1、- 1 -上海市 2018-2019 学年华师大三附中高一上期中考试数学试卷一、填空题（本答题共有 12 题，满分 36 分）考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写结果.每个空格填对得 3 分，否则一律得零分.1.集合 的真子集的个数为_【答案】3【解析】【分析】由真子集的定义，将集合 的真子集列举出来即可.【详解】集合 的真子集有 ，共 3 个，故答案为 3.【点睛】集合的真子集是指属于该集合的部分（不是所有）元素组成的集合，包括空集.2.设集合 ，集合 ，则 _【答案】【解析】【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合 ，由交集的定义可得结果.【详解】 ，即 ，解得 ，即 ，集合 ，则 ，故答
2、案为 .【点睛】本题考查交集的求法以及绝对值不等式的解法，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，是基础题，解题时要认真审题.3.“ ”是“ ”的_【答案】必要不充分【解析】【分析】根据一元二次不等式的解法化简不等式 ，利用充分条件和必要条件的定义即可得到结论.【详解】由 得 ,- 2 -则“ ”是“ ”的的必要不充分条件，故答案为必要不充分.【点睛】本题主要考查不等式的解法、充分条件与必要条件相关问题，将一元二次不等式的解法、充分条件、必要条件相关的问题联系在起来，体现综合应用数学知识解决问题的能力，是基础题.4.命题“已知 ，如果 ，那么 或 .”是_命题.（填“真”或“假” ）【答案】真
3、【解析】【分析】先写出原命题的逆否命题，并判断其真假 ,进而根据互为逆否的两个命题真假性一致,得到结论.【详解】命题“已知 ，如果 ，那么 或 ” 的逆否命题为“已知 ，如果 且 ，那么 ” 为真命題，故命题“已知 ，如果 ，那么 或 ” 是真命题，故答案为真.【点睛】本题考査的知识点是命题的真假判断与应用，其中当原命题的真假判断比较麻烦或无法证明时，常去判断其逆否命题的真假，进而根据互为逆否的两个命题真假性一致，得到结论.5.函数 的定义域是_.【答案】【解析】【分析】根据分式的分母不为零，且二次根式的被开方数大于或等于零，由此建立关于 的不等式组，解之即得函数 的定义域.【详解】要使函数
4、有意义， 则 ，- 3 -等价于 ，函数 的定义域是 ，故答案为 .【点睛】定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数 的定义域为 ，则函数 的定义域由不等式 求出.6.已知 ，则 的解析式为_.【答案】【解析】【分析】令 ，则 ，求出 ,从而可得结果.【详解】因为 ，令 ，则 ，函数 的解析式为 .，故答案为 .【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，属于中档题.求函数的解析式常见题型有以下几种：（1）根据实际应用求函数解析式；（2）换元法求函数解析式，利用换元
5、法一定要注意，换元后参数的范围；（3）待定系数法求函数解析式，这种方法适合求已知函数名称的函数解析式；（4）消元法求函数解析式，这种方法求适合自变量互为倒数或相反数的函数解析式.7.集合 ， 的元素只有 1 个，则 的取值范围是_.【答案】【解析】【分析】- 4 -由 中有且仅有一个元素，可知两个方程联立得到方程是一次方程或二次方程有两个相等的根；利用分类讨论思想，可求出 的范围.【详解】联立 即 ，是单元素集，分两种情况考虑:，方程有两个相等的实数根，即 ，可得 ,解得，方程 只有一个根，符合题意，综上, 的范围为 故答案为 .【点睛】本题主要考查集合交集的定义与性质以及一元二次方程根与系数
6、的关系，意在考查综合应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.8.若函数 在区间 上是增函数，则实数 _.【答案】【解析】【分析】根据二次函数的性质，判断出其图象是开口方向朝上，以 为对称轴的抛物线，利用为 的子集可构造一个关于 的不等式，解不等式即可得到实数 的取值范围.【详解】 函数 的图象是开口方向朝上，以 为对称轴的抛物线，若函数 在区间 上是增函数，所以 为 的子集，则 ，解得 ，故答案为 .【点睛】本题考査的知识点是函数单调性及二次函数的性质，属于简单题. 利用单调性求参数的范围的常见方法： 视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数需注
7、意若函数在区间 上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的; 利用导数转化为不等式 或 恒成立问题求参数- 5 -范围，本题是利用方法 求解的9.已知函数 是定义在 上的奇函数，且当 时， ，则 _.【答案】2【解析】【分析】由 为 上的奇函数即可得出 ，并且 时， ，从而将 代入的解析式即可求出 ，从而求出 .【详解】 是定义在 上的奇函数，并且 时， ，故答案为 2 .【点睛】本题主要考查函数的解析式与函数奇偶性的应用，意在考查对基础知识掌握的熟练程度，属于简单题.10.已知函数 ，且 ，则 的最大值是_.【答案】【解析】【分析】由 可得 ，由基本不等式可得 ,注意等号成立的条件即
