1、1专题一 平面向量、三角函数与解三角形全国卷 3 年考情分析第一讲 小题考法平面向量考点(一) 向量的线性运算与有关定理主要考查平面向量的线性运算以及向量共线、平面向量基本定理的应用.典例感悟典例 (1)(2018福州模拟)如图，在直角梯形 ABCD 中， DC 14， 2 ，且 r s ，则 2r3 s( )AB BE EC AE AB AD A1 B2C3 D4(2)(2019 届高三开封模拟)已知平面向量 a，b，c，a(1,1)，b(2,3)，c(2， k)，若(ab)c，则实数 k_.解析 (1)法一：根据图形，由题意可得 ( ) ( )AE AB BE AB 23BC AB 23
2、BA AD DC 13AB 23 AD DC 2 .因为 r s ，所以 r ， s ，则13AB 23 12AB 23 AD AE AB AD 12 232r3 s123，故选 C.法二：如图所示，建立平面直角坐标系 xAy，依题意可设点B(4m,0)， D(3m,3h)， E(4m,2h)，其中 m0， h0.由 r s ，得(4 m,2h) r(4m,0) s(3m,3h)，AE AB AD 所以Error! 解得Error!所以 2r3 s123，选 C.(2)由题意，得 ab(1,4)，由(ab)c，得 1k4(2)，解得 k8.答案 (1)C (2)8方法技巧解决平面向量问题的常用
3、 3 种方法几何法求解有关平面向量的问题时，若能灵活利用平面向量加、减法运算及其几何意义进行分析，则有利于问题的顺利获解建系法处理有关平面图形的向量问题时，若能灵活建立平面直角坐标系，则可借助向量的坐标运算巧解题，这也体现了向量的代数化手段的重要性基底法求解有关平面向量的问题时，若能灵活地选取基底，则有利于问题的快速获解理论依据：适当选取一组基底 e1，e 2，利用平面向量基本定理及相关向量知识，可将原问题转化为关于 e1，e 2的代数运算问题演练冲关1(2018合肥二模)如图，在 OAB 中， P 为线段 AB 上的一点， x y ，且 2 ，则( )OP OA OB BP PA A x ，
4、 y B x ， y23 13 13 23C x ， y D x ， y14 34 34 14解析：选 A 由题意知 ，又 2 ，所以OP OB BP BP PA 23BA ( ) ，所以 x ， y .OP OB 23BA OB 23 OA OB 23OA 13OB 23 132(2018西安高级中学三模)在 ABC 中， 2 ， 3 ，连接AE EB AF FC BF， CE，且 BF CE M， x y ，则 x y 等于( )AM AE AF 3A B.112 112C D.16 16解析：选 C 因为 2 ，所以 ，所以 x y xAE EB AE 23AB AM AE AF 23
5、y .由 B， M， F 三点共线得 x y1.AB AF 23因为 3 ，所以 ，所以 x y x y .由AF FC AF 34AC AM AE AF AE 34 AC C， M， E 三点共线得 x y1.34联立解得Error!所以 x y ，故选 C.12 23 163已知 A(1,2)， B(a1,3)， C(2， a1)， D(2,2a1)，若向量 与 平行AB CD 且同向，则实数 a 的值为_解析：法一：由已知得 ( a,1)， (4， a)，因为 与 平行且同向，故AB CD AB CD 可设 ( 0)，则( a,1) (4， a)，所以Error!解得Error!故所求实
6、数 a2.AB CD 法二：由已知得 ( a,1)， (4， a)，由 ，得 a240，解得AB CD AB CD a2.又向量 与 同向，易知 a2 不符合题意故所求实数 a2.AB CD 答案：2考点(二) 平面向量的数量积及应用 主要考查数量积、夹角以及向量模的计算或用数量积解决最值范围问题.典例感悟典例 (1)(2018南宁、柳州联考)已知单位向量 a，b 满足|ab|ab|，则 a与 ba 的夹角是( )A. B. 6 3C. D. 4 34(2)(2018福州四校联考)已知向量 a，b 为单位向量，且 ab ，向量 c 与 ab124共线，则|ac|的最小值为( )A1 B.12C
