1、1第 2 讲 点、直线、平面之间的位置关系1.(2017全国卷,理 10)已知直三棱柱 ABC A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为( C )(A) (B) (C) (D)32 155 105 33解析:如图,以 B 为坐标原点,BA 所在直线为 x 轴,BB 1所在直线为 z 轴,建立空间直角坐标系,则 B(0,0,0),A(2,0,0),B1(0,0,1),C1 - , ,1 ,12所以 =(-2,0,1),1= - , ,1 ,1 12所以 cos=1 11 1| 1| 1|=210= .105故选 C.2.(2018
2、全国卷,理 12)已知正方体的棱长为 1,每条棱所在直线与平面 所成的角相等,则 截此正方体所得截面面积的最大值为( A )(A) (B)334 233(C) (D)324解析:2如图所示,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,平面 AB1D1与棱 A1A,A1B1,A1D1所成的角都相等,又正方体的其余棱都分别与 A1A,A1B1,A1D1平行,故正方体 ABCD A1B1C1D1的每条棱所在直线与平面AB1D1所成的角都相等.如图所示,取棱 AB,BB1,B1C1,C1D1,DD1,AD 的中点 E,F,G,H,M,N,则正六边形 EFGHMN 所在平面与平面 AB1D1平行且面积最大,
3、此截面面积为 S 正六边形 EFGHMN=6 sin 60= .12 334故选 A.3.(2017全国卷,理 16)a,b 为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a,b 都垂直,斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论:当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 30角;当直线 AB 与 a 成 60角时,AB 与 b 成 60角;直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45;直线 AB 与 a 所成角的最大值为 60.其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号) 解析:AB 绕 AC 旋转得圆锥,AB 为母线.因为 a,b 与 AC
4、 都垂直,则 a,b 所在直线可平移到圆 C 面内,如图.对于,不妨设 BP 为直线 a,则 b 为 BE.若ABP=60,则ABP 为等边三角形,则ABE 为等边三角形,所以 AB 与 b 成角为 60,不对,对.对于,当 a 与 BB重合时,AB 与 a 所成角最小为 45,对.当 BP 足够小时,ABP 趋向于 90,不对.答案:4.3(2018全国卷,文 19)如图,矩形 ABCD 所在平面与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异于C,D 的点.(1)证明:平面 AMD平面 BMC;(2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC平面 PBD?说明理由.(1)证明:由题设知,平面 CMD平
5、面 ABCD,交线为 CD.因为 BCCD,BC平面 ABCD,所以 BC平面 CMD,故 BCDM.因为 M 为 上异于 C,D 的点,且 DC 为直径,所以 DMCM,又 BCCM=C,所以 DM平面 BMC.而 DM平面 AMD,故平面 AMD平面 BMC.(2)解:当 P 为 AM 的中点时,MC平面 PBD.证明如下:连接 AC 交 BD 于 O.因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 的中点.连接 OP,因为 P 为 AM 的中点,所以 MCOP.又 MC平面 PBD,OP平面 PBD,所以 MC平面 PBD.1.考查角度(1)线、面位置关系的判断;(2)异面直线所成的角;(3
6、)直线与平面所成的角;(4)空间平行、垂直关系的证明;(5)折叠和探究问题.2.题型及难易度选择题、填空题、解答题,中档题为主.4(对应学生用书第 3537 页)空间线、面的位置关系考向 1 空间线、面位置关系的判断【例 1】 (2018湖南省湘东五校联考)已知直线 m,l,平面 ,且 m,l,给出下列命题:若 ,则 ml;若 ,则 ml;若 ml,则 .其中正确的命题是( )(A) (B) (C) (D)解析:对于,若 ,m,l,则 ml,故正确.对于,若 ,则直线 m 与 l 可能异面、平行或相交,故错误.对于,若 ml,m,则 l,又 l,所以 ,故正确,故选 D.考向 2 空间角【例
7、2】 (2016全国卷)平面 过正方体 ABCD A1B1C1D1的顶点 A,平面 CB1D1,平面 ABCD=m,平面 ABB1A1=n,则 m,n 所成角的正弦值为( )(A) (B) (C) (D)13解析:在正方体 ABCD A1B1C1D1中,由题意,直线 mBD,直线 nA 1B,又A 1DB 为等边三角形,DBA 1=60,sin 60= ,所以 m,n 所成角的正弦值为 ,故选 A.(1)空间线面位置关系判断的常用方法:根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质5定理逐项判断来解决问题;必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行
