1、1第 4 章 相似三角形12017杭州如图 4BZ1，在 ABC 中，点 D， E 分别在边 AB， AC 上， DE BC，若 BD2 AD，则( )A. B. ADAB 12 AEEC 12C. D. ADEC 12 DEBC 12图 4BZ1图 4BZ222017常州如图 4BZ2，已知矩形 ABCD 的顶点 A， D 分别落在 x 轴、 y 轴上，OD2 OA6， AD AB31，则点 C 的坐标是( )A(2，7) B(3，7) C(3，8) D(4，8)32016丽水如图 4BZ3，已知 O 是等腰直角三角形 ABC 的外接圆， D 是 上一AC 点， BD 交 AC 于点 E，若
2、 BC4， AD ，则 AE 的长是( )45A3B2 C1 D1.2图 4BZ32图 4BZ442017大庆如图 4BZ4， AD BC， AD AB，点 A， B 在 y 轴上， CD 与 x 轴交于点E(2，0)，且 AD DE， BC2 CE，则 BD 与 x 轴的交点 F 的横坐标为( )A. B. C. D.23 34 45 56图 4BZ552017杭州如图 4BZ5，在 Rt ABC 中， BAC90， AB15， AC20，点 D在边 AC 上， AD5， DE BC 于点 E，连结 AE，则 ABE 的面积等于_62016舟山如图 4BZ6，已知 ABC 和 DEC 的面积
3、相等，点 E 在 BC 边上，DE AB 交 AC 于点 F， AB12， EF9，则 DF 的长是_图 4BZ6图 4BZ772017金华如图 4BZ7，已知点 A(2，3)和点 B(0，2)，点 A 在反比例函数 y的图象上作射线 AB，再将射线 AB 绕点 A 按逆时针方向旋转 45，交反比例函数图象于kx点 C，则点 C 的坐标为_82017丽水改编如图 4BZ8，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y x m 分别交 x 轴、 y 轴于 A， B 两点，已知点 C(2，0)(1)当直线 AB 经过点 C 时，点 O 到直线 AB 的距离是_；3(2)设 P 为线段 OB 的中点，连结
4、 PA， PC， CPA ABO，求 m 的值图 4BZ892016杭州如图 4BZ9，在 ABC 中，点 D， E 分别在边 AB， AC 上， AED B，射线 AG 分别交线段 DE， BC 于点 F， G，且 .ADAC DFCG(1)求证： ADF ACG；(2)若 ，求 的值ADAC 12 AFFG图 4BZ9102017杭州如图 4BZ10，在锐角三角形 ABC 中，点 D， E 分别在边 AC， AB 上，AG BC 于点 G， AF DE 于点 F， EAF GAC.(1)求证： ADE ABC；(2)若 AD3， AB5，求 的值AFAG4图 4BZ10112017大连如图
5、 4BZ11，四边形 ABCD 的对角线 AC， BD 相交于点O， OB OD， OC OA AB， AD m， BC n， ABD ADB ACB.(1)填空： BAD 与 ACB 的数量关系为_；(2)求 的值；mn(3)将 ACD 沿 CD 翻折，得到 A CD(如图)，连结 BA，与 CD 相交于点 P.若 CD，求 PC 的长5 12图 4BZ115122017遵义如图 4BZ12，在边长为 2 的正方形 ABCD 中， P 是对角线 AC 上2的一个动点(点 P 与点 A， C 不重合)，连结 BP，将 BP 绕点 B 顺时针旋转 90到 BQ.连结QP， QP 与 BC 相交于
6、点 E， QP 的延长线与 AD(或 AD 的延长线)相交于点 F.(1)连结 CQ，求证： CQ AP；(2)设 AP x， CE y，试写出 y 关于 x 的函数表达式，并求出当 x 为何值时，CE BC；38(3)猜想 PF 与 EQ 的数量关系，并证明你的结论. 图 4BZ126详解详析1B 解析点 D， E 分别在边 AB， AC 上，DE BC， . BD2 AD， .故选 B.ADBD AEEC ADBD AEEC 122A 解析 如图，过点 C 作 CE y 轴，垂足为 E. OD2 OA6， OA3.由互余角易得 Rt CEDRt DOA， .又 CD AB， ， CE2，
7、DE1， OE7，CEOD DEOA CDAD CE6 DE3 13点 C 的坐标为(2，7)3C4A 解析 过点 D 作 DM BC，垂足为 M，交 x 轴于点 N，设AD DE a， BC2 EC2 b，由已知可得 DNE DMC， ，整理，得 .2 a2b a aa b aba b 23设 OF m，由题意得 ，即 ， m .故选 A.OFAD BFBD CECD ma ba b aba b 23578 解析在 Rt ABC 中， BAC90， DE BC 于点E， AB15， AC20， BC25， BAC CED90， CDE CBA， ，故 CE12， BE251213， ABE
8、的面积 ABC 的面CECA CDCB 20 525 1325积 ABC 的面积 1520150， ABE 的面积 15078.故填 78.12 132567 解析 ABC 与 DEC 的面积相等， CDF 与四边形 AFEB 的面积相等 AB DE， CEF CBA. EF9， AB12， EF AB91234， CEF 和 CBA 的面积比为 916.设 CEF 的面积为 9k，则四边形 AFEB 的面积为 7k.7 CDF 与四边形 AFEB 的面积相等， S CDF7 k. CDF 与 CEF 可看作同高不同底的三角形，面积比等于底之比， DF EF79， DF7.7(1，6) 解析
