1、考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 46 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 设一元函数 f(x)有下列四条性质： f(x)在a ，b连续；f(x)在a ，b 可积；f(x)在a，b 存在原函数； f(x)在a，b 可导。若用 “ ”表示可由性质 P 推出性质 Q，则有( )2 设 ，则 I，J ，K 的大小关系为( )（A）IJK。（B） IKJ。（C） JIK。（D）KJI。3 设 g(x)=0xf()d，其中 f(x)= 则 g(x)在区间(0，2)内( )（A）无界。（B）递减。（C）不连续。（D）连续。4 如图 1 一 3 一 I，连续函数
2、 y=f(x)在区间一 3，一 2，2，3上的图形分别是直径为 1 的上、下半圆周，在区间一 2，0，0，2 的图形分别是直径为 2 的下、上半圆周。设 F(x)=0xf(t)dt，则下列结论正确的是( )5 曲线 y=x(x 一 1)(2 一 x)与 x 轴所围成的平面图形的面积可表示为( )（A）一 02x(x 一 1)(2 一 x)dx。（B） 01x(x 一 1)(2 一 x)dx 一 12x(x 一 1)(2 一 x)dx。（C）一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx。（D） 02x(x1)(2 一 x)dx。6 曲线 r=aeb(a0，b
3、0)从 =0 到 =(0)的一段弧长为( )二、填空题7 =_。8 =_。9 =_。10 =_。11 设 =_。12 设 f(x)= =_。13 1 =_。14 设封闭曲线 L 的极坐标方程为 r= ，则 L 所围平面图形的面积是_。15 当 0 时，对数螺旋 r=e的弧长为_。16 设有摆线 x=a(t 一 sint)，y=a(1 一 cost)(0t2)的第一拱 L，则 L 绕 x 轴旋转一周所得旋转面的面积 S=_。三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 计算不定积分 。18 设 f(x)连续，且 0xtf(2x 一 t)dt=arctanx3，f(1)=1，求 12f(
4、x)dx。19 设 f(x)=x1 2ey2 dy，计算 I=13f(x)dx。20 设 f(x)在a，b上有二阶连续导数，证明 abf(x)dx= (ba)f(a)+f(b)+ abf(x)(xa)(x b)dx。21 设 f(x)在0，+连续，且 =0。证明至少存在(0， +)，使得 f()+=0。21 23证明：22 若函数 f(x)在闭区间a，b上连续，则至少存在一点 a，b，使得 abf(x)dx=f()(b 一 a)；23 若函数 (x)具有二阶导数，且满足 (2)(1)，(2) 23(x)dx，则至少存在一点 (1，3)，使得 ()0。24 设 f(x)在a，b上有连续的导数，证
5、明+abf (x)dx。25 设 D 是由曲线 y= ，直线 x=a(a0) 及 x 轴所围成的平面图形，V x，V y 分别是D 绕 x 轴，y 轴旋转一周所得旋转体的体积，若 Vy=10Vx，求 a 的值。考研数学二（一元函数积分学）模拟试卷 46 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 C【试题解析】 这是讨论函数 f(x)在区间a ，b 上的可导性、连续性及可积性与原函数存在性间的关系问题。由 f(x)在a ，b 可导，则 f(x)在a，b连续，那么 f(x)在a，b可积且存在原函数。故选 C。【知识模块】 一元函数积分学2 【正确答案
6、】 B【试题解析】 当 0x 时，因为 0sinxcosx ，所以 ln(sinx)ln(cosx)，因此综上可知，I，J，K 的大小关系是 IKJ。【知识模块】 一元函数积分学3 【正确答案】 D【试题解析】 因为 f(x)在区间0 ，2上只有一个第一类间断点 (x=1 为 f(x)的跳跃间断点)，所以 f(x)在该区间上可积，因而 g(x)=0xf()d在该区间内必连续，故选D。【知识模块】 一元函数积分学4 【正确答案】 C【试题解析】 结合定积分的几何意义，可知 F(3)= ，F(2)=，F(一 2)=02 f(x)dx=一 2 0f(x)dx=02f(x)dx= 。所以 F(3)=F
7、(一 3)= F(一 2)，故选 C。【知识模块】 一元函数积分学5 【正确答案】 C【试题解析】 由于所求平面图形在 x 轴上、下方各有一部分，其面积为这两部分的面积之和，所以只要考查 B、C 选项中的每一部分是否均为正即可，显然 C 正确。事实上， S= 02y dx=02x(x 一 1)(2 一 x)dx = 01x(x 一 1)(2 一x)dx+ 12x(x 一 1)(2 一 x)dx =一 01x(x 一 1)(2 一 x)dx+12x(x 一 1)(2 一 x)dx。【知识模块】 一元函数积分学6 【正确答案】 A【试题解析】 利用极坐标表示曲线的弧长公式，故选 A。【知识模块】