8、判断.(2)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;过特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.热点训练 1:(2017全国卷)如图,在下列四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( )解析:如图 O 为正方形 CDBE 的两条对角线的交点,从而 O 为 BC 的中点,在ACB 中,OQ 为中位线,所以 OQAB,OQ平面 MNQ=Q,所以,AB 与平面 MNQ 相交,而不是平行,故选 A.热点训练 2:(2018广州市综合测试一)在四面体 ABCD 中,
9、E,F 分别为 AD,BC 的中点,AB=CD,ABCD,则异面直线 EF 与 AB 所成角的大小为( )(A) (B) (C) (D)6解析:取 BD 的中点 O,连接 OE,OF,因为 E,F 分别为 AD,BC 的中点,AB=CD,所以 EOAB,OFCD,且 EO=OF= CD,12又 ABCD,所以 EOOF,OEF 为异面直线 EF 与 AB 所成的角,由EOF 为等腰直角三角形,可得OEF= ,故选 B.线面平行、垂直的证明【例 3】 6(2018石家庄市质检一)如图,已知四棱锥 P ABCD,底面 ABCD 为正方形,且 PA底面 ABCD,过 AB 的平面 ABFE 与侧面
10、PCD 的交线为 EF,且满足 SPEF S 四边形 CDEF=13.(1)证明:PB平面 ACE;(2)当 PA=2AD=2 时,求点 F 到平面 ACE 的距离.(1)证明:由题知四边形 ABCD 为正方形,所以 ABCD,因为 CD平面 PCD,AB平面 PCD,所以 AB平面 PCD.又 AB平面 ABFE,平面 ABFE平面 PCD=EF,所以 EFAB,所以 EFCD.由 SPEF S 四边形 CDEF=13 知 E,F 分别为 PD,PC 的中点.如图,连接 BD 交 AC 于点 G,则 G 为 BD 的中点,连接 EG,则 EFPB.又 EG平面 ACE,PB平面 ACE,所以
11、 PB平面 ACE.(2)解:因为 PA=2,AD=AB=1,所以 AC= ,AE= PD= ,212因为 PA平面 ABCD,所以 CDPA,7又 CDAD,ADPA=A,所以 CD平面 PAD,所以 CDPD.在 RtCDE 中,CE= = .2+232在ACE 中,由余弦定理知cosAEC= = ,所以 sinAEC= ,255所以 SACE = AECEsinAEC= .12 34设点 F 到平面 ACE 的距离为 h,则 = h= h.13 34 14因为 DGAC,DGPA,ACPA=A,所以 DG平面 PAC,因为 E 为 PD 的中点,所以点 E 到平面 ACF 的距离为 DG
12、= .又 F 为 PC 的中点,所以 SACF = SACP = ,12所以 = = .13由 = ,得 h= ,得 h= ,14 13所以点 F 到平面 ACE 的距离为 .13(1)线面平行及线面垂直的证明方法:要证线面平行,主要有两个途径:一是证已知直线与平面内的某直线平行;二是证过已知直线的平面与已知平面平行.在这里转化思想在平行关系上起着重要的作用,在寻求平行关系上,利用中位线、平行四边形等是非常常见的方法;要证线面垂直,关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直,即线线垂直线面垂直.结合图形还要注意一些隐含的垂直关系,如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直
13、关系等.(2)求点到平面的距离的常用方法:直接作出点到平面的垂线段,再计算;8通过线面平行,转化为其他点到平面的距离;等体积法.热点训练 3:(2018丰台区一模)如图所示,在四棱锥 P ABCD 中,平面 PAB平面ABCD,ADBC,AD=2BC,DAB=ABP=90.(1)求证:AD平面 PAB;(2)求证:ABPC;(3)若点 E 在棱 PD 上,且 CE平面 PAB,求 的值.(1)证明:因为DAB=90,所以 ADAB,因为平面 PAB平面 ABCD,且平面 PAB平面 ABCD=AB,所以 AD平面 PAB.(2)证明:由已知得 ADAB,因为 ADBC,所以 BCAB,又因为A
14、BP=90,所 PBAB,因为 PBBC=B,所以 AB平面 PBC,所以 ABPC.(3)解:过 E 作 EFAD 交 PA 于 F,连接 BF,因为 ADBC,所以 EFBC,所以 E,F,B,C 四点共面,又因为 CE平面 PAB,且 CE平面 BCEF,且平面 BCEF平面 PAB=BF,所以 CEBF,所以四边形 BCEF 为平行四边形,所以 EF=BC,在PAD 中,因为 EFAD,所以 = = = .129立体几何中的折叠和探索性问题考向 1 折叠问题【例 4】 (2018河北省“五个一名校联盟”第二次考试)如图 1,在直角梯形 ABCD 中,ADC=90,ABCD,AD=CD=