8、可.【详解】 函数 ，且有 ，且 ，当且即当 时， 取最大值 ,故答案为 .【点睛】本题主要考查指数幂的运算以及利用基本不等式求最值，属于中档题. 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小） ；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用 或 时等号能否同时成立）.11.已知关于 的一元二次不等式 的解集为 .则关于 的不等式- 6 -的解集为_.【答案】【解析】【分析】构造解集和 是同解 的不等式，然后可得出 ，再代入求求解即
9、可.【详解】 的解集为 ，则 与 是同解不等式，则关于 的不等式 的解集即为 的解集，即 ，解得 ，故关于 的不等式 的解集为 ，故答案为 .【点睛】本题主要考查一元二次不等式的解法，以及特值法在解题中的应用，意在考查灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.12.设 ，则当 _时， 取得最小值【答案】【解析】【分析】需要分类讨论，当 和当 ,分别化简 ，利用基本不等式即可得到结论.【详解】 , ，即 ，当 时，当且仅当 取等号故当 时， 取得最小值 ，当 时,- 7 -，当且仅当 取等号，故当 时， 取得最小值 ，综上所述 的值为 时， 取得最小值，故答案为 .【点睛】本题主要考查基本不等
10、式的应用，属于难题. 在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正” （即条件要求中字母为正数） 、“定” （不等式的另一边必须为定值） 、 “等” （等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.二、选择题：（本大题共 4 题，满分 12 分）每题有且仅有一个正确答案，考生应在答题纸相应的编号空格内直接填写选项，选对得 3 分，否则一律得零分.13.已知实数 满足 ，则“ 成立”是“ 成立”的（ ）A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 非充分非必要条件【答案】C【解析】【分析】根据不等式的性质，利用充分条件和必要条件的定义进
11、行判断即可.【详解】由 ， 若 成立,则 ，即 成立，反之若 ， ，即 成立，“ 成立”是“ 成立”充要条件，故选 C.【点睛】本题主要考查不等式的性质以及充分条件和必要条件的应用，属于中档题. 判断充要条件应注意：首先弄清条件 和结论 分别是什么，然后直接依据定义、定理、性质尝试.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想化抽象为直观外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题；对于范围- 8 -问题也可以转化为包含关系来处理.14.已知函数 的定义域为 ， 只有一个子集，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】空集是任何集合的子集,只
12、有一个子集那只能是空集,所以=所以 f(x)的定义域不包含 x=0,所以,a、b 同号,且均不为零,所以 ab0故选：A点睛：本题主要考查了函数的定义，对定义域上的每个 x，有且只有一个 y 值与其对应，若x 不在定义域上，当然就不存在 y 值与其对应，此时 =.15.设 是定义在 上的函数.若存在 ，使 成立，则函数 在 上单调递增；若存在 ，使 成立，则函数 在 上不可能单调递减；若存在 对于任意 都有 成立，则函数 在 上单调递减.则以上真命题的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3【答案】B【解析】【分析】根据增函数和减函数的定义判断，注意关键的条件：“存在” 、 “任意”
13、以及对应的自变量和函数值的关系.【详解】对于， “任意” ，使 成立，函数 在 上单调递增，故不对；对于，由减函数的定义知，必须有“任意” ，使 成立，即若存在，使 成立，函数 在 上不可能单调递减，故对；- 9 -对于，存在 对于任意 都有 成立，则函数 不在 上单调递减，故不对；即真命题的个数为 1，故选 B.【点睛】本题主要考查阅读能力以及对增函数与减函数定义的理解与应用，意在考查对基本概念掌握的熟练程度和灵活应用所学知识解答问题的能力，属于中档题.16.某学校要召开学生代表大会，规定各班每 10 人推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增选一名代表那么，各班可推选代表
14、人数 y 与该班人数 x 之间的函数关系用取整函数 y x(x表示不大于 x 的最大整数)可以表示为( )A. y B. y C. y D. y【答案】B【解析】【分析】根据规定 10 推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增加一名代表，即余数分别为 7，8，9 时可以增选一名代表，也就是 x 要进一位，所以最小应该加 3进而得到解析式【详解】根据规定 10 推选一名代表，当各班人数除以 10 的余数大于 6 时再增加一名代表，即余数分别为 7，8，9 时可以增选一名代表，也就是 x 要进一位，所以最小应该加 3因此利用取整函数可表示为 y= 也可以用特殊取值法若 x=56，
15、y=5，排除 C、D，若 x=57，y=6，排除 A；故选：B【点睛】本题主要考查给定条件求函数解析式的问题，这里主要是要读懂题意，再根据数学知识即可得到答案对于选择题要会选择最恰当的方法三、解答题：（本大题共有 5 题，满分 52 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤.17.已知集合 ，若 ，求实数 的取值范围.【答案】【解析】- 10 -【分析】利用分式不等式的解法化简集合 利用绝对值不等式的解法化简集合 ，再由 ,根据并集的定义直接求实数 的取值范围.【详解】集合 或 ，若 ，则 ，得 ，所以实数 的取值范围 .【点睛】集合的基本运算的关注点：（1）看元素组成集