7、. D.34 32(3)(2017全国卷)已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则( )的最小值是( )PA PB PC A2 B32C D143解析 (1)因为|ab|ab|，所以(ab) 2(ab) 2，整理得ab0.在平面直角坐标系中作出 a，b，ba，如图，易知 a 与 ba 的夹角是 ，故选34D.(2)法一：向量 c 与 ab 共线，可设 c t(ab)( tR)，ac( t1)a tb，(ac) 2( t1) 2a22 t(t1)ab t2b2，向量 a，b 为单位向量，且ab ，(ac) 2( t1) 2 t(t1)12 t2 t2 t1 2
8、，|ac| ，|a c|的最小值为 ，故选 D.(t12) 34 34 32 32法二：向量 a，b 为单位向量，且 ab ，向量 a，b 的夹角为 120，在平面12直角坐标系中，不妨设向量 a(1,0)，b ，则 ab .向量 c 与 ab(12， 32) (12， 32)共线，可设 c t (tR)，ac ，|ac| (12， 32) (1 t2， 32t) (1 t2)2 3t24 ，|ac|的最小值为 ，故选 D.t2 t 132 32(3)如图，以等边三角形 ABC 的底边 BC 所在直线为 x 轴，以 BC 的垂直平分线为 y 轴建立平面直角坐标系，则 A(0， )， B(1,0
9、)， C(1,0)，3设 P(x， y)，则 ( x, y)， ( 1 x， y)，PA 3 PB (1 x， y)，所以 ( )( x， y)(2 x，2 y)2 x22PC PA PB PC 352 ，故当 x0， y 时， ( )取得最小值，为 .(y32) 32 32 PA PB PC 32答案 (1)D (2)D (3)B方法技巧解决以平面图形为载体的向量数量积问题的方法(1)选择平面图形中模与夹角确定的向量作为一组基底，用该基底表示构成数量积的两个向量，结合向量数量积运算律求解(2)若已知图形中有明显的适合建立直角坐标系的条件，可建立直角坐标系将向量数量积运算转化为代数运算来解决演
10、练冲关1(2018昆明模拟)已知向量 a(1,2)，b(1,3)，则|2ab|( )A. B22C. D1010解析：选 C 由已知，易得 2ab2(1,2)(1,3)(3,1)，所以|2ab| .故选 C. 3 2 12 102(2018全国卷)已知向量 a，b 满足|a|1，ab1，则 a(2ab)( )A4 B3C2 D0解析：选 B a(2ab)2a 2ab2|a| 2ab.|a|1，ab1，原式21 213.3(2018陕西宝鸡一模)在等腰直角三角形 ABC 中， ABC90，AB BC2， M， N(不与 A， C 重合)为 AC 边上的两个动点，且满足| | ，则 MN 2 BM
11、 的取值范围为( )BN A. B.32， 2 (32， 2)C. D.32， 2) 32， )解析：选 C 以等腰直角三角形 ABC 的直角边所在直线为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0,0)，直线 AC 的方程为 x y2.设 M(a,2 a)，则 0 .而当 a12与 b 共线时，有21 ，解得 2，即当 2 时，ab，a 与 b 反向共线，此时 a 与 b 的夹角为 ，不是钝角，因此，当 a 与 b 的夹角为钝角时， 的取值范围是(2， )(12， 2)答案： (2，)(12， 2)课 时 跟 踪 检 测 A 级124 提速练一、选择题1(2018贵州模拟)已知向量 a(
12、1,2)，b( m，1)，若 ab，则实数 m 的值为( )A. B12 12C3 D3解析：选 B 由题意，得 1(1)2 m0，解得 m ，故选 B.122(2018福州模拟)已知 a(1,2)，b(1,1)，c2ab，则|c|( )A. B326 2C. D.10 6解析：选 B 因为 c2ab2(1,2)(1,1)(3,3)，所以|c| 3 .故选 B.32 32 23(2019 届高三广西五校联考)设 D 是 ABC 所在平面内一点， 2 ，则( )AB DC A B BD AC 32AB BD 32AC AB C D BD 12AC AB BD AC 12AB 9解析：选 A .B
