1、第2讲 点、直线、平面之间的位置关系,高考导航,热点突破,备选例题,阅卷评析,高考导航 演真题明备考,真题体验,1.(2017全国卷,理10)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,ABC=120,AB=2,BC= CC1=1,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为( ),C,2.(2018全国卷,理12)已知正方体的棱长为1,每条棱所在直线与平面所成的角相等,则截此正方体所得截面面积的最大值为( ),A,3.(2017全国卷,理16)a,b为空间中两条互相垂直的直线,等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a,b都垂直,斜边AB以直线AC为旋转轴旋转,有下列结论: 当直线AB与a成60角时,
2、AB与b成30角; 当直线AB与a成60角时,AB与b成60角; 直线AB与a所成角的最小值为45; 直线AB与a所成角的最大值为60. 其中正确的是 .(填写所有正确结论的编号),解析:AB绕AC旋转得圆锥,AB为母线. 因为a,b与AC都垂直, 则a,b所在直线可平移到圆C面内,如图. 对于, 不妨设BP为直线a,则b为BE. 若ABP=60,则ABP为等边三角形,则ABE为等边三角形, 所以AB与b成角为60,不对,对. 对于, 当a与BB重合时,AB与a所成角最小为45,对. 当BP足够小时,ABP趋向于90,不对.,答案:,(1)证明:平面AMD平面BMC;,(2)在线段AM上是否存
3、在点P,使得MC平面PBD?说明理由.,(2)解:当P为AM的中点时,MC平面PBD. 证明如下:连接AC交BD于O. 因为ABCD为矩形,所以O为AC的中点. 连接OP,因为P为AM的中点, 所以MCOP. 又MC平面PBD,OP平面PBD, 所以MC平面PBD.,考情分析,1.考查角度 (1)线、面位置关系的判断; (2)异面直线所成的角; (3)直线与平面所成的角; (4)空间平行、垂直关系的证明; (5)折叠和探究问题. 2.题型及难易度 选择题、填空题、解答题,中档题为主.,热点突破 剖典例促迁移,热点一,空间线、面的位置关系,考向1 空间线、面位置关系的判断 【例1】 (2018湖
4、南省湘东五校联考)已知直线m,l,平面,且m,l,给出下列命题: 若,则ml;若,则ml; 若ml,则. 其中正确的命题是( ) (A) (B) (C) (D),解析:对于,若,m,l, 则ml,故正确. 对于,若,则直线m与l可能异面、平行或相交,故错误. 对于,若ml,m,则l,又l, 所以,故正确,故选D.,考向2 空间角 【例2】 (2016全国卷)平面过正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A,平面CB1D1,平面ABCD=m,平面ABB1A1=n,则m,n所成角的正弦值为( ),方法技巧,(1)空间线面位置关系判断的常用方法:根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理逐项判断来
5、解决问题; 必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断. (2)求异面直线所成的角常用方法是平移法,平移方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移; 过特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移; 补形平移.,热点训练1:(2017全国卷)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是( ),解析:如图O为正方形CDBE的两条对角线的交点,从而O为BC的中点,在ACB中,OQ为中位线,所以OQAB,OQ平面MNQ=Q,所以,AB与平面MNQ相交,而不是平行,故选
6、A.,热点训练2:(2018广州市综合测试一)在四面体ABCD中,E,F分别为AD,BC的中点,AB=CD,ABCD,则异面直线EF与AB所成角的大小为( ),热点二,线面平行、垂直的证明,【例3】 (2018石家庄市质检一)如图,已知四棱锥P-ABCD,底面ABCD为正方形,且PA底面ABCD,过AB的平面ABFE与侧面PCD的交线为EF,且满足SPEF S四边形CDEF=13.,(1)证明:PB平面ACE;,(1)证明:由题知四边形ABCD为正方形,所以ABCD, 因为CD平面PCD,AB平面PCD, 所以AB平面PCD. 又AB平面ABFE, 平面ABFE平面PCD=EF, 所以EFAB
7、,所以EFCD. 由SPEFS四边形CDEF=13知E,F分别为PD,PC的中点. 如图,连接BD交AC于点G,则G为BD的中点, 连接EG,则EFPB. 又EG平面ACE,PB平面ACE, 所以PB平面ACE.,(2)当PA=2AD=2时,求点F到平面ACE的距离.,方法技巧,(1)线面平行及线面垂直的证明方法: 要证线面平行,主要有两个途径:一是证已知直线与平面内的某直线平行;二是证过已知直线的平面与已知平面平行.在这里转化思想在平行关系上起着重要的作用,在寻求平行关系上,利用中位线、平行四边形等是非常常见的方法; 要证线面垂直,关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直,即线线垂
