1、第二讲 点、直线、平面之间的位置关系,热点题型1 点、线、面之间的位置关系的判断 【感悟经典】 【典例】1.(2017全国卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是 ( ),2.,是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题: 如果mn,m,n,那么, 如果m,n,那么mn; 如果,m,那么m;,如果mn,那么m与所成的角和n与所成的角相等. 其中正确的命题有_.(填写所有正确命题的编号),【联想解题】1.看到直线与平面平行,想到直线与平面平行的判定方法. 2.看到线面的平行、垂直,想到线、面位置关系的判
2、定与性质.,【规范解答】1.选A.由B,ABMQ,则直线AB平面MNQ; 由C,ABMQ,则直线AB平面MNQ;由D,ABNQ,则直线 AB平面MNQ.A不满足. 2.对于,AA(m)平面ABCD(),AA(m) AD(n),AD(n)平面ABCD(), 显然平面ABCD()平面ABCD(),故错误;,对于,n,由线面平行的性质定理,可知n与内的一条直线l平行,因为m,所以ml,所以mn,故正确; 对于,设过m的平面交于直线l,因为, m,由面面平行的性质定理可知ml,由线面平行的判定定理,可知m,故正确;,对于,若m,n分别与平面,平行(或垂直),结论显然成立,若m,n分别与平面,不平行,也
3、不垂直,可以分别作出m,n在平面,内的射影,由等角定理,可知结论也成立,故正确.答案:,【规律方法】 线、面之间的位置关系判定的两种方法 (1)定理法:借助空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐项判断来解决问题.,(2)模型法:借助空间几何模型,如长方体、四面体等模型来直观观察线面位置关系,再结合有关定理作出选择.,【对点训练】 1.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,平面与棱AB,AC, A1C1,A1B1分别交于点E,F,G,H,且直线AA1平面.有下列三个命题: 四边形EFGH是平行四边形; 平面平面BCC1B1;,平面平面BCFE. 其中正确的命题有 ( ) A. B. C. D.,【解
4、析】选C.由题意画出草图如图所示,因为AA1平 面,平面平面AA1B1B=EH,所以AA1EH.同理 AA1GF,所以EHGF.又ABC-A1B1C1是直三棱柱,易知 EH=GF=AA1,所以四边形EFGH是平行四边形,故正确; 若平面平面BB1C1C,由平面平面A1B1C1=GH,平面BCC1B1平面A1B1C1=B1C1,知GHB1C1,而GHB1C1不一定成立,故错误;由AA1平面BCFE,结合AA1EH知EH平面BCFE,又EH平面,所以平面平面BCFE,故正确.,2.若四面体ABCD的三组对棱分别相等,即AB=CD, AC=BD,AD=BC,给出下列结论: 四面体ABCD每组对棱相互
5、垂直; 四面体ABCD每个面的面积相等; 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90且小于180;,连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分; 从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长. 其中正确结论的序号是_.,【解析】对于,如图(1),AE,CF分别为BD边上的高,由 AD=BC,AB=CD,BD=DB可知ABDCDB,所以AE=CF, DE=BF,当且仅当AD=AB,CD=BC时,E,F重合,此时ACBD, 所以当四面体ABCD为正四面体时,每组对棱才相互垂直, 故错误;对于,由题设可知四面体的四个面全等,所以四面体ABCD每个面的面积相等,