9、如图，过点 A 作 AH AB 交 x 轴于点 H，过点 D 分别作DE AB， DF AH，垂足分别为 E， H.设 AB 的函数表达式为 y kx b，把 A(2，3)和 B(0，2)分别代入，得 解得 y x2.2k b 3，b 2， ) k 12，b 2， ) 12令 y0，则 x20，得 x4， G(4，0)12 OG4， OB2.由点 A(2，3)， OG4，可得 AG3 .5 BGO HGA， GOB GAH90， BOG HAG， ，OBAH OGAG即 ，2AH 43 5 AH .3 52由 AGH 的面积，可得 3GH AGAH，即 3GH3 ，得 GH ，12 12 5
10、3 52 152 OH GH OG .72 AH AB， GAC45， AD 平分 GAH.8 DE AB， DF AH， DE DF AF.由 AGH 的面积，可得 DEAG DFAH AGAH，12 12 12即 DF 3 ，12(3 5 3 52 ) 12 5 3 52 DF ，5 AF ， FH AH AF ，53 52 5 52 DH ，（ 5） 2 (52)2 52 OD OH DH 1，72 52 D(1，0)设直线 AD 的函数表达式为 y mx n，把 A(2，3)， D(1，0)代入，得 2m n 3，m n 0， )解得 m 3，n 3， ) y3 x3.把 A(2，3)
11、代入 y ，得 y .kx 6x由 得 或y 6x，y 3x 3) x 1，y 6) x 2，y 3.)点 C 的坐标为(1，6)8解：(1)直线 y x m 经过点 C(2，0)，02 m， m2，函数表达式为 y x2，当 x0 时， y2，点 B 的坐标为(0，2)，由勾股定理得 AB 2 22 22，设点 O 到 AB 距离为 h，根据三角形面积公式得 22 2 h， h .212 12 2 2故填： .2(2)当 x0 时， y m；当 y0 时， x m0， x m，点 A 的坐标为( m，0)，点B 的坐标为(0， m)， OA OB m， OAB ABO45. P 是 OB 的
12、中点， BP OP .在m29y 轴负半轴上取一点 D(0，2)，连结 CD， OC OD2， OCD ODC45 CPA ABO，再结合三角形外角的性质得 CPD PAB， CPDPAB， ，由勾股定理得 AB m， CD2 ， ，解得 m12.PDAB CDPB 2 2 m2 22m 2 2m29解：(1)证明：因为 AED B， DAE CAB，所以 ADF C.又因为 ，所以 ADF ACG.ADAC DFCG(2)因为 ADF ACG，所以 .ADAC AFAG又因为 ，所以 ，所以 1.ADAC 12 AFAG 12 AFFG10解：(1)证明： AF DE 于点 F， AG BC
13、 于点 G， AFE90， AGC90， AEF90 EAF， C90 GAC.又 EAF GAC， AEF C.又 DAE BAC， ADE ABC.(2) ADE ABC， ADE B.又 AFD AGB90， AFD AGB， .AFAG ADAB AD3， AB5， .AFAG 3511解：(1) ABD ADB ACB， BAD ACB BAD ABD ADB180.故填： BAD ACB180.10(2)如图，过点 D 作 DE AB，交 AC 于点 E，则 DEA BAE， OBA ODE， EDA DAB180.又 OB OD， OAB OED(AAS)， AB DE， OA
14、OE.又 OC OA AB OE CE， AB CE DE.设 AB DE CE x， OA OE y， EDA BAD180， ACB BAD180， EDA ACB.又 DEA BAE， EAD ABC， ，EDAC AEAB ADBC mn即 ，4 y22 xy x20，xx 2y 2yx 10，解得 (负值已舍)，(2yx)2 2yx 2yx 1 52 .mn 5 12(3)如图，过点 D 作 DE AB，交 AC 于点 E. DE CE， EDC ECD.由翻折知 DCA DCA， EDC DCA， DE CA.11 AB DE， AB CA， ABC A CB180. EAD AB
15、C， DAE ABC DA C， DA C BCA180， A D BC， PA D PBC， ，PDPC A DBC ADBC 5 12 ，PD PCPC 5 12即 .又 CD ，CDPC 5 12 5 12 PC1.12解：(1)证明：连结 CQ，四边形 ABCD 是正方形， AB BC， ABC90. BP BQ， PBQ90， CBQ ABP， CBQ ABP， CQ AP.(2)正方形的边长为 2 ， AC4， PC4 x.2 ABP CBQ， BCQ BAP45.又 ACB45， PCQ90. CQ AP x，在 Rt PCQ 中， PQ .PC2 CQ2 （ 4 x） 2 x2
16、 2x2 8x 16在 Rt PBQ 中， PB PQ .22 22 2x2 8x 16 x2 4x 812 BPE BCP45， PBE CBP， PBE CBP， ，PBBE CBPB即 ，x2 4x 82 2 y 2 2x2 4x 8 y x2 x.24 2当 CE BC 时， CE .38 3 24当 y 时， x2 x，即 x24 x30，解得 x11， x23.3 24 3 24 24 2当 x 为 1 或 3 时， CE BC.38(3)PF 与 EQ 的数量关系为 PF EQ.证明：由 FAP ECP45， APF CPE，得 APF CPE， .PFPE APPC BPE ECQ45， PEB CEQ， PEB CEQ， ， PBCE CQPE.CEPE CQPB同理由 PEC BEQ 得 ， BQCE PCQE.CEQE PCBQ又 PB BQ，由得 CQPE PCQE，即 .QEPE CQPC由及 AP CQ 得 ， PF EQ.PFPE QEPE