8、直线面垂直.结合图形还要注意一些隐含的垂直关系,如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等. (2)求点到平面的距离的常用方法:直接作出点到平面的垂线段,再计算; 通过线面平行,转化为其他点到平面的距离; 等体积法.,热点训练3:(2018丰台区一模)如图所示,在四棱锥P-ABCD中,平面PAB平面ABCD,ADBC,AD=2BC,DAB=ABP=90.,(1)求证:AD平面PAB;,(1)证明:因为DAB=90,所以ADAB, 因为平面PAB平面ABCD, 且平面PAB平面ABCD=AB, 所以AD平面PAB.,(2)求证:ABPC;,(2)证明:由已知得ADAB, 因为
9、ADBC, 所以BCAB, 又因为ABP=90, 所PBAB, 因为PBBC=B, 所以AB平面PBC, 所以ABPC.,(3)若点E在棱PD上,且CE平面PAB,求 的值.,热点三,立体几何中的折叠和探索性问题,考向1 折叠问题 【例4】 (2018河北省“五个一名校联盟”第二次考试)如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,ABCD,AD=CD= AB=2,E为AC的中点,将ACD沿AC折起,使折起后的平面ACD与平面ABC垂直,如图2,在图2所示的几何体D-ABC中:,(1)求证:BC平面ACD;,(2)点F在棱CD上,且满足AD平面BEF,求几何体F-BCE的体积.,考向2 探索性问
10、题,(1)证明:AA1平面ABCD;,方法技巧,(1)折叠问题中不变的数量和位置关系是解题的突破口.一般地,在翻折后还在一个平面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化,解决这类问题就是要根据这些变与不变,去研究翻折以后的空间图形中的线面关系和各类几何量的度量值,这是化解翻折问题的主要方法. (2)探求某些点的具体位置,使得满足平行或垂直关系,是一类逆向思维的题目,一般可采用两种方法:一是先假设存在,再去推理,下结论;二是运用推理证明计算得出结论,或先利用条件特例得出结论,然后再根据条件给出证明或计算. (3)存在探究性问题可先假设存在,然后在此前提下进行逻辑推理,得出矛盾或肯定结论
11、.,热点训练4:(2016全国卷)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置. (1)证明:ACHD;,(1)求证:PD平面ABCD;,(1)证明:连接BD, 因为AB=BC,AD=CD,BD=BD,所以ABDCBD,则BAD=BCD, 因为AB=BC,PA=PC,PB=PB,所以PABPCB,则PAB=PCB, 因为平面PAD平面ABCD,平面PAD平面ABCD=AD,ABAD,所以AB平面PAD, 则ABPA,ABPD,所以BCCD,BCPC, 因为PCCD=C,所以BC平面PCD,则BCPD, 又
12、ABBC=B,所以PD平面ABCD.,(2)若PD=3,是否存在球O使得四棱锥P-ABCD内接于球O?若存在,求球O与四棱锥P-ABCD的体积之比;若不存在,请说明理由.,备选例题 挖内涵寻思路,【例1】 (2018石家庄市一模)已知四棱锥S-ABCD的底面ABCD为直角梯形,ABCD,ABBC,AB=2BC=2CD=2,SAD为正三角形.,(2)若BCSD,求点B到平面SAD的距离.,解:(2)因为BCSD,BCCD, 所以BC平面SCD, 又BC平面ABCD,所以平面SCD平面ABCD. 如图,在平面SCD内过点S作SE垂直CD交CD的延长线于点E,连接AE. 又平面SCD平面ABCD=C
13、D, 所以SE平面ABCD, 所以SECE,SEAE,【例2】 (2018武汉市四月调研)在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在棱AB,CD上,且AE=CF=1. (1)求异面直线A1E与C1F所成角的余弦值;,(2)求四面体EFC1A1的体积.,阅卷评析 抓关键练规范,(1)证明:PO平面ABC;,(2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.,注:第(1)问得分说明:由等腰三角形性质证明OPAC,得1分. 计算出OP,OB的长各得1分. 根据勾股定理的逆定理证明OPOB,得1分. 证明结论,得1分. 第(2)问得分说明:正确作出辅助线,得1分. 证
14、明CH平面POM,得2分. 由解三角形求出OM,得2分. 由“面积法”求出CH,得2分.,【答题启示】 (1)证明线线平行常用的方法:利用平行公理,即证两直线同时和第三条直线平行;利用平行四边形进行平行转换;利用三角形的中位线定理证明;利用线面平行、面面平行的性质定理进行平行转换. (2)证明线线垂直常用的方法:利用等腰三角形底边中线即高线这一性质;勾股定理的逆定理;线面垂直的性质定理,即要证两直线垂直,只需证明一条直线垂直于另一条直线所在的平面. (3)证线面垂直时,一定证出该直线与平面内两条相交线垂直,本题常不能熟练运用勾股定理的逆定理证明OPOB而失分. (4)求点到平面的距离,要“一作,二证,三求”缺一不可,或利用“等积法”进行求解,本题在求点C到平面POM距离时,往往作不出距离而无法求解,或忽视证明CH平面POM而失分.,
