1、1第 2 讲 点、直线、平面之间的位置关系(限时:45 分钟)【选题明细表】知识点、方法 题号空间线、面位置关系的判断 1,2,3,5,7空间角 4,6线面平行、垂直的证明 8,9,10折叠与探索性问题 9,10一、选择题1.已知四面体 ABCD 中,E,F,G,H 分别是棱 AB,BC,DA,CD 上的点,且AE=EB,BF=FC,CH=2HD,AG=2GD,则下列说法错误的是( B )(A)AC平面 EFH(B)BD平面 EFG(C)直线 GE,FH,BD 相交于一点(D)EFGH解析:利用直线与平面平行的判定定理可得选项 A 正确,由题意可知,EF 与 GH 平行但不相等,所以四边形 E
2、FHG 是梯形,选项 D 正确,易知选项 C 正确,故选 B.2.(2018揭阳二模)设 m,n 是两条不同的直线, 是两个不同的平面,下列选项正确的是( A )(A)若 m,n,且 ,则 mn(B)若 m,n,且 ,则 nm(C)若 m,n,且 mn,则 (D)若 m,n,且 m,n,则 解析:A 正确;对于选项 B,直线 m 和 n 可能平行,也可能相交,也可能异面,所以选项 B 错误;对于选项 C, 和 也可能平行,C 不正确;对于选项 D, 和 可能不平行,是相交的关系.故选 A.3.(2017全国卷)在正方体 ABCD A1B1C1D1中,E 为棱 CD 的中点,则( C )(A)A
3、1EDC 1 (B)A1EBD(C)A1EBC 1 (D)A1EAC解析:如图,由题意可知 A1E平面 A1B1CD,可以证明 BC1平面 A1B1CD,所以 A1EBC 1,故选 C.4.(2018长沙市名校实验班上学期第二次阶段性测试)已知四边形 ABCD 为边长等于 的5正方形,PA平面 ABCD,QCPA,且异面直线 QD 与 PA 所成的角为 30,则四棱锥 Q ABCD 外接球的表面积等于( B )(A) (B)25 (C) (D) 1256 1252解析:因为 PA平面 ABCD,QCPA,所以 QC平面 ABCD,且异面直线 QD 与 PA 所成的角即DQC,所以DQC=30,
4、又 CD= ,52所以 QC= .由于 CB,CQ,CD 两两垂直,所以四棱锥 Q ABCD 的外接球的直径就是以 CB,CQ,CD 为棱的长方体的体对角线,设四棱锥 Q ABCD 外接球的半径为 R,则 R= ,52所以外接球的表面积为 4（ ） 2=25.故选 B.525.(2018温州模拟)如图,四棱柱 ABCD A1B1C1D1中,E,F 分别是 AB1,BC1的中点.下列结论中,正确的是( B )(A)EFBB 1 (B)EF平面 ACC1A1(C)EFBD (D)EF平面 BCC1B1解析:取 BB1的中点 M,连接 ME,MF,延长 ME 交 AA1于 P,延长 MF 交 CC1
5、于 Q,因为 E,F 分别是AB1,BC1的中点,所以 P 是 AA1的中点,Q 是 CC1的中点,从而可得 E 是 MP 的中点,F 是 MQ 的中点,所以 EFPQ,又 PQ平面 ACC1A1,EF平面 ACC1A1,所以 EF平面 ACC1A1,故选 B.二、填空题6.如图所示,在底面为正方形的四棱锥 P ABCD 中,PA=PB=PC=PD=AB=2,点 E 为棱 PA 的中点,则异面直线 BE 与 PD 所成角的余弦值为 . 解析:取 AD 的中点 F,连接 EF,BF,则 EFPD,所以BEF 就是异面直线 BE 与 PD 所成的角或补角.在三角形 BEF 中,BF= ,EF=1,
6、BE= ,3由余弦定理得 cosBEF=- ,所以 BE 与 PD 所成角的余弦值为 .答案:37.(2018泉州模拟)如图,一张 A4 纸的长宽之比为 ,E,F 分别为 AD,BC 的中点.现分别将2ABE,CDF 沿 BE,DF 折起,且 A,C 在平面 BFDE 同侧,下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号) A,G,H,C 四点共面;当平面 ABE平面 CDF 时,AC平面 BFDE;当 A,C 重合于点 P 时,平面 PDE平面 PBF;当 A,C 重合于点 P 时,设平面 PBE平面 PDF=l,则 l平面 BFDE.解析:在ABE 中,tanABE= ,在ACD 中,tan