6、故正确;对于, 当四面体为正四面体时,同一个顶点出发的任意两条棱 的夹角均为60,此时四面体ABCD每个顶点出发的三条 棱两两夹角之和等于180,故错误;对于,如图 (2),G,H,I,J为各边中点,因为AC=BD,所以四边形GHIJ,为菱形,所以GI,HJ相互垂直平分,其他同理可得,所以连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分,故正确;对于,从A点出发的三条棱为AB,AC,AD,因为AC=BD,所以AB,AC,AD可以构成三角形,其他同理可得,所以从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长,故正确.综上所述,正确的结论为.,答案:,【提分备选】如图,若是长方体
7、ABCD-A1B1C1D1被平面EFGH截去几 何体B1EF-C1HG后得到的几何体, 其中E为线段A1B1上异于B1的点,F为线段BB1上异于B1的点,且EHA1D1,则下列结论中不正确的是 ( ),A.EHFG B.四边形EFGH是矩形 C.是棱柱 D.是棱台,【解析】选D.因为EHA1D1,A1D1B1C1, 所以EHB1C1,又EH平面BCC1B1, 所以EH平面BCC1B1, 又EH平面EFGH, 平面EFGH平面BCC1B1=FG,所以EHFG,故EHFGB1C1, 所以选项A、C正确;因为A1D1平面ABB1A1, EHA1D1,所以EH平面ABB1A1,又EF平面ABB1A1,
8、故EHEF,所以选项B也正确.,热点题型2 点、线、面之间的位置关系的证明 【感悟经典】 【典例】(2017山东高考)由四棱柱ABCD-A1B1C1D1截去三棱锥C1-B1CD1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD为正方形,O为AC与BD的交点,E为AD的中点,A1E平面ABCD,(1)证明:A1O平面B1CD1. (2)设M是OD的中点,证明:平面A1EM平面B1CD1.,【解题指南】本题考查空间中线、面平行与垂直的判定与性质,意在考查考生的空间想象能力,转化与化归能力.,【规范解答】(1)取B1D1的中点O1,连接CO1,A1O1,由于ABCD-A1B1C1D1是四棱柱, 所以A1O1O
9、C,A1O1=OC, 因此四边形A1OCO1为平行四边形, 所以A1OO1C, 又O1C平面B1CD1,A1O平面B1CD1, 所以A1O平面B1CD1.,(2)因为ACBD,E,M分别为AD和OD的中点, 所以EMBD, 又A1E平面ABCD,BD平面ABCD, 所以A1EBD, 因为B1D1BD, 所以EMB1D1,A1EB1D1,又A1E,EM平面A1EM,A1EEM=E, 所以B1D1平面A1EM, 又B1D1平面B1CD1, 所以平面A1EM平面B1CD1.,【规律方法】 1.证明面面平行的方法 证明面面平行依据判定定理,只要找到一个面内两条相交直线与另一个平面平行即可,从而将证明面
10、面平行转化为证明线面平行,再转化为证明线线平行.,2.证明面面垂直的方法 证明面面垂直常用面面垂直的判定定理,即证明一个面过另一个面的一条垂线,将证明面面垂直转化为证明线面垂直,一般在现有直线中寻找,若图中不存在这样的直线,则借助中线、高线或添加辅助线解决.,【对点训练】 如图,四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,点O是 底面中心,A1O底面ABCD,AB=AA1= .,(1)证明:平面A1BD平面CD1B1. (2)求三棱柱ABD-A1B1D1的体积.,【解析】(1)由题设知,BB1 DD1, 所以四边形BB1D1D是平行四边形, 所以BDB1D1, 又因为BD平面CD1