15、 AB=2,E 为 AC 的中点,将ACD 沿 AC 折起,使折起后的平面 ACD12与平面 ABC 垂直,如图 2,在图 2 所示的几何体 D ABC 中:(1)求证:BC平面 ACD;(2)点 F 在棱 CD 上,且满足 AD平面 BEF,求几何体 F BCE 的体积.(1)证明:因为 AC= =2 ,BAC=ACD=45,AB=4,所以在ABC 中,BC2=AC2+AB2-2ACABcos 45=8,所以 AB2=AC2+BC2=16,所以 ACBC,因为平面 ACD平面 ABC,平面 ACD平面 ABC=AC,所以 BC平面 ACD.(2)解:因为 AD平面 BEF,AD平面 ACD,
16、平面 ACD平面 BEF=EF,所以 ADEF,因为 E 为 AC 的中点,所以 EF 为ACD 的中位线,由(1)知 = = SCEF BC,13又 SCEF = SACD = 22= ,14 14 12 12所以 = 2 = .13 12 2考向 2 探索性问题【例 5】 (2018惠州市第一次调研)如图,在底面是菱形的四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,ABC=60,10AA1=AC=2,A1B=A1D=2 ,点 E 在 A1D 上.2(1)证明:AA 1平面 ABCD;(2)当 为何值时,A 1B平面 EAC,并求出此时直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离.1(1)证明:因为四边
17、形 ABCD 是菱形,ABC=60,所以 AB=AD=AC=2,在AA 1B 中,由 A +AB2=A1B2,知 AA1AB,21同理 AA1AD,又 ABAD=A,所以 AA1平面 ABCD.(2)解:当 =1 时,A 1B平面 EAC.1证明如下:如图,连接 BD 交 AC 于点 O,当 =1,即点 E 为 A1D 的中点时,1连接 OE,则 OEA 1B,又 A1B平面 EAC,所以 A1B平面 EAC.直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离等于点 A1到平面 EAC 的距离,因为 E 为 A1D 的中点,所以点 A1到平面 EAC 的距离等于点 D 到平面 EAC 的距离, = ,设
18、 AD 的中点为 F,连接 EF,则 EFAA 1,且 EF=1,所以 EF平面 ACD,可求得 SACD = ,3所以 = 1 = .13 3又 AE= ,AC=2,CE=2,所以 SEAC = ,所以 SEAC d= (d 表示点 D 到平面 EAC 的距离),解得 d= ,1311所以直线 A1B 与平面 EAC 之间的距离为 .(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法.(2)探
19、求某些点的具体位置,使得满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目,一般可采用两种方法:一是先假设存在,再去推理,下结论;二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算.(3)存在探究性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论.热点训练 4:(2016全国卷)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O,点 E,F 分别在 AD,CD 上,AE=CF,EF 交 BD 于点 H.将DEF 沿 EF 折到DEF 的位置.(1)证明:ACHD;(2)若 AB=5,AC=6,AE= ,OD=2 ,求五棱锥 D ABCFE 的体积
20、.2(1)证明:由已知得 ACBD,AD=CD.又由 AE=CF 得 = ,故 ACEF.所以 EFHD,EFHD,所以 ACHD.(2)解:由 EFAC 得 = = .14由 AB=5,AC=6 得 DO=BO= =4.所以 OH=1,DH=DH=3.于是 OD2+OH2=(2 )2+12=9=DH2,2故 ODOH.由(1)知 ACHD,又 ACBD,BDHD=H,所以 AC平面 BHD,于是 ACOD.又由 ODOH,ACOH=O,所以 OD平面 ABC.12又由 = 得 EF= . 92五边形 ABCFE 的面积 S= 68- 3= .12 12 92所以五棱锥 D ABCFE 的体积
21、 V= 2 = .13 2热点训练 5:(2018邯郸二模)如图,四棱锥 P ABCD 中,AB=BC=2 ,AD=CD=2,PA=PC,ABC= ,ABAD,平面 PAD平面 ABCD.(1)求证:PD平面 ABCD;(2)若 PD=3,是否存在球 O 使得四棱锥 P ABCD 内接于球 O?若存在,求球 O 与四棱锥 P ABCD的体积之比;若不存在,请说明理由.(1)证明:连接 BD,因为 AB=BC,AD=CD,BD=BD,所以ABDCBD,则BAD=BCD,因为 AB=BC,PA=PC,PB=PB,所以PABPCB,则PAB=PCB,因为平面 PAD平面 ABCD,平面 PAD平面
22、ABCD=AD,ABAD,所以 AB平面 PAD,则 ABPA,ABPD,所以 BCCD,BCPC,因为 PCCD=C,所以 BC平面 PCD,则 BCPD,又 ABBC=B,所以 PD平面 ABCD.(2)解:若 PD=3,存在球 O 使得四棱锥 P ABCD 内接于球 O,事实上,由(1)知,PAB=PDB=PCB=90,13则 PB 即为四棱锥 P ABCD 外接球直径,PB 的中点即外接球球心,易求 BD=4,PD=3,所以四棱锥 P ABCD 的外接球的半径 R= ,52球 O 的体积 V= 3= ,43 52 1256四棱锥 P ABCD 的体积 V= 22 3=4 ,13 3 3
