1、湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 9 及答案与解析一、选择题1 设集合 S=xx 2+2x=0，xR ，T=xx 2 一 2x=0，x R，则 ST=( )（A）0（B） 0，2（C） 一 2，0（D） 一 2， 0，22 下列函数中，在(0，+)上是减函数的是( )（A）y=（B） y=x2+1（C） y=2x（D）y=3 若 i(x+yi)=3+4i，x，yR，则复数 x+yi 的模是( )（A）2（B） 3（C） 4（D）54 已知 ，那么 cos=( )5 执行如图所示的程序框图，若输入 n 的值为 3，则输出 s 的值是( )（A）1（B） 2（C） 4（D）76
2、某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是( )7 已知O 的半径等于 5，点 P 在直线 l 上，且 OP=5，直线 l 与O 的位置关系是( )（A）相切（B）相交（C）相离（D）相切或相交8 设 l 为直线， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )（A）若 l，l ，则 （B）若 l，l ，则 （C）若 l，l，则 （D）若 ，l，则 l二、填空题9 某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法，从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为 300 的样本进行调查，已知该校一年级、二年级、三年级、四年级的本科生人数之比为 4：5：5：6，则应从一年级本科生中抽
3、取_名学生10 一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为_m 311 设a n是首项为 a1，公差为一 1 的等差数列，S n 为其前 n 项和，若 S1，S 2，S 4成等比数列，则 a1 的值为 _12 如图，AC 为O 的直径， BDAC 于 P，PC=2，PA=8，则 CD 的长为_，cos ACB=_( 用数字表示)13 已知点 A(1，0) ，P 是曲线 (R)上任一点，设 P 到直线 l：y=的距离为 d，则PA+d 的最小值是_14 已知函数 f(x)的定义域为xx R，且 x1，f(x+1)为奇函数，当 x1 时，f(x)=2x2 一 x+1，则当 x1 时
4、，f(x) 的递减区间是_15 下面的数组均由三个数组成，它们是：(1，2，3)，(2，4，6)，(3，8，11)，(4，16 ，20) ， (5，32，37)，(a n，b n，c n) (1)请写出 cn 的一个表达式，cn=_； (2)若数列c n的前 n 项和为 Mn，则 M10=_(用数字作答)三、解答题15 在ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a，b，c，已知向量 P=(c 一 2a，b)，q=(cosB，cosC)，且 pq16 求角 B 的大小；17 若 b= ，求 ABC 面积的最大值17 如图，四棱锥 PABCD 中，PA底面ABCD，PA= ，BC=CD=2，AC
5、B= ACD= 18 求证：BD平面 PAC；19 若侧棱 PC 上的点 F 满足 PF=7FC，求三棱锥 PBDF 的体积19 设椭圆 =1(ab0)的左焦点为 F，离心率为 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线被椭圆截得的线段长为 20 求椭圆的方程；21 设 A，B 分别为椭圆的左、右顶点，过点 F 且斜率为 k 的直线与椭圆交于C，D 两点，若 =8，求 k 的值21 已知圆 C1 的方程为 x2+(y 一 2)2=1，定直线 l 的方程为 y=一 1，动圆 C 与圆 C1外切，且与直线 l 相切22 求动圆圆心 C 的轨迹 M 的方程；23 直线 l与轨迹 M 相切于第一象限的点 P，
6、过点 P 作直线 l 的垂线恰好经过点A(0，6)，并交轨迹 M 于点 Q(点 Q 异于点 P)，记 S 为POQ(O 为坐标原点)的面积，求 S 的值23 已知圆 C 的方程为 x2+(y 一 4)2=4，点 O 是坐标原点，直线 l：y=kx 与圆 C 交于M，N 两点24 求 k 的取值范围；25 设 Q(m，n)是线段 MN 上的点，且 ，请将 n 表示为m 的函数湖南省教师公开招聘考试（中学数学）历年真题试卷汇编 9 答案与解析一、选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 因为 S=-2，0，T=0，2，所以 ST=02 【正确答案】 A【试题解析】 本题考查函数的单调性y= 在(0