11、B1, B1D1平面CD1B1,所以BD平面CD1B1. 因为A1D1 B1C1 BC, 所以四边形A1BCD1是平行四边形, 所以A1BD1C, 又因为A1B平面CD1B1, D1C平面CD1B1,所以A1B平面CD1B1, 又因为BDA1B=B, 所以平面A1BD平面CD1B1. (2)因为A1O平面ABCD, 所以A1O是三棱柱ABD-A1B1D1的高. 又因为AO= AC=1,AA1= ,所以A1O= 又因为SABD= 所以 =SABDA1O=1.,热点题型3 空间几何中的“翻折”问题 【感悟经典】 【典例】1.(2018南宁联考)如图,在正方形ABCD中,E,F分别是BC,CD的中点
12、,G是EF的中点.现在沿AE,AF及EF把这个正方形折成一个空间图形,使B,C,D三点重合,重合后的点记为H.下列说法错误的是_(将符合题意的选项序号填到横线上).,AGEFH所在平面;AHEFH所在平面;HFAEF所在平面;HGAEF所在平面.,2.(2018衡水一模)如图,在直角梯形ABCD中,AB BC,ADBC,AB=BC= AD=1,点E是线段CD上异于点C,D的 动点,EFAD于点F,将DEF沿EF折起到PEF的位置, 并使PFAF,则五棱锥P-ABCEF的体积的取值范围为 _.,【规范解答】1.折之前AGEF,CGEF,折之后也垂直, 所以EF面AHG,折之前B,D,C均为直角,
13、折之后 三点重合,所以折之后AH,EH,FH三条直线两两垂直, 所以AHEFH所在平面,对,同时可知AHHG,又 HFAEH所在平面,过AE不可能做两个平面与直线HF,垂直,错,如果HGAEF,则有HGAG,与中AHHG矛盾,所以错.若AGEFH所在平面,则AGHG与中AHHG矛盾,所以也错.选. 答案:,2.因为PFEF,PFAF,EFAF=F,所以PF平面ABCEF, 设DF=x(0x1),则EF=x,FA=2-x,所以SABCEF=SABCD- SDEF= (1+2)1- x2= (3-x2),所以五棱锥P-ABCEF 的体积V(x)= (3-x2)x= (3x-x3),V(x)=(1-
14、x2)=0,得x=1或x=-1(舍去),当0x1时,V(x),0,V(x)单调递增,故V(0)V(x)V(1),即V(x)的取值范 围是 答案:,【规律方法】 解决折叠问题的一般思路 (1)要明确折叠前后的变化量和不变量.一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的关键.,(2)在解决问题时,要比较折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形,找准折叠前后的变化量和不变量.,【对点训练】 1.(2016浙江高考)如图,已知平面四 边形ABCD,AB=BC=3,CD=1,AD= , ADC=90.沿直线AC将ACD翻折 成ACD,直线AC与BD所
15、成角的余弦的最大值是_.,【解析】借助余弦定理及三角函数的有界性解答. 作DFAC于点F,作BEAC于点E,作FM垂直于过点B平 行于AC的直线,垂足为M,则DBM是AC与BD所成的 角(或其补角).在ADC中,DC=1,AD= , ADC=90, 所以AC=,在BAC中,BC=BA=3,而AE= , 所以EF= 因为MF=BE= ,所以DM=,因为BM=EF= ,所以BD= 所以 所以直线AC与BD所成角的余弦的最大值是 . 答案:,2.如图1,在直角梯形ABEF中(图中数字表示线段的长度),将直角梯形DCEF沿CD折起,使平面DCEF平面ABCD,连接部分线段后围成一个空间几何体,如图2.
16、,图1,图2,(1)求证:BE平面ADF. (2)求三棱锥F-BCE的体积.,【解析】(1)证法一:取DF中点为G,连接AG,EG, 因为CE= DF, 所以EGCD且EG=CD, 又因为ABCD且AB=CD, 所以EGAB且EG=AB, 四边形ABEG为平行四边形,所以BEAG.,因为BE平面ADF,AG平面ADF, 所以BE平面ADF.,证法二:由题图1可知BCAD,CEDF, 折叠之后平行关系不变. 因为BC平面ADF,AD平面ADF, 所以BC平面ADF. 同理CE平面ADF. 因为BCCE=C,BC,CE平面BCE,所以平面BCE平面ADF. 因为BE平面BCE,所以BE平面ADF.
