1、中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 40及答案与解析一、单项选择题1 设 Pn(xn，y n)是直线 2x 一 y= (nN*)与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限（A）一 1（B）（C） 1（D）22 设 A 是 mn 矩阵，如果 mn，则( ) 。（A）Ax=b 必有无穷多解（B） Ax=b 必有唯一解（C） Ax=0 必有非零解（D）Ax=0 必有唯一解3 设 a=(一 1，2，一 1)，b=(1，一 1，2) ，c=(3 ，一 4，5)，则( )。（A）ab（B） bc（C） ca（D）a，b， c 共面4 下列函数在 x=0 处可导的是( ) 。（A
2、）y=|x|（B）（C）（D）y=|sinx|5 已知齐次线性方程组 只有零解，则 应满足的条件是( )。（A）=0（B） 1（C） 一 1（D）=26 设事件 A 与事件 B 互不相容，则( )。（A）P( )=0（B） P(AB)=P(A)P(B)（C） P(A)=1 一 P(B)（D）P( )=17 数学史上一共发生了几次危机？( )（A）1（B） 2（C） 3（D）48 下列不属于义务教育数学课程标准(2011 年版)中初中数学课程“基础性” 内涵的是( )。（A）初中阶段的数学课程中有大量的内容是未来公民在日常生活中必须用到的（B）初中阶段的教育是每一个学生必须经历的基础教育阶段，它
3、将为其后续生存、发展打下必要的基础（C）初中数学课程是为即将结束义务教育阶段的初中学生谋求明日的发展（D）数学课程内容是学生在初中阶段学习其他课程的必要基础二、简答题9 试求通过点 M0(一 1，0，4)，垂直于平面：3x 一 4y+z 一 10=0，且与直线 l：平行的平面方程。10 设线性方程组 与方程组 x1+x2+ax3=a 一 1 有公共解，求 a 的值及所有公共解。10 李明在 10 场篮球比赛中的投篮情况如下(假设各场比赛互相独立)：11 从上述比赛中随机选择一场，求李明在该场比赛中投篮命中率超过 06 的概率；12 从上述比赛中选择一个主场和一个客场，求李明的投篮命中率一场超过
4、 06，一场不超过 06 的概率；13 记 是表中 10 个命中次数的平均数，从上述比赛中随机选择一场，记 X 为李明在这场比赛中的命中次数，比较 E(X)与 的大小( 只需写出结论)。14 用长为 50 厘米的细绳围成一个边长为整厘米的长方形，怎样才能使面积达到最大？以此为例，在对学生数学思考和问题解决目标进行评价时，教师可以关注以哪几个不同的层次？15 数学命题的教学中，引入命题有哪些方式？三、解答题16 罗尔定理：设函数 f(x)满足条件：(1)在闭区间a，b 上连续；(2)在开区间(a，b) 内可导；(3)f(a)=f(b)，则在(a ，b) 内至少存在一点 ，使得 f()=0。证明这
5、个定理并说明其几何意义。四、论述题17 在讲解立体几何的有关概念时，我们常常借助实物模型或图形，这体现了数学教学的哪一原则的要求？并作简要的分析。五、案例分析题17 “探索等腰三角形的性质” 教学片段：(一)创设情境，引出课题教师活动：现在农村经济条件好了，大部分家庭盖有楼房。大家知道农村的楼房都有房梁，并且这些房梁都保持水平状态，你知道木匠师傅采用什么方法来确定房梁是否保持水平呢？学生活动：学生思考。学生 1：用水平尺。学生 2：用铅垂线，使房梁与铅垂线互相垂直。学生 3：木匠师傅眼睛估计。教师活动：教师肯定以上学生回答，同时指出学生 3 凭估计来判断，总是令人不放心，花上几万元，造出的房子
6、是一高一低的。现在有这样一种方法，不知道这根房梁能否保持水平？如图，房梁上放一把三角尺(等腰直角三角形) ，从顶点 A 挂一条铅垂线，使线经过三角尺斜边的中点O。 我们学习了本节课的内容，就能解决这类问题。然后引出课题：等腰三角形。(二)实验操作，探究规律教师发给每位学生一张方格纸、一张白纸。活动一：在方格纸上画出等腰三角形方格纸上学生画出各种等腰三角形(锐角等腰三角形、钝角等腰三角形、等腰直角三角形)。活动二：等腰三角形的概念由方格纸所画等腰三角形，说出等腰三角形的腰、底边、顶角、底角的概念。并给出等边三角形的概念：三条边相等的三角形是等边三角形。同时在概念的基础上理解等腰三角形与等边三角形
