1、1课时跟踪检测（十） 立体几何 （大题练）A 卷大题保分练1.(2018洛阳模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中， E， F 分别是PC， PD 的中点，底面 ABCD 是边长为 2 的正方形， PA PD2，且平面PAD平面 ABCD.(1)求证：平面 AEF平面 PCD；(2)求平面 AEF 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值解：(1)证明：由题意知， PA PD AD， F 为 PD 的中点，可得 AF PD，平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD， CD平面 ABCD， CD AD， CD平面 PAD.又 AF平面 PAD， CD AF，又 CD PD D， A
2、F平面 PCD，又 AF平面 AEF，平面 AEF平面 PCD.(2)取 AD 的中点 O， BC 的中点 G，连接 OP， OG， PA PD AD， OP AD.平面 PAD平面 ABCD， OP平面 PAD， OP平面 ABCD.分别以 OA， OG， OP 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则 A(1,0,0)， C(1,2,0)， E ， F ， ，(12， 1， 32) ( 12， 0， 32) AF ( 32， 0， 32)(0,1,0)FE 设平面 AEF 的法向量为 m( x， y， z)，则 即Error!可取 m(1,0， )，为平面 A
3、EF 的一个法向量3同理，可得平面 ACE 的一个法向量为 n( ， ，1)3 3cosm，n .mn| m |n| 13 3127 217平面 AEF 与平面 ACE 所成锐二面角的余弦值为 .2172.(2018山西八校联考)如图，三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB90，CC1底面 ABC， AC BC CC12， D， E， F 分别是棱 AB， BC， B1C1的中点，G 是棱 BB1上的动点2(1)当 为何值时，平面 CDG平面 A1DE?BGBB1(2)求平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角的余弦值解：(1)当 ，即 G 为 BB1的中点时，平面 CDG平面 A1D
4、E.BGBB1 12证明如下：因为点 D， E 分别是 AB， BC 的中点，所以 DE AC 且 DE AC，12又 AC A1C1， AC A1C1，所以 DE A1C1， DE A1C1，12故 D， E， C1， A1四点共面如图，连接 C1E 交 GC 于 H.在正方形 CBB1C1中，tan C1EC2，tan BCG ，12故 CHE90，即 CG C1E.因为 A1C1平面 CBB1C1， CG平面CBB1C1，所以 DE CG，又 C1E DE E，所以 CG平面 A1DE，故平面 CDG平面 A1DE.(2)由(1)知，当 G 为 BB1的中点时，平面 A1DE 的一个法向
5、量为.三棱柱 ABCA1B1C1中， ACB90， CC1底面 ABC，所以以CG C 为原点， CA， CB， CC1所在的直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示因为 AC BC CC12， D， E， F 分别是棱 AB， BC， B1C1的中点，所以 C(0,0,0)， A1(2,0,2)， D(1,1,0)， E(0,1,0)， B(0,2,0)， F(0,1,2)， G(0,2,1)，(2,2，2)， (2,1,0)， (0,2,1)由 CD 知 为平面 A1DE 的一A1B A1F CG CG 个法向量设平面 A1BF 的法向量为 n( x， y， z)
6、，则 即Error!令 x1 得 n(1,2,1)，为平面 A1BF 的一个法向量设平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角为 ，则 cos ，530 306所以平面 A1BF 与平面 A1DE 所成的锐二面角的余弦值为 .30633如图，在矩形 ABCD 中， AB4， AD2， E 是 CD 的中点，将 ADE 沿 AE 折起，得到如图所示的四棱锥 D1ABCE，其中平面 D1AE平面 ABCE.(1)设 F 为 CD1的中点，试在 AB 上找一点 M，使得 MF平面 D1AE；(2)求直线 BD1与平面 CD1E 所成的角的正弦值解：(1)如图，取 D1E 的中点，记为 L，连接
7、 AL， FL，则FL EC，又 EC AB， FL AB，且 FL AB，14 M， F， L， A 四点共面，且平面 D1AE平面 AMFL AL，若 MF平面 D1AE，则 MF AL，四边形 AMFL 为平行四边形， AM FL AB.14(2)取 AE 的中点 O，过点 O 作 OG AB 于 G， OH BC 于 H，连接OD1. AD1 D1E， D1O AE， D1O平面ABCE， D1O OG， D1O OH，又易得 OG OH，故 OG， OH， OD1两两垂直，以 O 为坐标原点， OG， OH， OD1为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，如图所示则 B(1