13、D BC CD BC DC AC AB 12AB AC 32AB 4(2018云南调研)在 ABCD 中， 8， 6， N 为 DC 的中点，|AB| |AD| 2 ，则 ( )BM MC AM NM A48 B36C24 D12解析：选 C ( )( ) 2AM NM AB BM NC CM 12AB 292 82 6224.AD 12 295已知点 A(1,1)， B(1,2)， C(2，1)， D(3,4)，则向量 在 方向上的投CD AB 影是( )A. B322 322C3 D35 5解析：选 C 依题意得， (2,1)， (5,5)， (2,1)(5,5)AB CD AB CD 1
14、5，| | ，因此向量 在 方向上的投影是 3 .AB 5 CD AB 155 56(2019 届高三湖南五市十校联考) ABC 是边长为 2 的等边三角形，向量 a，b 满足 2a， 2ab，则向量 a，b 的夹角为( )AB AC A30 B60C120 D150解析：选 C 2ab2ab，则向量 a，b 的夹角即为向量 与BC AC AB AB 的夹角，故向量 a，b 的夹角为 120.BC 7(2018西工大附中四模)已知 ABC 的内角 A， B， C 所对的边分别是 a， b， c，点G 在 ABC 内，且满足 0， 0，若 a2 b2 c2( R)，GA GB GC GA GB
15、则 ( )A5 B2C2 D5解析：选 D 设 BC 的中点为 D，连接 GD(图略)，则 2 .GB GC GD 又 0，所以 2 ，GA GB GC GD AG 10所以 A， G， D 三点共线，且 AG2 GD.故 ( ) ( )AG 23AD 23 12 AB AC 13 AB AC 同理可得 BG ( )13 BA BC 由 0，得 ( )( )0，GA GB 19 AB AC BA BC 所以( )( 2 )0，AB AC AC AB 即| |22| |2 0，AC AB AB AC 所以 b22 c2 bc 0，b2 c2 a22bc化简得 a2 b25 c2.又 a2 b2
16、c 2( R)，所以 5.故选 D.8已知 ABC 为等边三角形， AB2，设点 P， Q 满足 ， (1 )AP AB AQ ， R，若 ，则 ( )AC BQ CP 32A. B.12 122C. D.1102 3222解析：选 A 以点 A 为坐标原点， AB 所在的直线为 x 轴，过点A 且垂直于 AB 的直线为 y 轴，建立平面直角坐标系，则 A(0,0)，B(2,0)， C(1， )， (2,0)， (1， )，又 3 AB AC 3 AP ， (1 ) ， P(2 ，0)， Q(1 ， (1 )，AB AQ AC 3 (1 ， (1 )(2 1， ) ，化简得BQ CP 3 3
17、324 24 10， .129(2018西安八十三中二模)称 d(a，b)|ab|为两个向量 a，b 间的“距离” 若向量 a，b 满足：|b|1；ab；对任意 tR，恒有 d(a， tb) d(a，b)，则( )Aab Ba(ab)Cb(ab) D(ab)(ab)解析：选 C 由 d(a， tb) d(a，b)，可知|a tb|ab|，所以(a tb)2(ab)2，又|b|1，所以 t22(ab) t2(ab)10.因为上式对任意 tR 恒成立，所以11 4(ab) 242( ab)10，即(ab1) 20，所以 ab1.于是 b(ab)ab|b| 211 20，所以 b(ab)故选 C.1
18、0(2018河南林州检测)已知 ABC 的外接圆的圆心为 O，满足： m nCO CA ,4m3 n2，且| |4 ，| |6，则 ( )CB CA 3 CB CA CB A36 B24C24 D123 3解析：选 A m 2 n ，因为 O 为 ABC 的外心，所以CO CA CA CA CB 122 m 2 n| | |cos BCA，所以 2448 m24 ncos BCA，因为CA CA CA CB 34m3 n2，所以 2412(23 n)24 ncos BCA，又 n0，即 cos BCA ，所以332 | | |cos BCA4 6 36.CA CB CA CB 3 3211设
