1、1专题 08 立体几何一、选择题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】我国古代九章算术里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，上广二丈，袤三丈，下广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？其意思是：今有 上下底面皆为长方形的草垛（如图所示） ，上底宽 2 丈，长 3 丈；下底宽 3 丈，长 4 丈；高 3 丈.问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的 2 倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的 2 倍与上底长的和与下底宽相乘，再次相加，再乘以高，最后除以 6.则这个问题中的刍童的体积为（ ）A13.25 立方丈 B26.5 立方丈 C53 立方丈 D106 立方丈【答案】B2
2、. 【河北省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】某几何体的正视图与侧视图如图所示，则它的俯视图不可能是（ ）A B2C D【答案】C3. 【河北衡水金卷 2019 届高三 12 月第三次联合质量测评数学（理)试题】一正方体被两平面截去部分后剩下几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为A BC D【答案】B【解析】由题中条件及三视图 可知该几何体是由棱长为 2 的正方体被平面截去了两个三棱锥后剩下的几何体 ，如图所示，该几何体的制面三角形有 ， ， ， ， ， ，由对称性只需计算 ，的大小，因为 ， .所以该几何体的表面积为3.故选 B. 6. 【河北省衡水中学 20182019 学
3、年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】如图所示，某几何体由底面半径和高均为 5 的圆柱与半径为 5 的半球面对接而成，该封闭几何体内部放入一个小圆柱体，且圆柱体的上下底面均与外层圆柱的底面平行，则小圆柱体积的最大值为（ ）A B C D【答案】B，(0 h 5)，求导 ，当 0 h 时，体积 单调递增，当 h 5 时，体积 单调减。所以当 h= 时，小圆柱体积取得最大值， ，故选 B. 9. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )4A6 B9 C12 D18【答案】B10. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题
4、（一)理数试题试卷】已知一几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A 163 B 12 C 123 D 1435【答案】C11. 【河北省衡水中学 2018 届高三上学期七调考试数学（理)试题】一个四面体的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是 ，绘制该四面体三视图时, 按照如下图所示的方向画正视图，则得到左视图可以为（ ）A B C D【答案】B【解析】将四面体放在如图正方体中，得到如图四面体，得到如图的左视图，故选 B. 14. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(二)】某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为 ，则它的表面积是（ ）6A BC D【答案】A15. 【河北省衡水
5、中学 2018 年高考押题(三)】某几何体的三视图如图所示，其中俯视图下半部分是半径为 2的半圆，则该几何体的表面积是（ ）A 80 B 804 C 80 D 804【答案】B【解析】根据三视图可知几何体是棱长为 4 的正方体挖掉半个圆柱所得的组合体，7且圆柱底面圆的半径是 2、母线长是 4，该几何体的表面积 ，本题选择 B 选项.16. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】某几何体的三视图如图所示，则此几何体( )A有四个两两全等的面B有两对相互全等的面C只有一对相互全等的面D所有面均不全等【答案】B【解析】几何体的直观图为四棱锥 .如图.因为 ， ， .所以 . 解决该试题的
6、关键是本题考查三视图与几何体的关系，正确判断几何体的特征是解题的关键，考查计算能力20. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期期中考试理科数学试题】如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）A8 B4C 2 D 3【答案】C821. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期期中考试理科数学试题】如图，在四棱锥 PABCD 中，侧面 PAD为正三角形，底面 ABCD 为正方形，侧面 PAD底面 ABCD，M 为底面 ABCD 内的一个动点，且满足 MPMC，则点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为（ ）【答案】A9【解析】以 D 为原点，DA、DC 所在直线分
7、别为 x、y 轴建系如图：设 M(x，y,0)，设正方形边长为 a，则 P( ，0，)，C(0，a,0)，则|MC| ，|MP| .由|MP|MC|得 x2y，所以点 M 在正方形 ABCD 内的轨迹为直线 y x 的一部分22. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期期中考试理科数学试题】已知球 O 与棱长为 4 的正方体的所有棱都相切，点 M 是球 O 上一点，点 N 是 的外接圆上的一点，则线段 的取值范围是A BC D【答案】C10二、填空题1. 【河北省衡水中学 20182019 学年高三年级上学期四调考试数学（理)试题】已知直三棱柱 中， ，则异面直线 与 所成角的余弦值为_.【
8、答案】【解析】11如图所示，设 分别为 和 的中点，则 夹角为 和 夹角或其补角， ，作 中点 ，则 为直角三角形， 中，由余弦定理得 ， ，在 中，；在 中，由余弦定理得 ，又异面直线所成角的范围是 ， 与 所成角的余弦值为 ，故答案为 . 4. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)理数试题试卷】已知球 O是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心） ABCD的外接球， ，点 E在线段 BD上，且3BDE，过点 作圆 O的截面，则所得截面圆面积的取值范围是_【答案】 2,4125. 【河北省衡水中学 2018 届高三十六模】已知直三棱柱 中， ， ， ,若棱 在正视图