7、的关系。活动三：一张白纸，如何折出一个等腰三角形思考：这样折出的ABC 为什么就是等腰三角形呢？活动四：等腰三角形除了有两条边相等外，还有其他什么结论？(学生小组讨论)由于等腰三角形是轴对称图形，把ABC 对折，使两腰 AB、AC 重叠，则折痕 AD 就是对称轴，因此可以得出一系列等腰三角形的性质。(三) 尝试应用，体现成功尝试练习一：(1) 如果等腰三角形的一个底角为 50，则其余两个角为_和_；(2)如果等腰三角形的顶角为 80，则它的一个底角为_；(3)如果等腰三角形的一个外角为 70，则它的三个内角为_；(4)如果等腰三角形的一个外角为 100，则它的三个内角为_；(5)等边三角形的一
8、个内角为_，为什么？尝试练习二：如图，房梁上放一把三角尺(等腰直角三角形)，从顶点 A 挂一条铅垂线，使线经过三角尺斜边的中点 O。这根房梁是否保持水平呢？为什么？根据以上教学过程回答下列问题：18 分析导入环节的意图；19 针对“实验操作，探究规律” 环节的四个活动，分析设计意图；20 结合本教学案例，请对该老师的授课谈谈你的看法和意见。六、教学设计题20 “变量与函数 ”是初中数学教学中的重要内容，请完成下列任务：21 在“变量与函数 ”起始课的 “教学重点”设计中，有两种方案：强调认识变量、常量，用式子表示变量间关系。强调能指出具体问题中的常量、变量。初步理解存在一类变量可以用函数方式来
9、刻画。你赞同哪种方案？简述理由。22 给出 y=4x+6 以及 4x+6=0，则指出哪个是函数，如果是函数，它的变量是什么？常量是什么？23 为了让初中生充分认识“变量与函数” 中“变量”的概念，作为教师应该对此有深刻的理解，请谈谈你对“ 变量 ”概念的认识。中学教师资格认定考试（初级数学学科知识与教学能力）模拟试卷 40答案与解析一、单项选择题1 【正确答案】 A【试题解析】 表达式 表示的是过点 Pn(xn，y n)和点(1，1)的直线的斜率。因为=1，所以点列 Pn(xn，y n)当 n 时的极限点为点(1，1)。因此所求极限为圆 x2+y2 在点(1，1)处切线的斜率，为一 1。2 【
10、正确答案】 C【试题解析】 根据条件可知，方程组中方程的个数一定小于未知数的个数，所以Ax=0 必有非零解。由于 r(A)n，故 Ax=b 不会是有唯一解，若 r(A)=r( )，则Ax=b 有无穷多解；若 r(A)+1=r( )，则 Ax=b 无解。3 【正确答案】 D【试题解析】 三个向量的混合积(a，b，c)= =0，所以向量 a，b，c 共面。4 【正确答案】 C【试题解析】 由导数定义，函数 f(x)在 x=0 处可导，则选项 A 不正确，因为选项 B 不正确，因为 都不存在。选项 C 正确，因为5 【正确答案】 B【试题解析】 =(1 一 )20，则 1。6 【正确答案】 D【试题
11、解析】 因为 A，B 互不相容，所以 P(AB)=0。A 项： =1一 P(AB)，因为 P(AB)不一定等于 1，所以 A 项不正确；B 项：A 与 B 为独立事件时才成立，B 项不正确。C 项：只有当 A，B 互为对立事件的时候才成立，故排除；D 项： =1 一 P(AB)=1，故 D 正确。7 【正确答案】 C【试题解析】 一共发生了三次，分别是：无理数的发现，无穷小是零吗，罗素悖论的产生。8 【正确答案】 C【试题解析】 选项 C 属于初中数学课程“发展性 ”的含义。二、简答题9 【正确答案】 平面的法向量 n1=(3，一 4，1)，直线 l 的方向向量 l=(3，1，2) ，所以所求
12、平面的法向量 n=n1l= =一 9i 一 3j+15k=(一 9，一 3，15)。平面上任意一点 M(x，y，z)，则 =(x+1，y，z 一 4)，由 n 得一 9(x+1)3y+15(z 一 4)=0 整理得所有平面方程：3x+y 一 5z+23=0。10 【正确答案】 将方程联立 该方程组的解即为两个方程组的公共解。矩阵 经过线性变换得到 (1)当 a=1 时 r(A)=r( )=23，方程组有无数组解，所以两个方程组有公共解 (k 为常数)；(2)当 a=2时，r(A)=r(275)=3，方程组有唯一解 ，所以两个方程组有公共解为11 【正确答案】 根据投篮统计数据，在 10 场比赛