19、e1，e 2，e 3为单位向量，且 e3 e1 ke2(k0)，若以向量 e1，e 2为两边的三角12形的面积为 ，则 k 的值为( )12A. B.32 22C. D.52 72解析：选 A 设 e1，e 2的夹角为 ，则由以向量 e1，e 2为两边的三角形的面积为 ，12得 11sin ，得 sin 1，所以 90，所以 e1e20.从而将12 12e3 e1 ke2两边平方得 1 k2，解得 k 或 k (舍去)12 14 32 3212.如图所示，点 A， B， C 是圆 O 上的三点，线段 OC 与线段 AB 交于圆内一点 M，若 m n (m0， n0)， m n2，则OC OA
20、OB AOB 的最小值为( )A. B. 6 3C. D. 2 23解析：选 D 将 m n 平方得 1 m2 n22 mncos AOB，OC OA OB 12cos AOB 1 (当且仅当 m n1 时等1 m2 n22mn 1 m n 2 2mn2mn 32mn 12号成立)，00， n0， O 为坐标原点，则点 P 的轨迹的长度为( )m2m2 2n2OA 2nm2 n2OB A. B.12 22C. D. 2 22解析：选 D 设 P(x， y)，因为 (2,0)， (0,1)， OA OB OP m2m2 2n2OA ，所以 x ， y (其中 m， n0)，2nm2 n2OB (
21、 2m2m2 2n2， 2n2m2 2n2) 2m2m2 2n2 2n2m2 2n2所以 x2 y22(其中 x， y0)，则点 P 的轨迹的长度为 2 .14 2 224(2018重庆模拟)已知 Rt ABC 中， AB3， BC4， AC5， I 是 ABC 的内心， P是 IBC 内部(不含边界)的动点，若 ( ， R)，则 的取AP AB AC 值范围是( )A. B.(23， 1) (23， 2)C. D(2,3)(712， 1)解析：选 A 以 B 为原点， BA， BC 所在直线分别为 x， y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(0,0)， A(3,0)， C(0,4)设
22、ABC 的内切圆的半径为 r，因为 I 是 ABC 的内心，所以(534) r43，解得r1，所以 I(1,1)设 P(x， y)，因为点 P 在 IBC 内部(不含边界)，所以 00， | |0，函数 ycos 的图象向右平移 个单位长度( x 3) 3后与函数 ysin x 的图象重合，则 的最小值为( )A. B.112 52C. D.12 32解析 (1)易知 C1： ycos xsin ，把曲线 C1上的各点的横坐标缩短到原来(x 2)的 倍，纵坐标不变，得到函数 ysin 的图象，再把所得函数的图象向左平移12 (2x 2)个单位长度，可得函数 ysin sin 的图象，即曲线 C
23、2.12 2(x 12) 2 (2x 23)(2)由函数图象可知， A2，又函数 f(x)的图象过点(0， )，所以 2sin ，即3 317sin ，由于| |0，所以当 k1 时， 取得最小值 ，故选 B.52答案 (1)D (2)B (3)B方法技巧1函数表达式 y Asin(x ) B 的确定方法字母 确定途径 说明A 由最值确定 A最 大 值 最 小 值2B 由最值确定 B最 大 值 最 小 值2由函数的周期确定相邻的最高点与最低点的横坐标之差的绝对值为半个周期，最高点(或最低点)的横坐标与相邻零点之差的绝对值为 个周期， 14 2T由图象上的特殊点确定一般把第一个零点作为突破口，可
24、以从图象的升降找准第一个零点的位置，利用待定系数法并结合图象列方程或方程组求解2三角函数图象平移问题处理的“三看”策略18演练冲关1(2018陕西模拟)为了得到函数 ysin 的图象，只需把函数 ysin 2x(2x 3)的图象( )A向左平移 个单位长度 B向右平移 个单位长度 3 3C向左平移 个单位长度 D向右平移 个单位长度 6 6解析：选 D 函数 ysin 2x 的图象向右平移 个单位长度，可得到函数 ysin 6sin 的图象故选 D.2(x 6) (2x 3)2(2018广州模拟)将函数 y2sin sin 的图象向左平移 ( 0)个单(x 3) ( 6 x)位长度，所得图象对
