1、- 1 -山西大学附属中学 2017-2018学年高二 3月月考（理）数学一、选择题：共 12题1.若直线 的倾斜角为 ，则A. 等于 B. 等于 C. 等于 D. 不存在【答案】C【解析】【分析】由题意结合倾斜角的定义确定倾斜角即可.【详解】绘制直线 如图所示，由直线倾斜角的定义可知 等于 .本题选择 C选项.【点睛】本题主要考查直线方程的理解，直线倾斜角的定义及其确定等知识，意在考查学生的转化能力和概念掌握程度.2.函数 的导数为 （ ）A. B. C. D. 1【答案】B【解析】- 2 -函数的导数 ，故选 B.3.已知空间向量 ， ，则“ ”是 “ ”的A. 充分不必要条件 B. 必要
2、不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】由题意结合向量垂直的充分必要条件求得实数 x的值，然后确定“ ”与“ ”的关系即可.【详解】由向量垂直的充分必要条件可得，若 ，则 ，解得： ， ，据此可知：“ ”是“ ”的充分不必要条件.本题选择 A选项.【点睛】本题主要考查向量垂直的充分必要条件及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.4.设 是不同的直线， 是不同的平面，有以下四个命题：若 ， ，则 若 ， ，则若 ， ，则 若 ， ，则 .其中真命题的序号为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】由题意结合立体几何的结论逐一考查所给的说
3、法是否正确即可.【详解】逐一考查所给的命题：如图所示，正方体 中，取平面 为平面 ，平面 ，直线 为，满足 ， ，但是不满足 ，题中所给的命题错误；由面面垂直的性质定理可知若 ， ，则 ，题中所给的命题正确；- 3 -如图所示，正方体 中，取平面 为 ，直线 为 ，直线 为 ，满足 ， ，但是 ，不满足 ，题中所给的命题错误；由面面垂直的性质定理可知若 ， ，则 ，题中所给的命题正确.综上可得：真命题的序号为.本题选择 D选项.【点睛】本题考查了空间几何体的线面位置关系判定与证明：（1）对于异面直线的判定要熟记异面直线的概念：把既不平行也不相交的两条直线称为异面直线；（2）对于线面位置关系的判
4、定中，熟记线面平行与垂直、面面平行与垂直的定理是关键.5.若直线 和圆 没有交点，则过点 的直线与椭圆 的交点个数为（ ）A. 0个 B. 至多一个 C. 1 个 D. 2 个【答案】D【解析】试题分析：由题设可得 ,即 ,又 ,故点 在椭圆内,所以过点的直线必与椭圆相交于两个点,故应选 D考点：直线与圆的位置关系及椭圆的几何性质6.焦点为 且与双曲线 有相同渐近线的双曲线方程是- 4 -A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由题意利用待定系数法求解双曲线的方程即可.【详解】设双曲线的方程为： ，即 ，据此可知： ， ， ，据此可得： ，解得： ，代入式可得双曲线方程是 .本题选择
5、 B选项.【点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据 a， b， c， e及渐近线之间的关系，求出 a， b的值如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为 ，再由条件求出 的值即可.7.如图,已知三棱柱 的侧棱与底面边长都相等, 在底面 上的射影为 的中点 D,则异面直线 与 所成的角的余弦值为A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】- 5 -利用平移法首先找到异面直线所成的角，然后结合空间几何体的结构特征求解异面直线 与所成的角的余弦值即可.【详解】由三棱柱的性质可知： ，
6、则 或其补角为异面直线 与 所成的角，不妨设三棱柱的棱长为 ，则 ，在 中，由余弦定理可得： ，据此可得：异面直线 与 所成的角的余弦值为 .本题选择 D选项.【点睛】平移线段法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面直线的问题化归为共面直线问题来解决，具体步骤如下：平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；计算：求该角的值，常利用解三角形；取舍：由异面直线所成的角的取值范围是 ，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角8.椭圆 + =1的左、右焦点分别为 F1,F2,弦 AB过点 F1,若 ABF
