1、河北专接本数学（一元函数微分学）模拟试卷 4 及答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 设 yy(x) 由方程 ysin xcos(xy) 所确定，则 y(0) （A）（B）（C）（D）2 函数 f(x)(x2) x 的导数为 （A）x(x 2) x1 ： （B） (x2) x1 ； （C） (x2) xln(x2)；（D）(x 2) x ln(x2)3 设函数 ，则 f(x)在点 x0 处的性质是 （A）连续且可导； （B）连续但不可导： （C）既不连续也不可导；（D）可导但不连续4 曲线 ye 2xx 2 上横坐标 x0 处的切线方程是 （A）x2y10：
2、（B） 2xy10： （C） 2xy10： （D）x2y105 曲线 yln(2x x)2x x 上对应于 x1 处的法线方程是 （A）y22(x1) ； （B） y2 (x1)：（C） y22(x1)： （D）y2 (x1) 6 曲线 处的切线方程是 （A）（B）（C）（D）7 设 f(x)x2，则 f(2)满足 （A）值为2； （B）值为 2； （C）值为 1； （D）不存在8 对函数 y3x 3，下面正确的结论是 （A）(o ，0)处曲线 y3x 3 没有切线： （B） f(0)是极小值；（C） (o，0) 是曲线 y3x 3 的拐点： （D）f(0)是极大值9 设 ，要使 f(0)存在
3、，则 a，b 的值分别是 （A）a1， b1； （B） a1，b0；（C） a0，b0；（D）a1 ，b1二、填空题10 函数 ysin x 在区间0，满足罗尔定理的 _11 曲线 的拐点为_12 曲线 的垂直渐近线方程是_13 设 yxe x2，则 y“_14 设函数 f(x)在a，b上连续，且在(a，b) 内恒有 f(x)0，则函数 f(x)在a ，b 上的最大值为_15 求 _16 设曲线方程为 ，则 y_17 已知(2 ，4)是曲线 yx 3ax 2bxc 的拐点，且曲线在 x3 处有极值，则a_， b_ ，c _18 曲线 yln(1x 2)的凹区间为 _19 函数 f(x)x12
4、的最小值点是_三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。20 求曲线 在 t0 处的切线方程和法线方程21 求曲线 exyxye 2 在点(1，1)处的切线方程22 设函数 f(x)ax 4bx3 在点 x1 处取得极小值 0，求 a 和 b 的值23 求曲线 的水平和垂直渐近线24 设曲线 yax 3bx 2cx 上点(1，2)处有水平切线，且原点为该曲线的拐点，求该曲线方程25 若 x0，1，址明方程 x3x10，只有一个根26 f(x)在0，1上连续，在 (0，1)内可导，且 f(0) f(1)0， ，证明：存在 (0，1)，使得 。27 设函数 f(x)满足 f(x)f(x)。且 f(0)
5、1，求证：f(x) e x。28 求函数 的单调区间和极值29 设 f(x1)4x 23x1，g(x) f(e x )，求 g(x)30 设 yf(sin 2x)f(cos 2x)，f 二阶可导，求 y，y“。31 欲做一个容积为 Vm3 的无盖圆柱形储粮桶，底用铝制。侧壁用木板制，已知每平米铝价是木板价的 5 倍，问怎样做才能使费用最少。32 已知某商品的需求函数为 Q1000100P，总成本函数为 C10003Q，求使总利润最大的价格 P。33 窗子的上半部为半圆，下半部是矩形，如果窗子的周长 L 固定，试问当圆的半径，取何值时能使窗子的面积最大？34 将边长为 a 的正方形铁皮于各角截去
6、相等的小正方形，然后折起各边做成一个无盖的方盒，问截去的小正方形的边长为多少时，可使得无盖方盒容积为最大？35 设甲船位于乙船东 75 海里，若甲船以 12 海里小时的速度向西行驶.而乙船同时以 6 海小时的速度向北行驶，问经过多长时间，两船相距最近？36 已知函数 f(x)x 32x 在区间0 ，1上满足拉格朗日中值定理，求相关的 值。37 设函数 f(x)在0，a上连续，在(0，a) 内可导，且 f(a)0，证明存在 (0，a) ，使得 f()f() 038 一工厂每批生产某商品 x 台的费用为 C(x)5x200(万元)，得到的收益为 R(x)10x001x 2(万元) ，问每批生产多少
7、台，才能使利润最大？39 某厂每天生产某种产品 x 单位时的总成本函数为 C(x)05x 236x9800(元) 问每天生产多少个单位产品时，其平均成本最低？40 设某厂生产某种产品 x 个单位时，其销售收益为 R(x) ，成本函数，求使总利润达到最大的产量 x41 设某工厂生产某种商品的固定成本为 200(百元)，每生产一个单位商品成本增加5(百元 )，且已知需求函数 Q1002P(其中 P 为价格，Q 为产量)，这种商品在市场上是畅销的(1)试分别列出该商品的总成本函数 C(P)和总收益函数 R(P)的表达式(2)求出使该商品的总利润最大的产量42 已知某产品需求函数和总需求函数分别为：P
8、(x) 10002x，C(x)500020x其中 x 为销售量，P 为价格。求边际利润，并计算 x240，245 和 250 时的边际利润，解释其经济意义43 欲做一个容积为 300 立方米的无盖圆柱形蓄水池，已知池底单位造价为周围单位造价的两倍。问蓄水池的尺寸应怎样设计才能使总造价最低？44 证明：当 x0 时， 。45 某工厂生产某种产品的固定成本为 200 万元，每多生产一吨该产品，成本增加5 万元，该产品的边际收益函数为 R(Q)10002Q，其中 Q(单位：吨)为产量。试求：(1)该产品的边际成本函数：(2)该产品的总收益函数；(3)Q 为多少时，该厂总利润 L 最大？最大利润为多少