8、,3,0)， C(1,3,0)， E(1,1,0)， D1(0,0， )2故 (1，3， )， (1，3， )， (0，2,0)BD1 2 CD1 2 CE 设平面 CD1E 的一个法向量为 m( x， y， z)，则 即Error!取 x ，得 m( ，0，1)2 2设直线 BD1与平面 CD1E 所成的角为 ，则 sin |cosm， | .BD1 | 22|312 23即直线 BD1与平面 CD1E 所成的角的正弦值为 .234.如图，在多面体 ABCDEF 中，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， 4 BAD60，四边形 BDEF 是矩形，平面 BDEF平面 ABCD， BF3， H
9、 是 CF 的中点(1)求证： AC平面 BDEF；(2)求直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值；(3)求二面角 HBDC 的大小解：(1)证明：四边形 ABCD 是菱形， AC BD.又平面 BDEF平面 ABCD，平面 BDEF平面 ABCD BD，且 AC平面 ABCD， AC平面 BDEF.(2)设 AC BD O，取 EF 的中点 N，连接 ON，四边形 BDEF 是矩形， O， N 分别为 BD， EF 的中点， ON ED. ED平面 ABCD， ON平面 ABCD.由 AC BD，得 OB， OC， ON 两两垂直以 O 为原点， OB， OC， ON 所在直线分别为
10、x 轴， y 轴， z 轴，建立如图所示空间直角坐标系底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD60， BF3， A(0， ，0)， B(1,0,0)， D(1，0,0)， E(1,0,3)，3F(1,0,3)， C(0， ，0)， H .3 (12， 32， 32) AC平面 BDEF，平面 BDEF 的法向量 (0,2 ，0)AC 3设直线 DH 与平面 BDEF 所成角为 ， ，DH (32， 32， 32)sin |cos ， | ，DH AC 77直线 DH 与平面 BDEF 所成角的正弦值为 .77(3)由(2)，得 ， (2,0,0)BH ( 12， 32， 32) DB 设
11、平面 BDH 的法向量为 n( x， y， z)，则Error!令 z1，得 n(0， ，1)3由 ED平面 ABCD，得平面 BCD 的法向量为 (0,0，3)，则 cosn， ED ED 5 ，12由图可知二面角 HBDC 为锐角，二面角 HBDC 的大小为 60.B 卷深化提能练1.(2019 届高三辽宁五校联考)如图，在四棱锥 EABCD 中，底面ABCD 为直角梯形，其中 CD AB， BC AB，侧面 ABE平面 ABCD，且AB AE BE2 BC2 CD2，动点 F 在棱 AE，且 EF FA .(1)试探究 的值，使 CE平面 BDF，并给予证明；(2)当 1 时，求直线 C
12、E 与平面 BDF 所成角的正弦值解：(1)当 时， CE平面 BDF.证明如下：12连接 AC 交 BD 于点 G，连接 GF(图略)， CD AB， AB2 CD， ，CGGA CDAB 12 EF FA， ， GF CE，12 EFFA CGGA 12又 CE平面 BDF， GF平面 BDF， CE平面 BDF.(2)如图，取 AB 的中点 O，连接 EO，则 EO AB，平面 ABE平面 ABCD，平面 ABE平面 ABCD AB， EO平面 ABCD，连接 DO， BO CD，且 BO CD1，四边形 BODC 为平行四边形， BC DO，又 BC AB， AB OD，则 OD， O
13、A， OE 两两垂直，以 OD， OA， OE 所在直线分别为 x 轴， y 轴， z 轴，建立空间直角坐标系 Oxyz，则 O(0,0,0)， A(0,1,0)， B(0，1,0)， D(1,0,0)， C(1，1，0)， E(0,0， )3当 1 时，有 ， F ，EF FA (0， 12， 32) (1,1,0)， (1,1， )， .BD CE 3 BF (0， 32， 32)设平面 BDF 的法向量为 n( x， y， z)，则有 即Error!令 z ，得 y1， x1，则 n(1， 1， )为平面 BDF 的一个3 3法向量，设直线 CE 与平面 BDF 所成的角为 ，6则 si
14、n |cos ，n| ，CE 15故直线 CE 与平面 BDF 所成角的正弦值为 .152.(2018山东潍坊模拟)如图，在四棱锥 PABCD 中，底面四边形ABCD 内接于圆 O， AC 是圆 O 的一条直径， PA平面ABCD， PA AC2， E 是 PC 的中点， DAC AOB.(1)求证： BE平面 PAD；(2)若二面角 PCDA 的正切值为 2，求直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值解：(1)证明： DAC AOB， AD OB. E 为 PC 的中点， O 为圆心，连接OE， OE PA，又 OB OE O， PA AD A，平面 PAD平面 EOB， BE平面EOB，