17、 (2)方法一:因为VF-BCE=VB-CEF, 由题图1可知BCCD,因为平面DCEF平面ABCD,平面DCEF平面ABCD=CD,BC平面ABCD,所以BC平面DCEF, 由题图1可知DC=CE=1,SCEF= CEDC= , 所以VF-BCE=VB-CEF= BCSCEF= .,方法二:由题图1可知CDBC,CDCE. 因为BCCE=C,所以CD平面BCE, 因为DFEC,所以点F到平面BCE的距离等于点D到平面BCE的距离为1, 由题图1可知BC=CE=1,SBCE= BCCE= , 所以VF-BCE= CDSBCE= .,【提分备选】如图1所示,在RtABC中,AC=6,BC=3,
18、ABC=90,CD为ACB的平分线,点E在线段AC上, CE=4,如图2所示,将BCD沿CD折起,使得平面BCD 平面ACD,连接AB,设点F是AB的中点.,(1)求证:DE平面BCD. (2)若EF平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,求三棱锥B-DEG的体积.,【解析】(1)取AC的中点P,连接DP,因为在RtABC 中,AC=6,BC=3,ABC=90,CD为ACB的平分线,所以 A=30,ADC是等腰三角形,所以DPAC,DP= , DCP=30,PDC=60, 又点E在线段AC上,CE=4,所以AE=2,EP=1,所以EDP= 30,所以EDC=90,所以EDDC; 因为将
19、BCD沿CD折起,使得平面BCD平面ACD,平面BDC平面EDC=DC, 所以DE平面BCD.,(2)若EF平面BDG,其中G为直线AC与平面BDG的交点,G为EC的中点,此时AE=EG=GC=2, 因为在RtABC中,AC=6,BC=3,ABC=90,CD为ACB的平分线,所以BD= ,DC= , 所以B到DC的距离h=,因为平面BCD平面ACD,平面BDC平面EDC=DC, 所以B到DC的距离h就是三棱锥B-DEG的高. 三棱锥B-DEG的体积:V=,直观想象立体几何中的等积转化问题中的数学素 养 【相关链接】 在立体几何中,常考到点到平面的距离和体积等问题. 通常情况下,所给几何体的体积
20、不能直接套用公式或,涉及的一些量(如:底面积、高)不易求解时,可利用“等积转化”,灵活转化几何体中有关元素的相对位置,这样就可避难就易,使计算简便.,【典例】如图,已知ABC-A1B1C1是正三棱柱,它的底面边长和侧棱长都是2,D为侧棱CC1的中点,E为A1B1的中点.,(1)求证:ABDE. (2)求三棱锥A1-DAB的体积.,【规范解答】(1)连接C1E,则C1EA1B1,又因为A1B1C1C, 所以A1B1平面EDC1, 所以A1B1DE, 而A1B1AB,所以ABDE.,(2)因为A1B1AB,可知A1B1平面DAB, 连接A1B,A1D. 因为 又因为 所以,【通关题组】 1.如图,
21、在三棱锥A-BCD中,AB平面BCD,CDBD.,(1)求证:CD平面ABD. (2)若AB=BD=CD=1,M为AD中点,求三棱锥A-MBC的体积.,【解析】方法一:(1)因为AB平面BCD,CD平面BCD,所以ABCD.又因为CDBD,ABBD=B, AB平面ABD,BD平面ABD,所以CD平面ABD.,(2)由AB平面BCD,BD平面BCD,得ABBD, 因为AB=BD=1,所以SABD= . 因为M是AD的中点,所以SABM= SABD= . 由(1)知,CD平面ABD, 所以三棱锥C-ABM的高h=CD=1,因此三棱锥A-MBC的体积 VA-MBC=VC-ABM= SABMh= .
22、方法二:(1)同方法一.,(2)由AB平面BCD且AB平面ABD知, 平面ABD平面BCD, 又平面ABD平面BCD=BD, 如图,过点M作MNBD交BD于点N, 则MN平面BCD, 且MN= AB= ,又CDBD,BD=CD=1,所以SBCD= . 所以三棱锥A-MBC的体积VA-MBC=VA-BCD-VM-BCD = ABSBCD- MNSBCD= .,2.如图,已知在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为4的正方形,PAD是正三角形,平面PAD平面ABCD,E,F,G分别是PD,PC,BC的中点.,(1)求证:平面EFG平面PAD. (2)若M是线段CD上一点,求三棱锥M-EFG的体
23、积.,【解析】(1)因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,CD平面ABCD,CDAD, 所以CD平面PAD. 又因为PCD中,E,F分别是PD,PC的中点, 所以EFCD,所以EF平面PAD, 因为EF平面EFG,所以平面EFG平面PAD.,(2)因为EFCD,EF平面EFG,CD平面EFG, 所以CD平面EFG, 因此CD上的点M到平面EFG的距离等 于点D到平面EFG的距离,所以VM-EFG= VD-EFG, 取AD的中点H,连接GH,EH,则EFGH,因为EF平面PAD,EH平面PAD,所以EFEH, 于是SEFH= EFEH=2=SEFG, 因为平面EFG平面PAD,平面EFG平面PAD=EH,EHD是正三角形,所以点D到平面EFG的距离等于正EHD的高,即为 . 因此,三棱锥M-EFG的体积VM-EFG=VD-EFG= SEFG= .,