9、？河北专接本数学（一元函数微分学）模拟试卷 4 答案与解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。1 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学2 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学3 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学4 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学5 【正确答案】 B【知识模块】 一元函数微分学6 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学7 【正确答案】 D【知识模块】 一元函数微分学8 【正确答案】 C【知识模块】 一元函数微分学9 【正确答案】 A【知识模块】 一元函数微分学二、填空题10 【正确答案】 【知识模块】 一元函数
10、微分学11 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学12 【正确答案】 x1【知识模块】 一元函数微分学13 【正确答案】 y“2xe x2(32x2)【知识模块】 一元函数微分学14 【正确答案】 f(a)【知识模块】 一元函数微分学15 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学16 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学17 【正确答案】 6，9，2【知识模块】 一元函数微分学18 【正确答案】 (1，1)【知识模块】 一元函数微分学19 【正确答案】 X1【知识模块】 一元函数微分学三、解答题解答时应写出推理、演算步骤。20 【正确答案】 切线方程 X4y6，法线方程 4xy7。
11、【知识模块】 一元函数微分学21 【正确答案】 xy=2【知识模块】 一元函数微分学22 【正确答案】 a 1 ，b一 4 【知识模块】 一元函数微分学23 【正确答案】 水平渐近线为 y2，垂直渐近线为 x0。【知识模块】 一元函数微分学24 【正确答案】 yx 33x【知识模块】 一元函数微分学25 【正确答案】 计算 f(0)0，f(1) 0，由零点存在定理知方程至少存在一个根再假设方程有两个根 x1，x 2 且 x1x 2，则 f(x1)f(x 2)0，即 f(x)在x 1，x 2上满足罗尔定理，至少存在一点 (x1，x 2)，使得 f()0而已知条件中，当x0，1时，f(x)不可能为
12、 0，【知识模块】 一元函数微分学26 【正确答案】 提示：令 ，综合运用零点定理和费马定理。【知识模块】 一元函数微分学27 【正确答案】 证明：设 由拉格朗日中值定理的推论得 F(x)C(C 为常数)，即证得 f(x)e x 成立【知识模块】 一元函数微分学28 【正确答案】 单调递减区间(，1)和(1，0)：单调递增(0，)；极小值为 f(0)1。【知识模块】 一元函数微分学29 【正确答案】 f(x1)(4x 28x4)5x5 24(x 21) 25(x1)2 令ux1 得：f(u)4u 25u2f(x) 4x 25x2 g(x) f(e x )4e 2x e x 2 g(x)8e 2
13、x5e x 。【知识模块】 一元函数微分学30 【正确答案】 ysin 2xf(sin 2x)f(cos 2 x) y“ 2 cos 2xf(sin2x)f(cos 2 x)sin 22xf“(sin2x)f“(cos 2 x)。【知识模块】 一元函数微分学31 【正确答案】 底半径 ，桶高为 h5r，即桶高与底半径之比为 5：1。【知识模块】 一元函数微分学32 【正确答案】 65【知识模块】 一元函数微分学33 【正确答案】 由圆的半径为 r 得矩形部分的宽为 2r，高为 (Lr2r)。其面积 ，令 得 Lr 4r0得驻点 ，又当 0rr 0， ；当 rr 0 时 。故当半径时所求面积最大
14、【知识模块】 一元函数微分学34 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学35 【正确答案】 第 5 小时末，两船相距最近【知识模块】 一元函数微分学36 【正确答案】 【知识模块】 一元函数微分学37 【正确答案】 设 F(x)xf(x)，则 F(x)在闭区间0，a上连续，在开区间(0，a)内可导，且 F(a)0F(0)，因此由罗尔定理知，存在 (0，a) 使得 F()0，即 f()f() 0【知识模块】 一元函数微分学38 【正确答案】 0.25【知识模块】 一元函数微分学39 【正确答案】 0.14【知识模块】 一元函数微分学40 【正确答案】 208【知识模块】 一元函数微分学41
15、【正确答案】 (1)总成本函数 C(P)2005Q2005(1002P) 70010P； 总收益函数 R(P)PQ e(1002P)100P2P 。 (2)总利润函数 L(P)R(P) C(P)2P 2110P700， 令 L(P)0 得4P 1100，P 275 因 L(P)40，所以当 P27 5 时总利润最大， 此时产量为Q100227545(百元)【知识模块】 一元函数微分学42 【正确答案】 利润函数为 L(x)R(x) C(x)pxC(x)2x 2980x5000 则边际利润为 L(x)4x 980 由此计算得 L(240) 20，L(245)0，L(250)20 L(240)20
16、 的经济意义是，当销售量为 240 个单位时，再多销售 1 个单位产品，利润将增加 20 个单位；而 L(250)20，则表明，当销售量为 250 个单位时，再多销售 1 个单位产品，利润将减少 20 个单位：L(245)0 表明，当销售量达到 245个单位时，利润达到最大值，再增加或减【知识模块】 一元函数微分学43 【正确答案】 底半径 米，高为底半径的 2 倍【知识模块】 一元函数微分学44 【正确答案】 令 F(x)sinxx ，x0，根据单调性证明。【知识模块】 一元函数微分学45 【正确答案】 总成本函数 C(Q)2005Q，边际成本 C(Q)5 总收益函数：由边际函数 R(Q)10002Q，得 R(Q)10Q001Q 2 总利润 LR(Q) C(Q)R(Q) 10Q001Q 2(2005Q) 001Q 25Q200 L002Q 50得 Q250 所以极大值点 Q250 极大值点唯一即 Q250 为最大值 最大利润为：L(250)425 (万元)。【知识模块】 一元函数微分学