15、 BE平面 PAD.(2)四边形 ABCD 内接于圆 O 且 AC 为直径， AD CD，又 PA平面ABCD， PA CD，又 PA AD A， CD平面 PAD， CD PD， PDA 是二面角 PCDA的平面角，tan PDA2， PA2， AD1，如图，以 D 为坐标原点， DA 所在的直线为 x 轴，DC 所在的直线为 y 轴，过点 D 且垂直于平面 ABCD 的直线为 z 轴建立空间直角坐标系Dxyz.PA AC2， AD1，延长 BO 交 CD 于点F， BO AD， BF CD， BF BO OF， BF1 ，又12 32CD ， DF ， P(1,0,2)， B ， C(0，
16、 ，0)， (1， ，2)，332 (32， 32， 0) 3 CP 3(0， ，0)，设平面 PCD 的法向量 n( x， y， z)，DC 3 即Error!令 z1，则 x2， y0.n(2,0,1)是平面 PCD 的一个法向量，又 ，PB (12， 32， 2)|cos ，n| ，PB | 1 0 255| 35直线 PB 与平面 PCD 所成角的正弦值为 .353.(2018合肥一模)如图，已知平行四边形 ABCD 与 EMN 所在的平7面都与矩形 BDEF 所在的平面垂直，且 BAD60， AB MN2 AD2， EM EN， F 为 MN 的中点(1)求证： MN AD；(2)若
17、直线 AE 与平面 ABCD 所成的角为 60，求二面角 MABC 的余弦值解：(1)证明：在 ABD 中， BAD60， AB2， AD1，由余弦定理可得BD2 AB2 AD22 ABADcos BAD2 21 2221cos 603，所以BD ， AD2 BD2 AB2，所以 AD BD.又平面 ABCD平面 BDEF，平面 ABCD平面3BDEF BD，所以 AD平面 BDEF.在 EMN 中， EM EN， F 为 MN 的中点，所以 MN EF，又平面 EMN平面 BDEF，平面 EMN平面 BDEF EF，所以 MN平面 BDEF.所以 MN AD.(2)在矩形 BDEF 中， E
18、D BD，又平面 ABCD平面 BDEF，平面 ABCD平面 BDEF BD，所以 ED平面 ABCD.所以 EAD 为直线 AE 与平面 ABCD 所成的角，故 EAD60.在 Rt EAD 中， ED ADtan EAD1tan 60 .3如图，以 D 为坐标原点，分别以 DA， DB， DE 所在直线为 x 轴， y 轴， z 轴建立空间直角坐标系，则 D(0,0,0)， A(1,0,0)， B(0， ，0)， E(0,0， )， F(0， ， )， M(1， ，3 3 3 3 3)， (0， ， )， (1， ，0)3 MA 3 3 AB 3因为 DE平面 ABCD，所以 (0,0，
19、)为平面 ABCD 的一个法向量DE 3设平面 MAB 的法向量为 n( x， y， z)，所以 即整理得Error!令 y1，则 x ， z1，3所以 n( ，1，1)是平面 MAB 的一个法向量3所以 cos ，n .DE 313 3 2 12 1 2 55设二面角 MABC 的大小为 ，由图可知 为钝角，8所以 cos cos ，n .DE 554已知直角梯形 ABCD 中， AB CD， AB AD， CD2， AD ， AB1，如图所示，2将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置得三棱锥 PBCD，如图所示(1)求证： BD PC；(2)当平面 PBD平面 PBC 时，求二面角
20、PDCB 的大小解：(1)证明：在图中，连接 AC，交 BD 于点 G，因为 CDA DAB90，所以 tan CAD ，tan DBA ，CDAD 2 ADAB 2所以 CAD DBA，因为 CAD BAG90，所以 DBA BAG90，所以 BD AC.所以将 ABD 沿 BD 折起到 PBD 的位置后，仍有 BD PG， BD CG，如图所示，又 PG CG G，所以 BD平面 PCG，又 PC平面 PCG，所以 BD PC.(2)因为平面 PBD平面 PBC， PB PD，平面 PBD平面 PBC PB， PD平面 PBD，所以PD平面 PBC，因为 PC平面 PBC，所以 PD PC
21、，又 BD PC， BD PD D，所以 PC平面 PBD，所以 BP CP.以 P 为坐标原点， PC， PB， PD 所在的直线分别为 x 轴， y 轴，z 轴建立空间直角坐标系如图 所示，则 P(0,0,0)， B(0,1,0)， C(，0,0) ， D(0,0， )， (0，1， )，2 2 BD 2 ( ，1,0)，BC 2易知平面 PCD 的一个法向量为 m(0,1,0)，9设 n( x， y， z)为平面 BCD 的法向量，则 即Error!令 x1，则 y ， z1，得 n(1， ，1)是平面 BCD 的一个法向量2 2则 cosm，n ，mn| m |n| 22易知二面角 PDCB 为锐角，所以二面角 PDCB 的大小为 45.
