1、1五 解析几何(A)1.(2018江西九江模拟)给定椭圆 C: + =1(ab0),称圆心在原点 O,半径为 的22222+2圆是椭圆 C的“准圆”.若椭圆 C的一个焦点为 F( ,0),其短轴上的一个端点到 F的距离2为 .(1)求椭圆 C的方程和其“准圆”方程;(2)点 P是椭圆 C的“准圆”上的一个动点,过点 P作直线 l1,l2,使得 l1,l2与椭圆 C都只有一个公共点,且 l1,l2分别交其“准圆”于点 M,N.当 P为“准圆”与 y轴正半轴的交点时,求 l1,l2的方程;求证:|MN|为定值.2.(2018武侯区校级模拟)已知椭圆 C的左右顶点分别为 A,B,A点坐标为(- ,0
2、),P为椭2圆 C上不同于 A,B的任意一点,且满足 kAPkBP=- .12(1)求椭圆 C的方程;(2)设 F为椭圆 C的右焦点,直线 PF与椭圆 C的另一交点为 Q,PQ的中点为 M,若|OM|=|QM|,求直线 PF的斜率.3.已知抛物线 C顶点为原点,其焦点 F(0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0的距离为 ,设 P为322直线 l上的点,过点 P作抛物线 C的两条切线 PA,PB,其中 A,B为切点.(1)求抛物线 C的方程;(2)当点 P(x0,y0)为直线 l上的定点时,求直线 AB的方程;(3)当点 P在直线 l上移动时,求|AF|BF|的最小值.4.(2018红桥区一
3、模)已知椭圆 C: + =1(ab0)的离心率为 ,椭圆 C与 y轴交于 A,B2222两点,且|AB|=2.(1)求椭圆 C的方程;(2)设点 P是椭圆 C上的一个动点,且点 P在 y轴的右侧.直线 PA,PB与直线 x=4分别交于 M,N两点.若以 MN为直径的圆与 x轴交于两点 E,F,求点 P横坐标的取值范围及|EF|的最大值.21.(1)解:由题意知 c= ,a= ,所以 b=1.2 3所以椭圆的方程为 +y2=1,“准圆”的方程为 x2+y2=4.(2)解:因为“准圆”x 2+y2=4与 y轴正半轴的交点为 P(0,2),设过点 P(0,2),且与椭圆有一个公共点的直线为 y=kx
4、+2,联立方程组 =+2,23+2=1,消去 y,得到(1+3k 2)x2+12kx+9=0,因为椭圆与 y=kx+2只有一个公共点,所以 =144k 2-49(1+3k2)=0,解得 k=1.所以 l1,l2的方程分别为 y=x+2,y=-x+2.证明:a.当 l1,l2中有一条无斜率时,不妨设 l1无斜率,因为 l1与椭圆只有一个公共点,则其方程为 x= 或 x=- .3 3当 l1的方程为 x= 时,此时 l1与准圆交于点( ,1),( ,-1),3 3 3此时经过点( ,1)(或( ,-1)且与椭圆只有一个公共点的直线是 y=1(或 y=-1),3 3即 l2为 y=1(或 y=-1)
5、,显然直线 l1,l2垂直;同理可证 l1方程为 x=- 时 ,直线 l1,l2垂直.3b.当 l1,l2都有斜率时,设点 P(x0,y0),其中 + =4,2020设经过点 P(x0,y0)与椭圆只有一个公共点的直线为 y=t(x-x0)+y0,联立方程组消去 y得到 x2+3tx+(y0-tx0)2-3=0,即(1+3t 2)x2+6t(y0-tx0)x+3(y0-tx0)2-3=0,=6t(y 0-tx0)2-4(1+3t2)3(y0-tx0)2-3=0,经过化简得到(3- )t2+2x0y0t+1- =0,20 20因为 + =4,2020所以有(3- )t2+2x0y0t+( -3)
6、=0,20 20设 l1,l2的斜率分别为 t1,t2,因为 l1,l2与椭圆都只有一个公共点,所以 t1,t2满足上述方程(3- )t2+2x0y0t+( -3)=0,20 203所以 t1t2= =-1,203320即 l1,l2垂直.综合 a和 b知 l1,l2垂直,因为 l1,l2经过点 P(x0,y0),又分别交其“准圆”于点 M,N,且 l1,l2垂直,所以线段 MN为“准圆”x 2+y2=4的直径,所以|MN|=4.2.解:(1)设 P(x,y)(x ),2所以 kAPkBP=- ,所以 =- ,12 12整理得 +y2=1(x ),2因为 A,B两点在椭圆上,所以椭圆 C的方程
7、为 +y2=1.(2)由题可知,斜率一定存在且 k0,设过焦点 F的直线方程为 x=my+1,P(x1,y1),Q(x2,y2),M(x0,y0),联立 则(m 2+2)y2+2my-1=0,22+2=1,=+1,所以 所以0= 22+2,0= 2+2,所以|OM|= ,而|QM|= |PQ|12= 12 (1+)2 42(2+2)2+4(2+2)(2+2)2= 12 (2+1)(82+8)(2+2)2= .2+12+2因为|OM|=|QM|,4所以 = ,22+12+2所以 m2= ,所以 k2=2,所以 k= .12 2因此,直线 PF的斜率为 .23.解:(1)因为抛物线 C的焦点 F(
8、0,c)(c0)到直线 l:x-y-2=0的距离为 ,322所以 = ,322得 c=1,所以 F(0,1),即抛物线 C的方程为 x2=4y.(2)设切点 A(x1,y1),B(x2,y2),由 x2=4y得 y= x,12所以切线 PA:y-y1= x1(x-x1),12有 y= x1x- +y1,12 1221而 =4y1,21即切线 PA:y= x1x-y1,12同理可得切线 PB:y= x2x-y2.12因为两切线均过定点 P(x0,y0),所以 y0= x1x0-y1,y0= x2x0-y2,12 12由此两式知点 A,B均在直线 y0= xx0-y上,12所以直线 AB的方程为
9、y0= xx0-y,12即 y= x0x-y0.12(3)设点 P的坐标为(x,y),由 x-y-2=0,得 x=y+2,则|AF|BF|= 21+(11)2 22+(21)2= 41+(11)2 42+(21)2= 5=(y1+1)(y2+1)=y1y2+(y1+y2)+1.由得 y2+(2y-x 2)y+y 2=0,有 y1+y2=x 2-2y,y 1y2=y 2,所以|AF|BF|=y 2+x 2-2y+1=y 2+(y+2) 2-2y+1=2(y+ )2+ ,12 92当 y=- ,x= 时,12 32即 P( ,- )时,|AF|BF|取得最小值 .32 12 924.解:(1)由题意可得,2b=2,即 b=1,e= = ,得 = , 212 34解得 a2=4,椭圆 C的标准方程为 +y2=1.(2)法一 设 P(x0,y0)(00,解得 x0( ,2.85则|x 1-x2|=2 ( 0,解得 x0( ,2.85该圆的直径为| -1- +1 |=|2- |,圆心到 x轴的距离为| -1+ +1|=| |,12 4(01)0该圆在 x轴上截得的弦长为 2 =2 ( x02),(140) 2(400) 2 58085所以该圆被 x轴截得的弦长最大值为 2.