25、应的函数恰为奇函数，则 的最小值为( )A. B. 6 12C. D. 4 3解析：选 A 由 y2sin sin 可得 y2sin cos sin(x 3) ( 6 x) (x 3) (x 3)，该函数的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数解析式为 g(x)(2x23)sin sin ，因为 g(x)sin 为奇函数，2 x 23 (2x 2 23) (2x 2 23)所以 2 k( kZ)， (kZ)，又 0，故 的最小值为 ，故选 A.23 k2 3 63.函数 f(x)4sin( x )的部分图象如图所示，则 f(16)的( 0， | |0，所以 ，当 x2T2 2T 8时，
26、 f(x)0，则 (2) k， kZ，所以 k ， kZ.又| |0， 0，0)x1， x2 a， b，若 f(x1) f(x2)，有 f(x1 x2) ，则( )3A f(x)在 上是减函数(512， 12)B f(x)在 上是增函数(512， 12)C f(x)在 上是减函数( 3， 56)D f(x)在 上是增函数( 3， 56)解析 (1)根据函数解析式可知函数 f(x)的最小正周期为 2，所以函数的一个周期为2，A 正确；当 x 时， x 3，83 3所以 cos 1，所以 B 正确；(x 3)f(x)cos cos ，(x 3) (x 43)当 x 时， x ，所以 f(x)0，所
27、以 C 正确； 6 43 32函数 f(x)cos 在 上单调递减，在 上单调递增，故 D 不正(x 3) ( 2， 23) (23， )确(2)法一： f(x)cos xsin x sin ，当 x ，即 x 2 (x 4) 4， 34 421时， ysin 单调递增，则 f(x) sin 单调递减 2， 2 (x 4) 2 (x 4)函数 f(x)在 a， a是减函数， a， a ，00)的单调区间时，令 x z，得 y Asin z(或 y Acos z)，然后由复合函数的单调性求得(2)图象法：画出三角函数的图象，结合图象求其单调区间222判断对称中心与对称轴的方法利用函数 y Asi
28、n(x )的对称轴一定经过图象的最高点或最低点，对称中心一定是函数的零点这一性质，通过检验 f(x0)的值进行判断3求三角函数周期的常用结论(1)y Asin(x )和 y Acos(x )的最小正周期为 ， ytan 的2| | ( x )最小正周期为 .| |(2)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是 个周期，相邻12的对称中心与对称轴之间的距离是 个周期；正切曲线相邻两对称中心之间的距离是 个周14 12期演练冲关1(2018全国卷)已知函数 f(x)2cos 2xsin 2x2，则( )A f(x)的最小正周期为 ，最大值为 3B f(x)的最小正周期为 ，最大值
29、为 4C f(x)的最小正周期为 2，最大值为 3D f(x)的最小正周期为 2，最大值为 4解析：选 B f(x)2cos 2xsin 2x21cos 2x 2 cos 1 cos 2x2 322x ， f(x)的最小正周期为 ，最大值为 4.故选 B.522(2018西安八校联考)已知函数 f(x)cos( x )(0 时， f( x)0， f(x)单调递增当 cos x ， f(x)有最小值又 f(x)2sin 12 12xsin 2x2sin x(1cos x)，当 sin x 时， f(x)有最小值，即 f(x)min232 .(32) (1 12) 332答案 (1)A (2)1
