1、1第二讲 点、直线、平面之间的位置关系(40分钟 70 分)一、选择题(每小题 5分,共 25分)1.给出下列命题:在空间中,垂直于同一个平面的两个平面平行;设 l,m是不同的直线, 是一个平面,若 l, lm,则 m;过一点有且只有一条直线与已知平面垂直;a,b 是两条异面直线,P 为空间中一点,过点 P总可以作一个平面与 a,b之一垂直,与另一个平行.其中正确命题的个数是 ( )A.0 B.1 C.2 D.3【解析】选 C.对于,借助正方体模型可知错误;对于,若 l, lm,则 m,显然正确;对于,显然过一点必存在一条直线与已知平面垂直,如果过一点能够作两条直线与已知平面垂直,则根据直线与
2、平面垂直的性质定理可知,这两条直线平行,但根据已知这两条直线相交,所以正确;对于,当异面直线 a,b垂直时才可以作出满足要求的平面,所以错误.2.如图,透明塑料制成的长方体容器 ABCD-A1B1C1D1内灌进一些水,固定容器底面一边 BC于地面上,再将容器倾斜,随着倾斜度的不同,有下面四个命题:没有水的部分始终呈棱柱形;水面 EFGH所在四边形的面积为定值;棱 A1D1始终与水面所在平面平行;当容器倾斜如图所示时,BEBF 是定值.其中正确命题的个数是 ( )A.1 B.2 C.3 D.4【解析】选 C.由题图,显然是正确的,是错误的;对于,因为 A1D1BC,BCFG,2所以 A1D1FG
3、 且 A1D1平面 EFGH,所以 A1D1平面 EFGH(水面).所以是正确的;对于,因为水是定量的(定体积 V),所以 SBEF BC=V,即 BEBFBC=V.12所以 BEBF= (定值),即是正确的,故选 C.23.将图 1中的等腰直角三角形 ABC沿斜边 BC的中线折起得到空间四面体 ABCD(如图 2),则在空间四面体 ABCD中,AD 与 BC的位置关系是 ( )A.相交 且垂直 B.相交但不垂直C.异面且垂直 D.异面但不垂直【解析】选 C.在题图 1中的等腰直角三角形 ABC中,斜边上的中线 AD就是斜边上的高,则ADBC,翻折后如题图 2,AD与 BC变成异面直线,而原线
4、段 BC变成两条线段 BD,CD,这两条线段与 AD垂直,即 ADBD,ADCD,且 BDCD=D,故 AD平面 BCD,所以 ADBC.4.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F 分别是 A1D1,A1C1的中点,则异面直线 AE和 CF所成的角的余弦值为 ( )A. B. C. D.33010 12【解析】选 C.如图,设正方体的棱长为 a,取线段 AB的中点 M,连接 CM,MF,EF.则 MFAE,所以CFM 即为所求角或所求角的补角.在CFM 中,MF=CM= a,CF= a,根据余弦定理可得 cos CFM= ,所以可得异面直线 AE与 CF所成的角的余弦值为 .35.如
5、图,已知一个八面体的各条棱长均为 1,四边形 ABCD为正方形,则下列命题中的假命题是 ( )A.不平行的两条棱所在的直线所成的角是 60或 90B.四边形 AECF是正方形C.点 A到平面 BCE的距离为D.该八面体的顶点在同一个球面上【解析】选 C.因为八面体的各条棱长均为 1,四边形 ABCD为正方形,相邻两条棱所在的直线所成的角是 60,而 AE与 CE所成的角为 90,A正确;四边形 AECF各边长均为 1,AC=EF=,所以四边形 AECF是正方形,B 正确;DB= ,该八面体的顶点在同一个球面上,D 正确;2 2设 A到平面 BCE的距离为 h,由 VE-ABCD=2VA-BCE
6、,得 11 =2 h,解得 h= ,C13 13错误.二、填空题(每小题 5分,共 15分)6.已知 a,b,c为三条不同的直线,且 a平面 ,b 平面 ,=c.给出下列命题:若 a与 b是异面直线,则 c至少与 a,b中的一条相交;若 a不垂直于 c,则 a与 b一定不垂直;若 ab,则必有 ac;若 ab,ac,则必有 .正确的是 _.(填序号) 【解析】中若 c与 a,b都不相交,则 ca,cb,故 ab,这与 a与 b是异面直线矛盾,4正确;中若 ,bc,则 b,ba,这与 a与 c是否垂直无关,错;中若 ab,则 a,又 =c,所以 ac,正确;中当 bc 时, 与 可能不垂直,错.