7、2的内切圆周长为 , A,B两点的坐标分别为( x1,y1)和( x2,y2),则 |y2-y1|的值为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先确定内切圆半径，然后利用等面积法求解 |y2-y1|的值即可.- 6 -【详解】设内切圆半径为 ，由题意可得： ，则 ，由椭圆的方程可知： ，则 的周长为： ，设 的面积为 ，利用等面积法可得： ，即： ，解得： .本题选择 A选项.【点睛】本题主要考查焦点三角形的处理方法，圆与三角形内切的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.9.已知平面区域 ， .若命题“ ”为真命题，则实数 m的最大值为A. B. C. D. 【答案
8、】B【解析】【分析】首先求得 Z的最小值，然后结合恒成立的条件求得 m的取值范围，最后确定 m的最大值即可.【详解】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数 表示点 与可行域内点的连线的斜率，数形结合可知，目标函数在点 处取得最小值，联立直线方程： ，可得点的坐标为： ，据此可知目标函数的最小值为： .由恒成立的条件可得： ，即实数 m的最大值为 .本题选择 B选项.- 7 -【点睛】(1)本题是线性规划的综合应用，考查的是非线性目标函数的最值的求法(2)解决这类问题的关键是利用数形结合的思想方法，给目标函数赋于一定的几何意义10.一个几何的三视图如图所示，则表面积为A. B. 或C. 或
9、 D. 【答案】B【解析】如下图，三视图还原，有两种可能，图 1为一个边长为 3正方体切去一个左上角，图 2为一个边长为 3正方体切去一个左上角，一下右下角。图 1的表面积为，图 2的表面积为 。选 B.- 8 -11.如图，P 是正四面体 V-ABC的面 VBC上一点，点 P到平面 ABC距离与到点 V的距离相等，则动点 P的轨迹是( )A. 直线 B. 抛物线C. 离心率为 的椭圆 D. 离心率为 3的双曲线【答案】C【解析】分析：由题设条件将点 P到平面 ABC距离与到点 V的距离相等转化成在面 VBC中点 P到 V的距离与到定直线 BC的距离比是一个常数，依据圆锥曲线的第二定义判断出其
10、轨迹的形状详解：正四面体 VABC面 VBC不垂直面 ABC，过 P作 PD面 ABC于 D，过 D作DHBC 于 H，连接 PH，可得 BC面 DPH，所以 BCPH，故PHD 为二面角 VBCA 的平面角令其为 则 RtPGH 中，|PD|：|PH|=sin（ 为 VBCA 的二面角的大小） 又点 P到平面 ABC距离与到点 V的距离相等，即|PV|=|PD|PV|：|PH|=sin1，即在平面 VBC中，点 P到定点 V的距离与定直线 BC的距离之比是一个常数 sin，又在正四面体 VABC，VBCA 的二面角的大小 有：sin= 1，- 9 -由椭圆定义知 P点轨迹为椭圆在面 SBC内
11、的一部分故答案为：C点睛：（1）本题主要考查二面角、椭圆的定义、轨迹方程等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想(2)解答本题的关键是联想到圆锥曲线的第二定义.12.如图，在三棱锥 中， ， ，则三棱锥的外接球的表面积为A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】首先求得外接球半径，然后求解外接球的表面积即可.【详解】设 CD的中点为 ，由余弦定理可得： ，很明显 为等腰三角形，则 ，据此有： ，由勾股定理的逆定理可得： ，很明显 ，以 P为原点， PC为 x轴正方向， PB为 y轴正方向， PA为 x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.易知 ，设球心坐标为 ，