30、(3)332方法技巧求三角函数的值域(最值)的常见函数类型及方法三角函数类型 求值域(最值)方法y asin x bcos x c先化为 y Asin(x ) k 的形式，再求值域(最值)y asin2x bsin x c可先设 sin x t，化为关于 t 的二次函数，再求值域(最值)y asin xcos xb(sin xcos x) c可先设 tsin xcos x，化为关于 t 的二次函数，再求值域(最值)y asin 2x bsin x 求导，利用导数工具解决演练冲关1已知函数 y asin 2x cos 2x 的最大值为 2，则 a 的值为( )3A1 B1C1 D2 3解析：选
31、C 由条件知 a0，且 y asin 2x cos 2x sin(2x )，其中3 a2 3tan ，则 a234， a21， a1.3a2已知函数 f(x)(1 tan x)cos x,0 x 6)是 ，则 m 的取值范围是 _ 1， 3226解析：由 x ，可知 3 x 3 m ， f cos ，且 6， m 56 3 3 ( 6) 56 32f cos 1， 要使 f(x)的值域是 ，需要 3 m ，即(29) 1， 32 3 76 m .29 518答案： 29， 518必备知能自主补缺 依据学情课下看，针对自身补缺漏；临近高考再浏览，考前温故熟主干主干知识要记牢1三角函数的图象及常用
32、性质函数 ysin x ycos x ytan x图象单调性在 2 2k ， 2 2k (kZ)上单调递增；在 2 2k ， 32 2k (kZ)上单调递减在2 k，2 k(kZ)上单调递增；在2k，2 k(kZ)上单调递减在( 2 k ， 2 k )kZ)上单调递增对称性对称中心：( k，0)(kZ)；对称轴： x k( kZ) 2对称中心：(kZ)；( 2 k ， 0)对称轴： x k( kZ)对称中心：(kZ)(k2， 0)2三角函数的两种常见的图象变换(1)ysin x ysin( x ) 向 左 0 或 向 右 0， 0)(2)ysin x ysin xysin( x ) 向 左 0
33、 或 向 右 0， 0) 纵 坐 标 变 为 原 来 的 A倍 横 坐 标 不 变二级结论要用好1sin cos 0 的终边在直线 y x 上方(特殊地，当 在第二象限时有 sin cos 1)2sin cos 0 的终边在直线 y x 上方(特殊地，当 在第一象限时有 sin cos 1)易错易混要明了求 y Asin(x )的单调区间时，要注意 ， A 的符号 0， | |0)的图象向右平移 个单位1230长度得到函数 y g(x)的图象，并且函数 g(x)在区间 上单调递增，在区间 6， 3上单调递减，则实数 的值为( ) 3， 2A. B.74 32C2 D.54解析：选 C 因为将函
34、数 f(x)sin x ( 0)的图象向右平移 个单位长度得到函数12y g(x)的图象，所以 g(x)sin ，又函数 g(x)在区间 上单调递增，在 (x12) 6， 3区间 上单调递减，所以 g sin 1 且 ，所以Error!所以 2，故 3， 2 ( 3) 4 2 3选 C.9(2018合肥一模)将函数 ycos xsin x 的图象先向右平移 ( 0)个单位长度，再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的 a 倍，得到 ycos 2 xsin 2 x 的图象，则 ， a 的可能取值为( )A ， a2 B ， a2 2 38C ， a D ， a38 12 2 12解析：选 D 将
35、函数 ycos xsin x cos 的图象向右平移 ( 0)个单2 (x 4)位长度，可得 y cos 的图象，再将函数图象上每个点的横坐标变为原来的2 (x 4 )a 倍，得到 y cos 的图象，又 y cos cos 2xsin 2x2 (1ax 4 ) 2 (1ax 4 )cos ， 2， 2 k( kZ)， a ， 2 k( kN)，又2 (2x 4) 1a 4 4 12 2 0，结合选项知选 D.10(2018开封模拟)若存在正整数 和实数 使得函数 f(x)sin 2(x )的图象如图所示(图象经过点(1,0)，那么 的值为( )A1 B2C3 D4解析：选 B 由 f(x)sin 2(x ) 及其图象知，(1 cos 2 x 2 )2