7、答案:7.如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1中,底面是ABC 为直角的等腰直角三角形, AC=2a,BB1=3a,D是 A1C1的中点,点 F在线段 AA1上,当 AF=_时,CF平面 B1DF. 【解析】因为 B1D平面 A1ACC1,所以 CFB 1D,所以为了使 CF平面 B1DF,只要使 CFDF(或 CFB 1F),设 AF=x,则有 CD2=DF2+FC2,所以 x2-3ax+2a2=0,所以 x=a或 x=2a.答案:a 或 2a8.如图所示,在直角梯形 ABCD中,BCDC,AEDC,M ,N分别是 AD,BE的中点,将三角形 ADE沿 AE折起,下列说法正确的是_(填上所
8、有正确的序号). 不论 D折至何位置(不在平面 ABC内)都有 MN平面 DEC;不论 D折至何位置都有 MNAE;不论 D折至何位置(不在平面 ABC内)都有 MNAB.【解析】取 AE的中点 F,连接 MF,NF,则 MFDE,NFABCE,5从而平面 MFN平面 DEC,故 MN平面 DEC,正确;又 AEMF,AENF,所以 AE平面 MFN,从而 AEMN,正确;又 MN与 AB是异面直线,则错误.答案:三、解答题(每小题 10分,共 30分)9.如图,四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是菱形,PA=PD,BAD=60,E 是 AD的中点,点 Q在侧棱 PC上.(1)求证:AD平
9、面 PBE.(2)若 Q是 PC的中点,求证:PA平面 BDQ.【解析】(1)由 E是 AD的中点,PA=PD 可得 ADPE.又底面 ABCD是菱形,BAD=60,所以 AB=BD,又 E是 AD的中点,所以 ADBE,又 PEBE=E,所以 AD平面 PBE.(2)连接 AC,交 BD于点 O,连接 OQ.因为 O是 AC的中点,Q是 PC的中点,所以 OQPA,又 PA平面 BDQ,OQ平面 BDQ,所以 PA平面 BDQ.10.如图,在四棱锥 P-ABCD中,底面 ABCD是边长为 的正方形,PABD.6(1)求证:PB=PD.(2)若 E,F分别为 PC,AB的中点,EF平面 PCD
10、,求三棱锥 D-ACE的体积.【解析】(1)因为底面 ABCD是正方形,所以 ACBD 且 O为 BD的中点.又 PABD,PAAC=A,所以 BD平面 PAC,由于 PO平面 PAC,故 BDPO.又 BO=DO,所以 PB=PD.(2)如图,设 PD的中点为 Q,连接 AQ,EQ,EO,因为 EQ= CD=AF,12所以 AFEQ为平行四边形,所以 EFAQ,因为 EF平面 PCD,所以 AQ平面 PCD,所以 AQPD,又 PD的中点为 Q,所以 AP=AD= .2由 AQ平面 PCD,可得 AQCD,又 ADCD,AQAD=A,所以 CD平面 PAD,所以 CDPA,又 BDPA,BD
11、CD=D,7所以 PA平面 ABCD.故 VD-ACE=VE-ACD= PASA CD1312= = ,1312 212 2 2故三棱锥 D-ACE的体积为 .11.如图,四边形 ABCD为正方形,EA平面 ABCD,EFAB ,AB=4,AE=2,EF=1.(1)求证:BCAF.(2)若点 M在线段 AC上,且满足 CM= CA,求证:EM平面 FBC.14【解析】(1)因为 EFAB,所以 EF与 AB确定平面 EABF,因为 EA平面 ABCD,所以 EABC.由已知得 ABBC 且 EAAB=A,所以 BC平面 EABF.又 AF平面 EABF,所以 BCAF.(2)如图,过点 M作
12、MNBC,垂足为点 N,连接 FN,则 MNAB.因为 CM= AC,14所以 MN= AB.14又 EFAB 且 EF= AB,14所以 EF MN,8所以四边形 EFNM为平行四边形,所以 EMFN.又 FN平面 FBC,EM平面 FBC,所以 EM平面 FBC.(20分钟 20 分)1.(10分)已知长方形 ABCD中,AB=3,AD=4.现将长方形沿对角线 BD折起,使 AC=a,得到一个四面体 A-BCD,如图所示.(1)试问:在折叠的过程中,直线 AB与 CD能否垂直?若能,求出相应 a的值;若不能,请说明理由.(2)求四面体 A-BCD体积的最大值.【解析】(1)直线 AB与 C
13、D能够垂直.因为 ABAD,若 ABCD,ADCD=D,则有 AB平面 ACD,从而 ABAC.此时,a= = = ,2-2即当 a= 时, 有 ABCD.7(2)由于BCD 面积为定值,所以当点 A到平面 BCD的距离最大,即当平面 ABD平面 BCD时,该四面体的体积最大,此时,过点 A在平面 ABD内作 AHBD,垂足为 H,则有 AH平面 BCD,AH就是该四面体的高.9在ABD 中,AH= = ,SBCD = 34=6,12此时 VA-BCD= SBCD AH= ,13即为该四面体体积的最大值.2.(10分)如图 1,在高为 2的梯形 ABCD中,ABCD,AB=2,CD=5,过 A
14、,B分别作AECD,BFCD,垂足分别为 E,F.已知 DE=1,将梯形 ABCD沿 AE,BF同侧折起,得空间几何体ADE-BCF,如图 2.(1)若 AFBD,证明:BDE 为直角三角形.(2)在(1)的条件下,若 DECF,求三棱锥 B-ACD的体积.【解析】(1)由已知得四边形 ABEF是正方形,且边长为 2,如图,取 BE与 AF的交点为 O,则 AFBE,由已知得 AFBD,BEBD=B,所以 AF平面 BDE,又 DE平面 BDE,所以 AFDE,又 AEDE,AEAF=A,所以 DE平面 ABFE,又 BE平面 ABFE,所以 DEBE,所以BDE 为直角三角形.(2)如图,取
15、 AC中点 G,连接 OG,DG,则 OG CF,由已知得 DE CF,12 12所以 OG DE,则四边形 DEOG为平行四边形,所以 OEGD,即 BEGD,又 BE平面 ACD,GD平面 ACD,所以 BE平面 ACD,故三棱锥 B-ACD的体积 VB-ACD=VE-ACD,10因为 AEDE,AEEF,DEEF=E,所以 AE平面 CDEF,即 AE平面 CDE,所以 AE为三棱锥 A-CDE的高,所以 VE-ACD=VA-CDE= SCDE AE= SDEF AE,13 13由 SDEF = DEEF= 12=1,12 12得 VA-CDE= 12= ,13 23所以三棱锥 B-ACD的体积为 .23