9、的投影面 内，且 与投影面 所成角为 ，设正视图的面积为 ，侧视图的面积为 ，当 变化时， 的最 大值是_ 【答案】13侧视图的面积为 ， ，故得 的最大值为 ，故答案为 .6. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】已知三棱锥 满足 底面 ， 是边长为的等边三角形， 是线段 上一点，且 .球 为三棱锥 的外接球，过点 作球 的截面，若14所得截面圆的面积的最小值与最大值之和为 ，则球 的表面为_【答案】【解析】将三棱锥 PABC 补成正三棱柱，且三棱锥和该正三棱柱的外接球都是球 O，记三角形 ABC 的中心为 ，设球的半径为 R，PA=2x，则球心 O 到平面 ABC 的距离为
10、x，即 O =x，连接 C，则 C=4， ，在三角形 ABC 中，取 AB 的中点为 E，连接 D，E，则 在直角三角形 O D 中， 由题意得到当截面与直线 OD 垂直时，截面面积最小，设此时截面圆的半径为 r,则最小截面圆的面积为 ，当截面过球心时，截面面积最大为 ， ，如图三， 球的表面积为 故答案为：100 . 三、解答题1. 【河北省衡水中学 2018 届高三毕业班模拟演练一】在矩形 中， ， ，点 是线段 上靠近点 的一个三等分点，点 是线段 上的一个动点，且 .如图，将 沿 折起至 ，使得平面 平面 .（1）当 时，求证： ；15（2）是否存在 ，使得 与平面 所成的角的正弦值为
11、 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由.【答案】(1)见解析(2) 【解析】 （1）当 时，点 是 的中点. ， . ， . ， ， ， . .又平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， 平面 . 平面 ， .（2）以 为原点， 的方向为 轴， 轴的正方向建立如图所示空间直角坐标系 .则 ， ， .取 的中点 ， ， ， 易证得 平面 ， ， ， . ， ， .16设平面 的一个法向量为 ，则令 ，则 . 同理设平面 FB1D 的法向量为 ，则，令 .所以 ， 所以,所以所求的镜二面角 的余弦值为 5. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十次模拟考试数学（理)试题】如图所示，四棱锥 PA
12、BCD的底面为矩形，已知 ， 2AB，过底面对角线 AC作与 平行的平面交 于 E.（1）试判定点 E的位置，并加以证明；（2）求二面角 ACD的余弦值.【答案】(1) 为 P的中点，见解析(2) 2117显然， OP是平面 ACD的一个法向量.设 是平面 ACE的一个法向量，则 ，即 ，取 1y，则 ，所以 1cos,nOP 12，所以二面角 EACD的余弦值为 1. 7. 【河北省衡水中学 2018 届高三第十七次模拟考试数学（理)试题】四棱锥 中， 面 ，底面 是菱形，且 ， ，过点 作直线 ， 为直线 上一动点.18（1）求证： ；（2）当面 面 时，求三棱锥 的体积.【答案】 （1）
13、证明见解析；（2） .（2）由题意得 和 都是以 为底的等腰三角形，设 和 的交点为 ，连接 、 ，则 ， ，又 ,19 平面 又平面 面 ，平面 面 ， 面 ， .在菱形 中， ， ， .在 中， 在 中，设 ，则 在 中， ，又在直角梯形 中， ，故 ， 解得 ，即 . ， .8. 【河北省衡水中学 2018 届高三高考押题（一)理数试题试卷】如图，点 C在以 AB为直径的圆 O上， PA垂直与圆 O所在平面， G为 AOC的垂心 （1）求证：平面 P平面 ；（2）若 ，求二面角 PG的余弦值.20【答案】 （1）见解析（2） 2517. = A，所以 OM 平面 PAC.即 OG平面 P
14、AC，又 OG平面 P，所以平面OPG平面 C.（2）以点 C为原点， B， CA， P方向分别为 x， y， z轴正方向建立空间直角坐标系xyz，则 0,， 0,1， 3,0， ， 0,12P， 10,M，则， .平面 OPG即为平面 ，设平面 O的一个法向量为21,nxyz，则 令 1z，得 .过点 C作 HAB于点 ，由 PA平面 BC，易得 HPA，又 ，所以 CH平面 PAB，即为平面 PO的一个法向量.在 Rt中，由 2，得 ，则 ， .所以 ， .所以 . 设二面角 AOPG的大小为 ，则 . 从而 .故所求的二面角 的余弦值为 .12. 【河北省衡水中学 2018 年高考押题(
15、三)】如图所示,在四棱锥 中,平面 平面.22(1)求证: ;(2)若二面角 为 ,求直线 与平面 所成的角的正弦值.【答案】(1)证明见解析；(2) .（2）由（1） 平面 ， 平面 ，所以 .又因为 ，平面 平 面 ，所以 是平面 与平面 所成的二面角的平面角，即 .因为 ， ，所以 平面 . 所以 是 与平面 所成的角.23因为在 中， ，所以在 中， .13. 【河北省衡水中学 2019 届高三第一次摸底考试】在 中， ， 分别为 ， 的中点，如图 1.以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位置，如图 2. 如图 1 如图 2（1）证明：平面 平面 ；（2）若平面 平面 ，求直线 与平面
16、 所成角的正弦值。【答案】(1)见解析；（2）直线 与平面 所成角的正弦值为 .【解析】（1）证明：在题图 1 中，因为 ，且 为 的中点.由平面几何知识，得 . 又因为 为 的中点，所以 在题图 2 中， ， ，且 ，所以 平面 ，所以 平面 . 又因为 平面 ，所以平面 平面 .（2）解：因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ， .24则 .所以直线 与平面 所成角的正弦值为 .14. 【河北省衡水中学 2019 届高三上学期六调考试】如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，侧棱 底面 ， 垂直于 和 ， 为棱 上的点， ， .（1）若 为棱 的中点，求证： 平面 ；（2）当 时，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值；（3）在第（2）问条件下，设点 是线段 上的动点， 与平面 所成的角为 ，求当 取最大值时点25的位置 .【答案】 （1）证明见解析；（2） ；（3）当 最大时，点 N 在线段 CD 上，且 ，四边形 AMED 为平行四边形 平面 SCD， 平面 SCD， 平面 SCD26（3）设 ，其中 由于 ，所以 所以 ，可知当 ，即 时分母有最小值，此时 有最大值，此时， ，即点 N 在线段 CD 上且
