a，c)， 2(c，b)，使得 h(1)=h(2)=0，而 h(x)= 令 (x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)，( 1)=(2)=0，由罗尔定理，存在 (1， 2) (a，b)，使得 ()=0，而 (x)=f(x)g(x)-f(x)g(x)，所以【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 因为 =f+(a)0 ，所以存在 0，当 0x-a时，有 0，从而 f(x)f(a)，于是存在 c(a，b)，使得 f(c)f(a)=0由微分中值定理，存在 1(a，c) ， 2(c，b)，使得再由微分中值定理及 f(x)的二阶可导
18、性，存在 (1， 2)【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 不妨设 ab，由微分中值定理，存在 1(0，a) ， 2(b，a+b)，使得 两式相减得 f(a+b)-f(a)-f(b)=f(2)-f(1)a因为f(x)0，所以 f(x)单调增加，而 1 2，所以 f(1)f( 2)，故 f(a+b)-f(a)-f(b)=f(2)-f(1)a0，即 f(a+b)f(a)+f(b) 【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 令 x0=x1+(1-)x2，则 x0a，b，由泰勒公式得 f(x)=f(x0)+f(x0)(x-x0)+ (x-x0)2，其中 介于 x0 与 x 之间，因为 f(x)0，所以 f(x)f(x0)+f(x0)(x-x0)，于是 两式相加，得 fx1+(1-)x2f(x1)+(1-)f(x2)【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 由 ，得 f(0)=0，f(0)=1，又由 f(x)0 且 x0，所以f(x)f(0)+f(0)x=x【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 令 (x)=e-xf(x)，则 (x)在0，+)内可导，又 (0)=1，(x)=e -xf(x)-f(x)0(x0)，所以当 x0 时，(x)(0)=1，所以有 f(x)x(x0)【知识模块】 一元函数微分学