13、中，李明投篮命中率超过 06的场次有 5 场，分别是主场 2，主场 3，主场 5，客场 2，客场 4。所以在随机选择的一场比赛中，李明的投篮命中率超过 06 的概率是 05。12 【正确答案】 设事件 A 为“在随机选择的一场主场比赛中李明的投篮命中率超过 06”，事件 B 为“ 在随机选择的一场客场比赛中李明的投篮命中率超过 06”，事件 C 为“在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过06，一场不超过 06”，则 C= ，A，B 独立。根据投篮统计数据，所以，在随机选择的一个主场和一个客场中，李明的投篮命中率一场超过 06，一场不超过 06 的概率为 。13 【正确答案】
14、 EX= 。14 【正确答案】 第一，学生是否能理解题目的意思，能否提出解决问题的策略，如通过画图进行尝试；第二，学生能否列举若干满足条件的长方形，通过列表等形式将其进行有序排列；第三，在观察、比较的基础上，学生能否发现长和宽变化时，面积的变化规律，并猜测问题的结果；第四，对猜测的结果给予验证；第五，鼓励学生发现和提出一般性问题，如，猜想当长和宽的变化不限于整厘米数时，面积何时最大。15 【正确答案】 (1)用观察、试验的方法引入命题；(2)用观察、归纳的方法引入命题；(3)由实际需要引入命题；(4)由矛盾引入命题；(5)加强或削弱命题条件引入命题。三、解答题16 【正确答案】 因 f(x)在
15、闭区间a ，b上连续，所以在a，b上一定取到最大值 M和最小值 m。(1)若 M=m，则 f(x)在a ，b上是常数，f(x)=M，xa，b。从而 f(x)=0，因此，任取 (a，b)都有 f()=0。(2)若 Mm，则 M，m 中至少有一个不等于f(a)，不妨设 f(a)M。因此，函数 f(x)在内(a，b)某一点 处取到最大值 M。我们来证 f()=0。由于 f(f)在 处取最大值，所以不论 x 为正或为负，总有 f(+x)一f()0。当x0 时，根据题意，f(x)在 点处可导，所以 f()=f+()=f 一 ()=0。得证。几何意义：设y=f(x)是一条连续光滑的曲线，并且在点 A、B
16、处的纵坐标相等，即 f(a)=f(b)，如图，那么我们容易看出，在弧 AB 上至少有一点 C(，f ()，曲线在 C 点有水平切线。四、论述题17 【正确答案】 这体现了数学教学中的具体与抽象相结合的原则。从具体到抽象符合学生在学习过程中从感知到理解、从表象到概念的认识规律。学生认识数学理论时，是从它的生动直觉开始。理性知识的形成，必须具有感性知识基础。只有在此基础上，进一步区分这些研究对象所共有的，决定它们性质的本质属性和仅是个别对象特有的非本质属性，这样才能在头脑中形成理性知识。例如：学习数学概念时，首先，可通过一定的感性材料得到具体对象的感知和表象，然后抽象概括出对象的本质属性，再用概念
17、去解决具体问题，这个过程体现了由具体到理性的抽象，由理性到对更为广泛的具体的认识。数学教学实践表明通过实物直观、模象直观、语言直观，使学生形成鲜明表象，是学生掌握数学理论知识的重要环节，也是贯彻抽象与具体相结合原则的前提。在数学教学中贯彻这一原则时：首先要着重培养学生的抽象思维能力。所谓抽象思维能力，是指脱离具体形象、运用概念、判断、推理等进行思维的能力。按抽象思维不同的程度，可分为经验型抽象和理论型抽象思维。在教学中，我们应着重发展理论型抽象思维，因为只有理论型抽象思维得到充分发展的人，才能很好地分析和综合各种事物，才有能力去解决问题。其次要培养学生观察能力和提高抽象、概括能力。在教学中，可