12、由 OA=OB=OC=OD可得：- 10 -，解得： ，则外接球半径： ，其表面积： .本题选择 A选项.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.二、填空题：共 4题13.命题“若 ，则 ”的否命题是_【答案】若 ，则【解析】- 11 -命题的否命题需要同时否定条件和结论，则命题“若 ，则 ”的否命题是若 ，则 .14.已知 在斜二测画法下的平面直观图
13、是边长为 的正三角形，那么原的面积为_.【答案】【解析】【分析】由题意结合斜二测画法原图形与所得图形面积的比值关系求解 的面积即可.【详解】设原图形的面积为 ，斜二测画法所得图形的面积为 ，由斜二测画法可知： ，题中 ，则原 的面积为 .【点睛】本题主要考查斜二测画法及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.15.已知抛物线 的准线与双曲线 交于 两点，点 F为抛物线的焦点，若为正三角形，则双曲线的离心率是_.【答案】【解析】分析：求得抛物线 y2=4x的准线为 x=1，焦点 F（1，0） ，把 x=1 代入双曲求得 y的值，再根据FAB 为正三角形，可得 tan30= ，解得 a
14、的值，可得 的值详解：已知抛物线 y2=4x的准线为 x=1，焦点 F（1，0） ，把 x=1 代入双曲线 求得 y= ，- 12 -再根据FAB 为正三角形，可得 tan30= = ，解得 a= 故 c 2= +4， ，故答案为： 点睛：（1）本题主要考查椭圆、抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)求离心率常用的有直接法和方程法，本题利用的是直接法，直接先求 a和 c的值,再求离心率. 16.已知直线 上总存在点 ，使得过 点作的圆 ： 的两条切线互相垂直，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】分析：若直线 l上总存在点 M使得过点
15、 M的两条切线互相垂直，只需圆心（1，2）到直线l的距离 ，即可求出实数 m的取值范围详解：如图，设切点分别为 A，B连接 AC，BC，MC，由AMB=MAC=MBC=90及 MA=MB知，四边形 MACB为正方形，故 ，若直线 l上总存在点 M使得过点 M的两条切线互相垂直，只需圆心（1，2）到直线l的距离 ，即 m28m200，2m10，故答案为：2m10.点睛：（1）本题主要考查直线和圆的位置关系，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分- 13 -析推理能力数形结合的思想方法.(2)解答本题的关键是分析出 .三、解答题：共 6题17.命题 方程 表示双曲线；命题 不等式 的解集是 . 为假
16、， 为真，求 的取值范围.【答案】【解析】分析：先化简命题 p和 q,再根据 为假， 为真得到 真 假或 假 真，最后得到 m的不等式组，解不等式组即得 m的取值范围.详解： 真： ，真： 或 因为 为假， 为真所以 真 假或 假 真，真 假得 假 真得 范围为 .点睛：（1）本题主要考查命题的化简和复合命题的真假，意在考查学生对这些知识的掌握水平.(2) 复合命题真假判定的口诀：真“非”假，假“非”真，一真“或”为真，两真“且”才真.18.三棱柱 中， 分别是 、 上的点，且 ， .设， ， .(1)试用 表示向量 ；(2)若 ， ， ，求 MN的长.【答案】(1) . (2)- 14 -【
17、解析】【分析】(1)由空间向量的运算法则结合三棱柱的空间结构特征可得 .(2)由题意计算可得 ，结合(1)的结论可知 .【详解】(1) = = .(2)= ，即 ，所以 .【点睛】本题主要考查空间向量的运算法则，空间向量模的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.19.已知点 P(2,2)，圆 C： x2 y28 y0，过点 P的动直线 l与圆 C交于 A， B两点，线段 AB的中点为 M， O为坐标原点.(1)求 M的轨迹方程；(2)当| OP| OM|时，求 l的方程.【答案】(1) M的轨迹方程是( x1) 2( y3) 22 (2) x3 y80【解析】【分析】(1)圆 C的