16、合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提；（2）有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决；（3）注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和 图18.已知关于 的不等式 有解，求关于 的不等式 的解.【答案】【解析】【分析】由关于 的不等式 有解，可知， ,又由 ,分或 或 三种情况，解出不等式的解即可得到结果.【详解】由于关于 的不等式 有解，则 ，即 或 ，又由 等价于 ,则当 时， ，所以不等式 的解为 ，当 时，不等式无解，当 时, ,- 11 -所以不等式 的解为 .【点睛】分类讨论思想的常见类型 问题中
17、的变量或含有需讨论的参数的，要进行分类讨论的； 问题中的条件是分类给出的； 解题过程不能统一叙述，必须分类讨论的； 涉及几何问题时，由几何元素的形状、位置的变化需要分类讨论的.19.设函数 （1）判断函数的奇偶性；（2）探究函数 ， 上的单调性，并用单调性的定义证明【答案】 （1）奇函数；（2）单调递增，证明见解析【解析】试题分析：（1）由函数可得函数的定义域关于原点对称，再化简得 ，即可判定函数的奇偶性；（2）利用函数的单调性的定义，即可证明函数 在 上的单调递增试题解析：（1） 的定义域 ，为奇函数；（2）函数 在 上的单调递增，证明： ， ，任取 ，且则，且 ， ， ，则 ，即 函数 在
18、 上的单调递增考点：函数的性质的判定与证明【方法点晴】本题主要考查了函数的性质的判定与证明，其中解答中涉及到函数奇偶性的判定与证明，函数的单调性的判定与证明，函数单调性的定义等知识点的综合考查，着重考查- 12 -了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解得中熟记函数的奇偶性和单调性的判定方法是解答的关键，试题比较基础，属于基础题20.运货卡车以每小时 x 千米的速度匀速行驶 130 千米，按交通法规限制 50 x100（单位：千米/时） 假设汽油的价格是每升 2 元，而汽车每小时耗油 升，司机的工资是每小时 14 元（1）求这次行车总费用 y 关于 x 的表达式；（2）当
19、x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值【答案】 （1）y ，x50,100 （2）当 x 时，这次行车的总费用最低，最低费用为 元【解析】试题分析：（1）由行车所以时间 小时，即可列出行车总费用 关于 的表达式；（2）由（1）知，利用基本不等式求解最值，即可求解结论试题解析：（1）行车所以时间 小时， ； 6 分（2） ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以当 时，这次行车的总费用最低，最低费用为 元12 分考点：函数的解析式；基本不等式的应用【方法点晴】本题主要考查了实际问题的应用，其中解答中涉及到函数的解析式、基本不等式的求最值及其应用等知识点的综合考查，注重考查了学生分析问题
20、和解答问题的能力，以及推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，此类问题的解答中准确审题，根据题设条件，列出关系式是解答的关键21.对于函数 ，若存在实数 ,使 成立，则称 为的不动点.（1）当 时，求 的不动点；（2）若对于任意的实数 函数 恒有两个相异的不动点，求实数 的取值范围；- 13 -（3）在（2）的条件下，若 的图象上 两点的横坐标是函数 的不动点，且直线是线段 的垂直平分线，求实数 的取值范围.【答案】 （1） ；（2） ；（3） .【解析】【分析】(1)设 为不动点，则有 ,变形为 ,解方程即可；(2)将 转化为，由已知，此方程有相异二实根，则有 恒成立，可得 ，由 可得结果
21、；(3)由垂直平分线的定义解答，由 两点的横坐标是函数 的不动点,则有 ,再由直线 是线段 的垂直平分线，得到 ，再由中点在直线上可得 利用基本不等式求解即可 .【详解】 ，（1）当 时， ，设 为其不动点，即 ,则 ,即 的不动点是 .(2)由 得 ，由已知，此方程有相异二实根，则有 恒成立即 ，即 对任意 恒成立， .(3)设 ，直线 是线段 的垂直平分线， ，- 14 -记 的中点 ，由（2）知 ，在 上， ，化简得 （当 时，等号成立）即 ，即 .【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系、直线的方程以及利用基本不等式求最值与新定义问题，属于难题.新定义题型的特点是：通过给出一个新概念，或约定一种新运算，或给出几个新模型来创设全新的问题情景，要求考生在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的.遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求， “照章办事” ，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决.
