1、1第 17 章 一元一次方程章末小结与提升一元二次方程的概念 概念:只含有 一个 未知数,并且未知数的最高次数是 2 的 整式 方程,叫做一元二次方程 一般形式: ax2+bx+c=0 (a,b,c是常数,且 a 0 ) 一元二次方程的解法 配方法 公式法:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a 0)的求根公式是x= -bb2-4ac2a (b2-4ac 0) 因式分解法 一元二次方程根的判别式 当 0时 一元二次方程有两个不相等的实数根 当 =0时 一元二次方程有两个相等的实数根 当 0时 一元二次方程没有实数根 一元二次方程根与系数的关系:若 x1,x2是方程 ax2+bx+c=0(a 0
2、)的两个根,则 x1+x2= -ba ,x1x2= ca 一元二次方程的应用:审、设、 列 、 解 、 验 、答 类型 1 一元二次方程的概念典例 1 若方程( m+2)x|m|+3mx-1=0 是关于 x 的一元二次方程,则 m 的值为 ( )A.2 B.2C.-2 D.1【解析】由一元二次方程的概念知, |m|=2 且 m+20,解得 m=2.【答案】 B【针对训练】1.下列方程中,一定是一元二次方程的有 (B) 3x2+5=0;ax 2+bx+c=0; (x-2)(x+3)=0;x 2- =0.1xA.1 个 B.2 个C.3 个 D.4 个2.若关于 x 的一元二次方程( m-2)x2
3、+3x+m2+m-6=0 的常数项为 0,则 m 的值为 (C)2A.0 B.2C.-3 D.2 或 -3类型 2 一元二次方程的解法1.方程 x(x-2)=2-x 的解为 (C)A.x=-1 B.x=2C.x=-1 或 x=2 D.x=1 或 x=22.解下列方程:(1)2x2- x=2;43解: x1= ,x2= .1+ 103 1- 103(2)2x2+1=2 x.5解: x1= ,x2= .5+ 32 5- 32类型 3 一元二次方程根的判别式典例 2 若 5k+200,则关于 x 的一元二次方程 x2+4x-k=0 的根的情况是 ( )A.没有实数根B.有两个相等的实数根C.有两个不
4、相等的实数根D.无法判断【解析】 = 16+4k= (5k+20), 5k+200, 0, 方程没有实数根 .45【答案】 A【针对训练】1.一元二次方程 x2-ax+1=0 有两个相等的实数根,则 a 的值为 (B)A.0 B.2 或 -2C.2 D.2 或 02.若关于 x 的一元二次方程( m-2)x2+8x+6=0 有实数根,则满足条件的正整数 m 的值是 1或 3 或 4 . 类型 4 一元二次方程根与系数的关系1.已知 , 是关于 x 的一元二次方程 x2+(2m+3)x+m2=0 的两个不相等的实数根,且满足=-1,则 m 的值是 3 . 1 +132.(南充中考)已知关于 x
5、的一元二次方程 x2-(2m-2)x+(m2-2m)=0 的两实数根为 x1,x2,且=10,求 m 的值 .x21+x22解:由一元二次方程根与系数的关系得 x1+x2=2m-2,x1x2=m2-2m. =10, (x1+x2)2-2x1x2=10,x21+x22 (2m-2)2-2(m2-2m)=10,解得 m1=3,m2=-1,m 的值为 3 或 -1.类型 5 一元二次方程的应用典例 3 (眉山中考)东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次,第一档次(即最低档次)的产品每天生产 76 件,每件利润 10 元 .调查表明:生产提高一个档次的蛋糕产品,该产品每件利润增加 2 元 .(1)若生
6、产的某批次蛋糕每件利润为 14 元,此批次蛋糕属第几档次产品?(2)由于生产工序不同,蛋糕产品每提高一个档次,一天产量会减少 4 件 .若生产的某档次产品一天的总利润为 1080 元,该烘焙店生产的是第几档次的产品?【解析】(1)设此批次蛋糕属第 x 档次产品,则 10+2(x-1)=14,解得 x=3.答:此批次蛋糕属第三档次产品 .(2)设该烘焙店生产的是第 x 档次的产品,根据题意,得10 +2(x-1)76-4(x-1)=1080,解得 x1=5,x2=11(舍去) .答:该烘焙店生产的是第五档次的产品 .【针对训练】1.有一人患了流感,经过两轮传染后共有 64 人患了流感 .(1)求
7、每轮传染中平均一个人传染了几个人?(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?解:每轮传染中平均一个人传染了 x 个人,根据题意得1+x+x(1+x)=64,解得 x1=7,x2=-9(不合题意,舍去),答:每轮传染中平均一个人传染了 7 个人 .(2)647=448(人) .答:如果不及时控制,第三轮将又有 448 人被传染 .42.安徽省长丰县素有“中国草莓之乡”的美誉 .该县某草莓种植户 2018 年种植的草莓亩产量比 2016 年增加了 20%,销售单价比 2016 年也增加了,结果发现每亩草莓的销售额比 2016年增加了 45.2%,求 2016 年至 2018 年这两年草莓销售
8、单价的年平均增长率 .解:设 2016 年至 2018 年草莓单价的年平均增长率为 x,根据题意得(1 +20%)(1+x)2=1+45.2%,解得 x1=0.1=10%,x2=-2.1(不合题意,舍去) .答:2016 年至 2018 年这两年草莓销售单价的年平均增长率为 10%.3.某宾馆有 50 个房间供游客居住,当每个房间每天的定价为 180 元时,房间会全部住满;当每个房间每天的定价每增加 10 元时,就会有一个房间空闲 .如果游客居住房间,宾馆需对每个房间每天支出 20 元的各种费用 .(1)若每个房间定价增加 40 元,则这个宾馆这一天的利润为多少元?(2)若宾馆某一天获利 10640 元,则房价定为多少元?(3)房价定为多少时,宾馆的利润最大?解:(1)若每个房间定价增加 40 元,则这个宾馆这一天的利润为(180 +40-20) =9200 元 .(50-4010)(2)设每个房间的定价为 a 元 .根据题意,得( a-20) =10640,解得 a=300 或 a=400.(50-a-18010)答:房价定为 300 元或 400 元 .(3)设房价增加 x 元时,利润为 w.w=(180-20+x) =- (x-170)2+10890.(50-x10) 110因而当 x=170 时,即房价是 350 元时,利润最大 .