8、一元函数积分学二、填空题7 【正确答案】 【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学8 【正确答案】 cos2x 一 2cosx+3ln(cosx+2)+C【试题解析】 令 t=cosx，则= cos2x 一2cosx+3ln(cosx+2)+C。【知识模块】 一元函数积分学9 【正确答案】 x 一 ln(1+e2x)+C【知识模块】 一元函数积分学10 【正确答案】 一 4【试题解析】 令 =t，原式为 02 =20t2costdt=2(t2sint 0 02tsintdt)=一 40tsintdt=4(tcost 0 0costdt)=一 4。【知识模块】 一元函数积分学11 【正确答案】
9、 【试题解析】 已知函数可化为【知识模块】 一元函数积分学12 【正确答案】 【试题解析】 令 x 一 1=t，【知识模块】 一元函数积分学13 【正确答案】 ln2【试题解析】 【知识模块】 一元函数积分学14 【正确答案】 【试题解析】 直接利用封闭曲线图形的面积公式可得【知识模块】 一元函数积分学15 【正确答案】 (e1)【试题解析】 利用极坐标的弧长公式：ds= 0(e一 1)。【知识模块】 一元函数积分学16 【正确答案】 a2【试题解析】 根据旋转面面积公式可得 s=202y(t)=202a(1cost) =2a202=8a202sin 3dt=16a20sin3tdt=32a2
10、a2。【知识模块】 一元函数积分学三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 【正确答案】 【知识模块】 一元函数积分学18 【正确答案】 令 2xt=，则原等式变为 x2x(2x 一 )f()d=arctanx3，即2xx2xf()dx2xf()d=arctan(x3)，两边同时对 x 求导，可得 2x2xf()dxf(x)=。令 x=1，则上面的等式可以化为 212f()d 一 f(1)= ，根据已知条件 f(1)=1 可知 12f(x)dx= 。【知识模块】 一元函数积分学19 【正确答案】 f (x)=一 e(x1)2 ，由分部积分公式可得 I=xf(x) 13 一 13x
11、f (x)dx=3f(3)一 f(1)+13xe(x1)2 dx=13xe(x1)2 一 02ey2 dy(在第一个积分式中令 x 一1=y)=02(y+1)ey2 dy02ey2 dy=02yey2 dy= 。【知识模块】 一元函数积分学20 【正确答案】 连续利用分部积分法有 abf(x)dx=abf(x)d(x 一 b)=f(a)(b 一 a)一abf(x)(x 一 b)d(x 一 a)=f(a)(b 一 a)+ab(x 一 a)df(x)(x 一 b)=f(0)(b 一 a)+ab(x 一 a)df(x)+abf(x)(x 一 a)(x 一 b)dx=f(a)(b 一 a)f(b)(b
12、 一 a)一 abf(x)dx+abf(x)(x 一 a)(x一 b)dx，移项并整理得 abf(x)dx= (b 一 a)f(a)+f(b)+ abf(x)(x 一 a)(x 一 b)dx。【知识模块】 一元函数积分学21 【正确答案】 作函数 F(x)=f(x)+x，有 01F(x)dx=01f(x)xdx= 01f(x)dx+ 0。所以由积分中值定理，存在 a0，1，使 01F(x)dx=(1 一 0)F(a)0，即 F(a)0。又因为 1=1，所以，由极限的保号性，存在 ba，使0，即 F(b)0。因此，由介值定理，至少存在一个 a，b (0，+)，使F()=0，即 f()+=0。【知
13、识模块】 一元函数积分学【知识模块】 一元函数积分学22 【正确答案】 设 M 与 m 是连续函数 f(x)在a ，b上的最大值与最小值，即mf(x)M,xa，b。根据定积分性质，有 m(b 一 a)abf(x)dxM(ba)，即 mM。根据连续函数介值定理，至少存在一点 a，b，使得 f()=，即 abf(x)dx=f()(b 一 a)。【知识模块】 一元函数积分学23 【正确答案】 由(I)的结论可知至少存在一点 2，3，使 23(x)dx=()(32)=()，又由 (2) 23(x)dx=()，知 23。对 (x)在1，2，2，上分别应用拉格朗日中值定理，并结合 (1)(2)，() (2
14、)可得 (1)= 0， 1 12， (2)= 0，2 13，在1， 2上对导函数 (x)应用拉格朗日中值定理，有 ()= 0， (1， 2) (1，3)。【知识模块】 一元函数积分学24 【正确答案】 可设 f(x)=f(x 0)，即证(b 一 a)f(x 0) abf(x)dx(b a) abf (x)dx ，即 abf(x0dx abf(x)dx(ba) abf (x)dx。事实上， abf(x0)dx abf(x)dx abf(x0)一 f(x)dx= abxx0f(t)dtdx abab f(t)dtdx=(ba) abf (x)dx。的得证。【知识模块】 一元函数积分学25 【正确答案】 由微元法可知 Vx=0ay2dx= ，V x=20axf(x)dx=，由已知条件 10Vx=Vy，解得 a= 。【知识模块】 一元函数积分学