18、通过实物教具，利用数形结合，以形代数等手段。例如，讲对数函数有关性质时，可先画出图像，观察图像抽象出有关性质就是一例。五、案例分析题18 【正确答案】 导入意图：通过问题情境，让学生体验生活中的经历，调动学生学习的主动性、积极性，激发学生的兴趣和求知欲望。19 【正确答案】 活动意图：留给学生充足的时间和空间进行实践、探究和交流。而且设计活动情境，让学生通过画一画、折一折，合作讨论和探索交流，发现不同的等腰三角形有着类似的特征两底角相等、“三线合一” 。由学生探讨、归纳得出规律，充分发挥学生学习的积极性，体现了教学过程中学生的主体地位。20 【正确答案】 问题是数学的心脏。问题的解决允许运用直
19、观的方法，还应当鼓励学生不停留在直观的认识上，要进行合情的推理、精确计算，科学地判断。本案例把“问题 ”贯穿于教学的始终，运用 “提出问题探究问题解决问题”的方式，让学生发现规律和运用规律，使学生在长知识的同时，也长智慧、长能力，进一步培养学生良好的思维品质。让数学思想方法渗透于课堂教学之中。本案例引导学生通过折一折的手段来运用于“转化”思想，将等腰三角形转化为轴对称变换。同时渗透数学与实践相结合的辩证唯物主义思想，培养学生的应用意识。由于学生对等腰三角形的知识已有初步的认识，本课例的难点突破应在等腰三角形的“三线合一 ”及其应用上，创设有利于学生学习的情境(生活中的事例)，通过“折”这一直观
20、方法引导学生进行积极主动地探索、交流去发现，从而习得知识和经验，提高能力和兴趣。在数学活动中如何真正让每一位学生积极行动起来，能提出自己的方法和建议，成为数学活动中的一分子，培养学生相对独立地获取知识和能力，逐步学会运用分析、类比、转化等方法。本课例中围绕一个“折” 字较为成功地体现了这一点。放手让学生自己去发现问题、解决问题，不要小看学生，如果课堂上运用手段恰当、互动的氛围形成，学生发现和解决问题的能力会令人刮目相看，虽然有人答不到点子上，但有的人却答得非常准确。他们自己说出的正确答案比老师说出的答案令他们记忆深刻，因为这是他们自己“折” 出来、想出来的，甚至是争论出来的。六、教学设计题21
21、 【正确答案】 我更赞同第二种方案，理由如下：本节课定位为“ 变量与函数 ”的起始课，是引导学生从生活实例中抽象出常量、变量与函数等概念，其中函数的概念是本节核心内容。函数概念的核心是两个变量间的特殊对应关系：由哪一个变量确定另一个变量：唯一对应关系。如果直接研究某个量 y 有一定困难，我们可以去研究另一个与之有关的量 x，从而达到研究的目的，这也是一种化繁为简的转化思想。从新课标的角度来看，数学课程标准是指导教师进行课程安排、课程设计难易度的标尺，借助简单实例，学生初步感知用常量与变量来刻画一些简单的数学问题，能指出具体问题中的常量、变量。初步理解存在一类变量可以用函数方式来刻画，能举出涉及
22、两个变量的实例，并指出由哪一个变量确定另一个变量，这两个变量是否具有函数关系。初步理解对应的思想，体会函数概念的核心是两个变量之间的特殊对应关系，能判断两个变量间是否具有函数关系。从教材的编写来看，从学生熟悉、感兴趣的实例引入课题，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体验“发现、创造” 数学知识的乐趣。学生初步感知实际生活蕴藏着丰富的数学知识，感知数学是有用、有趣的学科。借助简单实例，引领学生参与变量的发现和函数概念的形成过程，体会从生活实例抽象出数学知识的方法，感知现实世界中变量之问联系的复杂性，数学研究从最简单的情形入手，化繁为简。22 【正确答案】 y=4x+6 和 4x+6=0
23、 中 y=4x+6 是函数，因为函数是有自变量和因变量构成的，而 4x+6=0 中是没有因变量的，所以不能构成函数，而函数 y=4x+6中 x 为自变量，y 是因变量，6 是常量。23 【正确答案】 其中一个量的变化引起另一个量的变化(按照某种规律变化)，变化的量叫做变量；有些量的值始终不变(例如电影票的单价 10 元)。并且当其中一个变量取定一个值时，另一个变量就随之确定，且它的对应值只有一个。在函数中变量之间的关系为：由哪一个变量确定另一个变量；存在唯一对应关系，给定自变量 x 的任意一个值就有唯一确定的 y 的值和它对应，这样的对应可以是“ 自变量的一个取值对应因变量的一个取值”( 简称“一对一”)，也可以是“自变量的多个取值对应因变量的同一个取值”( 简称“多对一”)，但不可以是“自变量的同一个取值对应因变量的多个取值”( 简称“一对多”)。
