1、1大题分层练(二)三角、数列、概率统计、立体几何(B 组)1.在平面四边形 ABCD 中,ABBC,AB=2,BD= ,BCD=2ABD,ABD 的面积为 2.(1)求 AD 的长.(2)求CBD 的面积.【解析】(1)由已知 SABD = ABBDsinABD= 2 sinABD=2,所以12 12 5sinABD= ,又ABD ,所以 cosABD= ,在ABD 中,由余弦定理得:255AD2=AB2+BD2-2ABBDcosABD=5,所以 AD= .(2)由 ABBC,得ABD+CBD= ,2所以 sinCBD=cosABD= ,又BCD=2ABD,sinBCD=2sinABDcosA
2、BD= ,45BDC=-CBD-BCD=- -2ABD= -ABD=CBD,2所以CBD 为等腰三角形,即 CB=CD,在CBD 中,由正弦定理得: =,所以 CD= = = ,542SCBD = CBCDsinBCD= = .12 12545445582.在各项均为正数的等比数列a n中,a 1a3=64,a2+a5=72,数列b n的前 n 项和 Sn满足 Sn=.2+2(1)求数列a n,bn的通项公式.(2)设 cn= ,求数列c n的前 n 项和 Tn.【解析】(1)设数列a n的公比为 q,因为 a1a3=64,a2+a5=72,所以(a 1q)2=64,a1q(1+q3)=72,
3、所以 q=2,a1=4,所以数列a n的通项公式为 an=42n-1=2n+1.当 n=1 时,b 1=S1=1,当 n2 时,b n=Sn-Sn-1= - =n.2+2综上可得:b n=n.(2)cn= = = - .1所以 Tn= + +(12-13) (1- 1+1)=1- = .+13.某中学举行了一次“中国诗词大赛”活动.为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为 100分)作为样本(样本容量为 n)进行统计.按照50,60),60,70),70,80),80,90),90,100的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在
4、50,60),90,100的数据).(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中 x,y 的值.(2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取 2 名学生参加“中国谜语大会”,求所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率.3【解析】(1)由题意可知,样本容量 n= =50,y= =0.004,x= 三0.100-0.004-0.010-0.016-0.040=0.030.(2)由题意可知,分数在80,90)内的学生有 5 人,记这 5 人分别为 a1,a2,a3,a4,a5,分数在 90,100内的学生有 2 人,记这 2 人分别为 b1,b2.抽
5、取的 2 名 学生的所有情况有 21种,分别为:(a 1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a1,b1),(a1,b2),(a2,a3),(a2,a4), (a2,a5),(a2,b1),(a2,b2),(a3,a4),(a3,a5),(a3,b1),(a3,b2),(a4,a5),(a4,b1),(a4,b2),(a5,b1),(a5,b2),(b1,b2).其中 2 名学生的分数都不在90,100内的情况有 10 种,分别为:(a1,a2),(a1,a3),(a1,a4),(a1,a5),(a2,a3),(a2,a4),(a2,a5),(a3,a4),(a3,a5)
6、,(a4,a5).所以所抽取的 2 名学生中至少有一人得分在90,100内的概率 P=1- = .11214.如图,在矩形 ABCD 中,点 E 为边 AD 上的点,点 F 为边 CD 的中点,AB=AE= AD=4,现将ABE23沿 BE边折至PBE 位置,且平面 PBE平面 BCDE.(1)求证:平面 PBE平面 PEF.(2)求四棱锥 P-BCFE的体积.【解析】(1)在 RtDEF 中,因为 ED=DF,所以DEF=45.在 RtABE 中,因为 AE=AB,所以AEB=45,所以BEF=90,则 EFBE.4因为平面 PBE平面 BCDE,且平面 PBE平 面 BCDE=BE,所以 EF平面 PBE,因为 EF平面 PEF,所以平面 PBE平面 PEF.(2)过点 P 作 POBE 于点 O,因为 PO平面 PBE,平面 PBE平面 BCDE 且平面 PBE平面 BCDE=BE,所以 PO平面 BCDE,所以四棱锥 P-BCFE 的高 h=PO=2 .2S 四边形 BCFE=S 矩形 ABCD-SABE -S DEF =64- 44- 22=14,12则 VP-BCFE= S 四边形 BCFEh= 142 = .13 13 22823