23、所以球 O 与四棱锥 P ABCD 的体积之比为 = = .【例 1】 (2018石家庄市一模)已知四棱锥 S ABCD 的底面 ABCD 为直角梯形,ABCD,ABBC,AB=2BC=2CD=2,SAD 为正三角形.(1)点 M 为线段 AB 上一点,若 BC平面 SDM, = ,求实数 的值;(2)若 BCSD,求点 B 到平面 SAD 的距离.解:(1)因为 BC平面 SDM,BC平面 ABCD,平面 SDM平面 ABCD=DM,所以 BCDM.又 ABDC,所以四边形 BCDM 为平行四边形,所以 CD=MB,又 AB=2CD,所以 M 为 AB 的中点.因为 = ,所以 = .12(
24、2)因为 BCSD,BCCD,所以 BC平面 SCD,14又 BC平面 ABCD,所以平面 SCD平面 ABCD.如图,在平面 SCD 内过点 S 作 SE 垂直 CD 交 CD 的延长线于点 E,连接 AE.又平面 SCD平面 ABCD=CD,所以 SE平面 ABCD,所以 SECE,SEAE,在 RtSEA 和 RtSED 中,AE= ,DE= ,因为 SA=SD,所以 AE=DE,又易知EDA=45,所以 AEED,由已知求得 SA=AD= ,2所以 AE=ED=SE=1.连接 BD,则 = 211= ,13 12 13又 = ,SSAD = = ,12 2 2所以点 B 到平面 SAD
25、 的距离为 .233【例 2】 (2018武汉市四月调研)在棱长为 3 的正方体 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别在棱 AB,CD 上,且AE=CF=1.(1)求异面直线 A1E 与 C1F 所成角的余弦值;(2)求四面体 EFC1A1的体积.解:(1)如图,在正方体 ABCD A1B1C1D1中,延长 DC 至 M,使 CM=1,则 AECM. 连接 AC,EM,所以MEACA 1C1,连接 MC1,所以 A1EC 1M,所以FC 1M 为异面直线 A1E 与 C1F 所成的角.在FC 1M 中,C 1F=C1M= ,FM=2,10所以 cosFC 1M= = .10+104210
26、104515故异面直线 A1E 与 C1F 所成角的余弦值为 .45(2)在 D1C1上取一点 N,使 ND1=1.连接 EN,FN,A1N,所以 A1EFN, 所以 A1NEF,因为 EF平面 EFC1,A1N平面 EFC1,所以 A1N平面 EFC1,所以 =三棱 锥 11三棱 锥 1= = 313= 23313 12=3.故四面体 EFC1A1的体积为 3.(对应学生用书第 38 页)【典例】 (2018全国卷,文 19)(12 分)如图,在三棱锥 P ABC 中,AB=BC=2 ,PA=PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点.2(1)证明:PO平面 ABC;(2)若点 M 在棱 B
27、C 上,且 MC=2MB,求点 C 到平面 POM 的距离.评分细则:(1)证明:因为 AP=CP=AC=4,O 为 AC 的中点,所以 OPAC,1 分且 OP=2 .2 分3如图,连接 OB.因为 AB=BC= AC,所以ABC 为等腰直角三角形,且 OBAC,OB= AC=2.3 分12由 OP2+OB2=PB2知,OPOB.4 分由 OPOB,OPAC 知,PO平面 ABC.5 分16(2)解:如图,作 CHOM,垂足为 H,6 分又由(1)可得 OPCH,所以 CH平面 POM.故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离.8 分由题设可知 OC= AC=2,12CM= BC= ,
28、23 423ACB=45.所以 OM= ,10 分253CH= = .455所以点 C 到平面 POM 的距离为 .12 分455注:第(1)问得分说明:由等腰三角形性质证明 OPAC,得 1 分.计算出 OP,OB 的长各得 1 分.根据勾股定理的逆定理证明 OPOB,得 1 分.证明结论,得 1 分.第(2)问得分说明:正确作出辅助线,得 1 分.证明 CH平面 POM,得 2 分.由解三角形求出 OM,得 2 分.由“面积法”求出 CH,得 2 分.【答题启示】 (1)证明线线平行常用的方法:利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;利用平行四边形进行平行转换;利用三角形的中位线定理证明;利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换.(2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边中线即高线这一性质;勾股定理的逆定理;线面垂直的性质定理,即要证两直线垂直,只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面.(3)证线面垂直时,一定证出该直线与平面内两条相交线垂直,本题常不能熟练运用勾股定理的逆定理证明 OPOB 而失分.(4)求点到平面的距离,要“一作,二证,三求”缺一不可,或利用“等积法”进行求解,本题在求点 C 到平面 POM 距离时,往往作不出距离而无法求解,或忽视证明 CH平面 POM 而失分.