7、，+) 上是减函数，其他三项均为增函数3 【正确答案】 D【试题解析】 依题意得一 y+xi=3+4i， ，x+yi=43i= =54 【正确答案】 C【试题解析】 5 【正确答案】 C【试题解析】 根据程序框图，s=1+0+1+2=4 6 【正确答案】 B【试题解析】 根据三视图，该几何体是三棱锥，V= 7 【正确答案】 D【试题解析】 本题考查圆和直线的位置关系若 OPl，则直线 l 与O 相切，否则直线 l 与O 相交8 【正确答案】 B二、填空题9 【正确答案】 60【试题解析】 设应从一年级本科生中抽取 x 名学生，则 ，解得x=6010 【正确答案】 【试题解析】 该几何体是一个组
8、合体，上半部分是一个圆锥，下半部分是一个圆柱，因为 V 圆锥 = ，V 圆柱 =124=4，所以该几何体体积 V=11 【正确答案】 【试题解析】 由已知得 S1S 4=S22，即 a1(4a 1 一 6)=(2a1 一 1)2，解得 a1= 12 【正确答案】 【试题解析】 由射影定理得 CD2=CPCA=210，CD= ，cosACB=sinD=13 【正确答案】 【试题解析】 y=1+cos2=2cos 2，消去 得 x2=2y，(0y2)，其图象是一段抛物线，F(0， )是其焦点，l 是其准线，d=PF，当 A、P 、F 三点共线时，pA+d最小，其值是AF= 14 【正确答案】 (
9、，+)【试题解析】 由题意知 f(x+1)为奇函数，则 f(一 x+1)=一 f(x+1)，令 t=x+1，则x=1 一 t，故 f(t)=一 f(2 一 t)，即 f(x)=一 f(2 一 x)，设 x1，则 2 一 x1，当x1 时，f(x)=2x 2 一 x+1，f(2 一 x)=2(2 一 x)2 一(2 一 x)+1=2x2 一 7x+7，f(x)=一f(2x)=一 2x2+7x 一 7，函数的对称轴15 【正确答案】 (1)c n=n+2n；(2)2101 【试题解析】 由 1，2，3，4，5，猜想 an=n；由 2，4，8，16，32，猜想bn=2n；由每组数都是“前两个之和等于
10、第三个”猜想 cn=n+2n，从而M10=(1+2+10)+(2+22+210)= =2101三、解答题16 【正确答案】 由 pq，可得 pq=(c 一 2a)cosB+bcosC=0，由正弦定理得：sinCcosB 一 2sinAcosB+sinBcosC=0，从而 sin(C+B)=2sinAcosB又 B+C=A,sin(C+B)=sinA，且 sinA0，故 cosB= 17 【正确答案】 由余弦定理 b2=a2+c2 一 2accosB=a2+c2 一 acac，又 b= ，从而ac12，故 SABC= ，因此当 a=c= 时， ABC的面积最大且最大值为 18 【正确答案】 证明
11、：因为 BC=CD，所以 BCD 为等腰三角形，又 ACB=ACD，故 BDAC因为 PA底面 ABCD，所以 PABD，从而 BD 与平面 PAC 内两条相交直线PA，AC 都垂直，所以 BD平面 PAC19 【正确答案】 三棱锥 PBCD 的底面 BCD 的面积 SBCD=由 PA底面 ABCD，得20 【正确答案】 设 F(一 c，0)，由 ，过点 F 且与 x 轴垂直的直线为 x=一 c，代入椭圆方程有，c=1，所以椭圆的方程为 =121 【正确答案】 设点 C(x1，y 1)，D(x 2，y 2)，由 F(一 1，0)得直线 CD 的方程为y=k(x+1)由方程组 消去 y，整理得
12、(2+3k2)x2+6k2x+3k2 一 6=0，则x1+x2= 22 【正确答案】 设动圆心 C 的坐标为(x，y)，动圆半径为 R，则CC 1=y11，由于圆 C1 在直线 l 的上方，所以动圆 C 的圆心 C 应该在直线 l 的上方，所以有y+10 ，即 =y+2，整理化简得 x2=8y，即为动圆圆心 C 的轨迹 M的方程23 【正确答案】 如图所示，设点 P 的坐标 求导得 y=，直线 PQ 的方程为 y=，化简得 x02=16又点 P 在第一象限，x 0=4，点 P 坐标为(4，2)，直线 PQ 的方程为 y=一 x+6，联立得 x2+8x 一 48=0，解得 x=一 12 或 4，从而点 Q 的坐标为(一12，18) 所以 S=SOAQ+SOAP= 6(12+4)=4824 【正确答案】 将 y=kx 代入 x2+(y-4)2=4 中，得(1+k 2)x2 一 8kx+12=0由=(一 8k)2 一 4(1+k2)120，得 k23所以，k 的取值范围是25 【正确答案】 因为 M，N 在直线 l 上，可设点 M，N 的坐标分别为(x 1，kx 1)，(x2，kx 2)，则 OM 2=(1+k2)x12，ON 2=(1+k2)x22又OQ 2=m2+n2=(1+k2)m2根据题意，点 Q 在圆 C 内，则 n0，所以 n= 于是，n 与 m 的函数关系为 n=
