1、考研数学数学二模拟试卷 208 及答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 已知函数 f(x)在区间(1 ，1)内具有二阶导数，f(x)0，且 f(1)f(1)1，则( )（A）在(1 ，1) 和(1，l) 内均有 f(x)x（B）在 (1，1)和(1，1) 内均有 f(x)x（C）在 (1，1)内 f(x)x，在(1，1)内 f(x)x（D）在(1 ，1) 内 f(x)x，在(1，1)内 f(x) x2 设 f(x)e x sinx1，则当 x0 时( )（A）f(x)是 x 等价无穷小（B） f(x)与 x 是同阶但非等价无穷小（C） f(x)比 x 更高
2、阶的无穷小（D）f(x)是比 x 较低阶的无穷小3 设 f(x)在 x0 的邻域内有定义，f(0) 1，且 则 f(x)在 x0 处( )（A）可导，且 f(0)=0（B）可导，且 f(0)1（C）可导，且 f(0)2（D）不可导4 （A） （B） （C） （D） 5 设函数 f(x)在 xa 的某个邻域内连续，且 f(a)为其极大值，则存在 0，当x(a，a)时，必有( )（A） （B） （C） （D） 6 曲线 渐近线的条数为( )（A）0（B） 1（C） 2（D）37 如果向量 可以由向量组 1， 2， s 线性表示
3、则 ( )（A）存在一组不全为零的数 k1，k 2，k s 使 k 11k22kss 成立（B）存在一组全为零的数 k1，k 2，k s 使 k 11k 22k ss 成立（C）存在一组数 k1，k 2，k s 使 k 11k 22k ss 成立（D）对 的线性表达式唯一8 设 1， 2 是 n 阶矩阵 A 的特征值， 1， 2 分别是 A 的属于 1， 2 的特征向量，则( )（A） 1 2 时， 1 与 2 必成比例（B） 1 2 时， 1 与 2 必不成比例（C） 12 时， 1 与 2 必成比例（D） 12 时， 1 与 2 必不成比例二、填空题9 10 11 12 13 14 设
4、4 阶方阵 A 的秩为 2，则其伴随矩阵 A*的秩为_三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 16 曲线 的切线与 x 轴和 y 轴围成一个图形，记切点的横坐标为 试求切线方程和这个图形的面积当切点沿曲线趋于无穷远时，该面积的变化趋势如何?17 设 f(x)在闭区间0，c上连续，其导数 f(x)在开区间 (0，c)内存在且单调减少，f(0)0试应用拉格朗日中值定理证明不等式：f(ab)f(a)f(b)，其中常数 a，b满足条件 0ababc 18 19 设函数 f(x)Ca，b，且 f(x)0，D 为区域 axb，ayb ，证明：20 21 一个半球体状的雪堆，其体积融化的速率
5、与半球面面积 S 成正比，比例常数K0假设在融化过程中雪堆始终保持半球体状，已知半径为 ro 的雪堆在开始融化的 3 个小时内，融化了其体积的 78，问雪堆全部融化需要多少小时?22 k 为何值时，线性方程组 有唯一解、无解、有无穷多组解?在有解的情况下，求出其全部解23 考研数学数学二模拟试卷 208 答案与解析一、选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。1 【正确答案】 A2 【正确答案】 B3 【正确答案】 B4 【正确答案】 A5 【正确答案】 C6 【正确答案】 D7 【正确答案】 A8 【正确答案】 D二、填空题9 【正确答案】 10 【正确答案】 11 【正确答
6、案】 由题设，先求曲线在点(0，1)处的切线的斜率，由已知x0，y1 时，t012 【正确答案】 13 【正确答案】 通常渐近线有水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线14 【正确答案】 由题设，4 阶方阵 A 的秩为 2因此 A 的所有 3 阶子式均为 0，从而所有元素的代数余子式均为 0，即 A*0，故 r(A*)0三、解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。15 【正确答案】 16 【正确答案】 17 【正确答案】 当 a0 时，f(0) 0，有 f(ab)f(b)f(a)f(b)；当 a0 时，在0， a和b，ab上分别应用拉格朗日中值定理有18 【正确答案】 19 【正确答案】 因为积分区域关于直线 yx 对称，20 【正确答案】 21 【正确答案】 本题是考查利用微分方程对问题建立数学模型，再求解微分方程，其中以时间 t 作为自变量来建立微分方程，但依未知函数的不同选择而有以下两种方法：22 【正确答案】 用初等行变换化增广矩阵为阶梯形23 【正确答案】 (I)由题设，AX 的解不唯一，从而其系数矩阵的秩与增广矩阵阵的秩相同但小于 3对增广矩阵做初等行变换，得
