1、考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 2 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 曲线 y 的渐近线有( )（A）1 条（B） 2 条（C） 3 条（D）4 条2 函数 f() 33k 只有一个零点，则 k 的范围为( )（A）k1（B） k1（C） k2（D）k23 设曲线 y 2ab 与曲线 2yy 31 在点(1，1)处切线相同，则( )（A）a1， b1（B） a1，b1（C） a2，b1（D）a2 ，b1二、填空题4 设 L： 则 t0 对应的曲线上点处的法线为_5 曲线 y 的斜渐近线为_6 曲线 y 的斜渐近线为 _7 ye
2、在 0 处的曲率半径为 R_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 设 f()，g()在a，b 上连续，在(a，b)内可导，且 f(a)f(b)0，证明：存在(a， b)，使得 f()f()g()09 设 f()在0 ，3上连续，在(0，3)内二阶可导，且 2f(0) 02f(t)dtf(2)f(3) 证明：(1)存在 1， 2(0，3)，使得 f(1)f( 2)0 (2)存在 (0，3)，使得 f()2f() 010 设 f()在1，2上连续，在(1，2)内可导，且 f()0(12)，又存在且非零，证明： (1)存在 (1，2)，使得(2)存在 (1，2) ，使得 12f(t)
3、dt(1)f()ln211 设 f()在a，b上二阶可导且 f()0，证明： f()在(a，b)内为凹函数12 设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 11(t)dt0 证明：存在 (0，1)，使得 f() 0f(t)dt13 设 f()在0，2上连续，在(0，2)内可导，且 3f(0)f(1) 2f(2)，证明：存在(0， 2)，使得 f()014 设 f()三阶可导， 0，证明：存在(0， 1)，使得 f()015 设 f()在0，1上连续，在(0，1)内可导，且 f(1)0，证明：存在 (0，1)，使得 f()sinf()cos016 设 f()二阶可导， f(1)0，令 ()
4、 2f()，证明：存在 (0，1)，使得 ()017 设 f()二阶可导，且 0，f(1)1，证明：存在 (0，1)，使得f()2f()018 设 f()二阶可导， 1，f(1)1，证明：存在 (0，1)，使得 f()f() 1019 设 f()在a，b上连续，在(a ，b)内可导(a0)，证明：存在 (a，b)，使得 f(b)f(a)f()ln 20 设 f()在0， 上连续，在(0， )内可导，证明：存在 ，(0， )，使得21 求极限22 设 e 是关于 的 3 阶无穷小，求 a，b23 设 y ，求 y(n)(0)24 设当 0 时，方程 k 1 有且仅有一个根，求 k 的取值范围25
5、 求曲线 yf() 的渐近线26 证明：当 0 时，e 1(1)ln(1 )考研数学二（中值定理与一元函数微分学的应用）模拟试卷 2 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 B【试题解析】 由 f()得 0 为铅直渐近线；由 得 y为水平渐近线，显然该曲线没有斜渐近线，又因为 1 及 2 时，函数值不趋于无穷大，故共有两条渐近线，应选 B【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用2 【正确答案】 C【试题解析】 f()， f()， 令 f()3 230，得1， f()6， 由 f(1) 60，得 1 为函数的极大值点，极大值为 f(1)2k，
6、 由 f(1)60，得 1 为函数的极小值点，极小值为 f(1)2k， 因为 f() 33k 只有一个零点，所以 2k0 或2k 0，故k2，选 C【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用3 【正确答案】 B【试题解析】 由 y 2ab 得 y2a，2y y31 两边对 求导得2yy 33y 2y，解得 y ，因为两曲线在点(1，1)处切线相同故应选 B【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用二、填空题4 【正确答案】 y2【试题解析】 t0 对应的曲线上点为(0，0)， 又 ，切线斜率为 k ， 故法线方程为 y02(0)，即 y2【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用5 【正
7、确答案】 y 3【试题解析】 则斜渐近线为 y3【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用6 【正确答案】 y【试题解析】 由0， 得曲线 y 的 斜渐近线为 y【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用7 【正确答案】 【试题解析】 y(0) 1，y(0) 1，则曲线 ye 在 0 处的曲率为 k，则曲率半径为 R 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。8 【正确答案】 令 ()f()e ()， 由 f(a)f(b) 0 得 (a)(b)0，则存在(a， b)，使得 ()0， 因为 ()e ()f()f()g()且 ()0，所以 f
8、()f()g()0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用9 【正确答案】 (1)令 F() 0f(t)dt，F()f()， 02f(t)dtF(2)F(0) F(c)(20)2f(c)，其中 0c2 因为 f()在2，3上连续，所以 f()在2，3上取到最小值m 和最大值 M， m M， 由介值定理，存在 02，3，使得 f(0)，即 f(2)f(3) 2f( 0)， 于是 f(0)f(c)f( 0)， 由罗尔定理，存在1(0) (0，3) ， 2(c， 0) (0，3)，使得 f(1)f( 2)0 (2) 令 ()e 2 f()，(1)( 2)0， 由罗尔定理，存在 (1， 2) (0