7、CAD= ,所以ABE=DAC,所以 ACBE,同理 ACDF,则折叠后,BE平面 AGH,DF平面 CHG,又 DFBE,平面 AGH 与平面 CHG 有公共点,则平面 AGH 与平面 CHG 重合,即 A,C,G,H 四点共面;由可知,平面 ABE平面 AGHC=AG,平面 CDF平面 AGHC=CH,当平面 ABE平面 CDF 时,得到 AGCH,显然 AG=CH,所以四边形 AGHC 是平行四边形,所以 ACGH,又 AC平面BFDE,GH平面 BFDE,所以 AC平面 BFDE;设 PE=DE=1,则 PD= ,所以 PEDE,则 PEBF,又 PEPB,BFPB=B, 所以 PE平
8、面 PBF,2则平面 PDE平面 PBF;由 BEDF,BE平面 PBE,DF平面 PBE,所以 DF平面 PBE,平面 PDF平面 PBE=l,则 lDF,l平面 BEDF,l平面 BEDF.答案:三、解答题8.如图,在正三棱柱 ABC A1B1C1中,已知 D,E 分别为 BC,B1C1的中点,点 F 在棱 CC1上,且EFC 1D.求证: (1)直线 A1E平面 ADC1;(2)直线 EF平面 ADC1.证明:(1)连接 ED,因为 D,E 分别为 BC,B1C1的中点,所以 B1EBD 且 B1E=BD,所以四边形 B1BDE 是平行四边形,所以 BB1DE 且 BB1=DE,4又 B
9、B1AA 1且 BB1=AA1,所以 AA1DE 且 AA1=DE,所以四边形 AA1ED 是平行四边形,所以 A1EAD,又因为 A1E平面 ADC1,AD平面 ADC1,所以直线 A1E平面 ADC1.(2)在正三棱柱 ABC A1B1C1中,BB 1平面 ABC,又 AD平面 ABC,所以 ADBB 1,又ABC 是正三角形,且 D 为 BC 的中点,所以 ADBC,又 BB1,BC平面 B1BCC1,BB1BC=B,所以 AD平面 B1BCC1,又 EF平面 B1BCC1,所以 ADEF,又 EFC 1D,C1D,AD平面 ADC1,C1DAD=D,所以直线 EF平面 ADC1.9.如
10、图,在直角梯形 ABCP 中,CPAB,CPCB,AB=BC= CP=2,D 是 CP 的中点,将PAD 沿 AD12折起,使得 PD平面 ABCD.(1)求证:平面 PAD平面 PCD.(2)若 E 是 PC 的中点,求三棱锥 A PEB 的体积.(1)证明:因为 PD底面 ABCD,所以 PDAD.又由于 CDAB,CDCB,AB=DC,所以四边形 ABCD 是正方形,所以 ADCD,又 PDCD=D,故 AD平面 PCD.因为 AD平面 PAD,所以平面 PAD平面 PCD.(2)解:因为 ADBC,又 BC平面 PBC,AD平面 PBC.所以 AD平面 PBC,所以点 A 到平面 PB
11、C 的距离即为点 D 到平面 PBC 的距离.又因为 PD=DC,E 是 PC 的中点,所以 DEPC.由(1)知有 AD平面 PCD,所以 ADDE.由题意得 ADBC,故 BCDE.于是,由 BCPC=C,可得 DE平面 PBC,所以 DE= ,PC=2 .2 2又因为 AD平面 PCD,所以 ADCP.因为 ADBC,所以 CPBC.5所以 SPEB = SPBC = （ BCPC）= .12 12 12 2所以 = = DESPEB = .13 2310.如图,在三棱柱 ABC A1B1C1中,AA 1平面 ABC,底面三角形 ABC 是边长为 2 的等边三角形,D 为 AB 的中点.
12、(1)求证:BC 1平面 A1CD;(2)若直线 CA1与平面 A1ABB1所成的角为 30,求三棱柱 ABC A1B1C1的体积.(1)证明:连接 AC1交 A1C 于 E 点,连接 DE,因为 D,E 分别为 AB,AC1的中点,所以 DEBC 1.又 BC1平面 A1CD,DE平面 A1CD,所以 BC1平面 A1CD.(2)解:等边三角形 ABC 中,CDAB.因为 AA1平面 ABC,所以 AA1CD,且 ABAA 1=A,所以 CD平面 A1ABB1.则 CA1在平面 A1ABB1的射影为 DA1.故 CA1与平面 A1ABB1所成的角为CA 1D.在 RtA 1DC 中,CA 1D=30,CD= ,算得 DA1= =3.30所以 AA1= =2 .2所以 ABC A1B1C1的体积=SABC AA1= 2 2 =2 .三棱柱 11112 3 2 6