9、，3)，使得 ()0， 而 ()e 2 f()2f()且 e2 0，故 f()2f()0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用10 【正确答案】 (1)令 h()ln，F() 1f(t)dt，且 F()f()0， 由柯西中值定理，存在 (1，2)，使得 (2)由存在得 f(1)0， 由拉格朗日中值定理得 f()f()f(1)f()(1) ，其中 1 ， 故 12f(t)dt( 1)f()ln2【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用11 【正确答案】 对任意的 1， 2(a，b)且 12，取 0 ，由泰勒公式得 f()f( 0)f( 0)( 0) ( 0)2，其中 介于 0 与 之间
10、 因为 f()0，所以 f()f(0)f( 0)( 0)，“ ”成立当且仅当“ 0”， 从而两式相加得 f(0)， 即 由凹函数的定义，f()在(a ，b) 内为凹函数【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用12 【正确答案】 令 ()e -0f(t)dt， 因为 (0) (1)0，所以存在 (0，1)，使得 ()0， 而 5()e f() 0f(t)dt且 e 0，故 f() 0f(t)dt【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用13 【正确答案】 因为 f()在1，2上连续，所以 f()在1，2上取到最小值 m 和最大值 M 又因为 m M，所以由介值定理，存在 c1，2，使得f(
11、c) ，即 f(1)2f(2) 3f(c) ， 因为 f(0)f(c)，所以由罗尔定理，存在 (0，c) (0，2)，使得 f()0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用14 【正确答案】 由 0 得 f(0)1，f(0)0； 由0 得 f(1)1，f(1) 0 因为 f(0)f(1)1，所以由罗尔定理，存在 c(0，1)，使得 f(c) 0 由 f(0)f(c)f(1)0，根据罗尔定理，存在1(0， c)， 2(c，1)，使得 f( 1)f ( 2)0，再根据罗尔定理，存在 (1， 2)(0， 1)，使得 f()0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用15 【正确答案】 令 ()
12、f()sin，(0)(1)0，由罗尔定理，存在 (0，1)，使得 ()0，而 ()f()sinf()cosv，故 f()sinf()cos0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用16 【正确答案】 (0)(1)0，由罗尔定理，存在 1(0，1)，使得 (1)0， 而 ()2f() 2f()，(0)( 1)0， 由罗尔定理，存在 (0， 1) (0，1)，使得 () 0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用17 【正确答案】 由 0 得 f(0)1，f(0)0， f(0) f(1)1，由罗尔定理，存在 c(0，1) ，使得 f(c)0令 () 2f()， (0)(c)0，由罗尔定理，
13、存在 E(0，c) (0， 1)，使得 ()0， 而 ()2f() 2f() ，于是2f() 2f()0， 再由 0 得 f()2f() 0【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用18 【正确答案】 由 1 得 f(0)0，f(0)1， 由拉格朗日中值定理，存在 c(0，1)，使得 f(c) 1 令 ()e -f()1，(0)(c)0， 由罗尔定理，存在 (0，c) (0，1) ，使得 ()0， 而 ()e -f()f()1 且 e-0，故 f()f() 10【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用19 【正确答案】 令 g()ln，g() 0，由柯西中值定理，存在 (a，b)，使得
14、整理得 f(b)f(a)f()ln 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用20 【正确答案】 令 g()cos，g() sin0(0 )， 由柯西中值定理，存在 (0， )，使得 由拉格朗日中值定理，存在 (0， )，使得 f( )f(0)f()( 0)， 故【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用21 【正确答案】 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用22 【正确答案】 e 1 o( 3)， 1b b 22b 33o( 3)， (1a)1 bb 22b 33o( 3) 1(ab)b(ba) 2b 2(ba) 3o( 3)， e (1 a b)( ab b2)2( b 3ab
15、 2)3o( 3)， 由题意得 1ab0， ab b 20且 b 3ab 20，解得 a ，b 【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用23 【正确答案】 sin又1 2 2o( 4)， 所以 yo( 5) 由得 y(5)(0)141【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用24 【正确答案】 令 f()k 1，f()k (1)当 k0 时，由 f()0 得f()在(0 ，)内单调减少， 再由 f(00) ， f()0 得 k0 时，f() 在(0， )内有且仅有一个零点， 即方程 k 1 在(0，) 内有且仅有一个根；(2)当 k0 时，令 f()0，解得 ， 因 f() 0 ，所以
16、为f()的唯一极小值点即为最小值点，令最小值 mf( )0，解得 k 故k 或 k0 时，方程 k 1 在(0，)内有且仅有一个根【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用25 【正确答案】 由 f() 得曲线无水平渐近线， 由 f()得 1 为铅直渐近线； 由 得 1 不是铅直渐近线； 由1 得斜渐近线为y1【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用26 【正确答案】 令 f()e 1(1)ln(1 ) ，f(0) 0， f() e ln(1 )1，f(0)0；f()e 0(0) ， 由 f()0(0)得 f()f(0)0( 0)， 再由 f()0( 0)得 f()f(0) 0(0)，即 e1(1)ln(1)【知识模块】 中值定理与一元函数微分学的应用