18、方程即 x2( y4) 216，设 M(x， y)，则 ( x， y4)， (2 x,2 y).由 0 可得 M的轨迹方程是( x1) 2( y3) 22.(2)由题意结合(1)的结论可得 M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 为半径的圆.结合几何关系可知， l的斜率为 ，故 l的方程为 x3 y80.【详解】(1)圆 C的方程可化为 x2( y4) 216，所以圆心为 C(0,4)，半径为 4.设 M(x， y)，则 ( x， y4)， (2 x,2 y).由题设知 0，故 x(2 x)( y4)(2 y)0，即( x1) 2( y3) 22.由于点 P在圆 C的内部，所以 M的轨迹方程是(
19、 x1) 2( y3) 22.(2)由(1)可知 M的轨迹是以点 N(1,3)为圆心， 为半径的圆.- 15 -由于| OP| OM|，故 O在线段 PM的垂直平分线上，又 P在圆 N上，从而 ON PM.因为 ON的斜率为 3，所以 l的斜率为 ，故 l的方程为 x3 y80.【点睛】本题主要考查轨迹方程的求解，直线与圆的位置关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.20.已知曲线 .(1)求曲线 在点 处的切线方程；(2)求与直线 平行的曲线 的切线方程.【答案】(1) (2) 或 .【解析】【分析】(1)由题意可得 ，切线的斜率为 ，据此可得切线方程为 .(2)设与直线 平行的切
20、线的切点为 ，由导函数与切线的关系可得 ，则切线方程为 或 .【详解】(1) ， ，求导数得 ，切线的斜率为 ，所求切线方程为 ，即 .(2)设与直线 平行的切线的切点为 ，则切线的斜率为 .又所求切线与直线 平行， ，解得 ，代入曲线方程 得切点为 或 ，所求切线方程为 )或 )，即 或 .【点睛】本题主要考查导函数研究函数的切线方程及其应用，导数的几何意义等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.21.如图,在等腰梯形 ABCD中, AB CD,AD=DC=CB=1, ABC=60,四边形 ACFE为矩形,平面ACFE平面 ABCD,CF=1.- 16 -(1)求证: BC平面 ACF
21、E;(2)点 M在线段 EF上运动,设平面 MAB与平面 FCB所成二面角的平面角为 ( 90 ),试求cos 的取值范围.【答案】(1)见解析(2) , 【解析】【分析】(1)由题意结合勾股定理和余弦定理可证得 BC AC，结合面面垂直的性质定理可得 BC平面ACFE.(2)以 CA,CB,CF所在的直线为 x轴, y轴, z轴建立空间直角坐标系,由题意可得平面 MAB的一个法向量 n1=(1, , - )，平面 FCB的一个法向量 n2=(1,0,0)，则 cos =，结合三角函数的性质可得 cos , .【详解】(1)在梯形 ABCD中, AB CD,AD=DC=CB=1, ABC=60
22、, AB=2, AC2=AB2+BC2-2ABBCcos 60=3, AB2=AC2+BC2, BC AC.又平面 ACFE平面 ABCD,平面 ACFE平面 ABCD=AC,BC平面 ABCD, BC平面 ACFE.(2)由(1)知,可分别以 CA,CB,CF所在的直线为 x轴, y轴, z轴建立如图所示的空间直角坐标系,令 FM= (0 ),则 C(0,0,0),A( ,0,0),B(0,1,0),M( ,0,1), =(- ,1,0), =( ,-1,1).设 n1=(x,y,z)为平面 MAB的法向量,由 ,得 ,取 x=1,则 n1=(1, , - )为平面 MAB的一个法向量,-
23、17 -易知 n2=(1,0,0)是平面 FCB的一个法向量, cos = .0 , 当 =0时, cos 有最小值 , 当 = 时, cos 有最大值 , cos , .【点睛】本题主要考查面面垂直的性质定理及其应用，空间直角坐标系的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.22.已知椭圆 的离心率为 ，且过点 .(1)求椭圆的方程；(2)若过点 且斜率为 k的直线 l与椭圆相交于不同的两点 A,B，试问在 x轴上是否存在点 ，使 是与 无关的常数？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】(1) (2)答案见解析.【解析】【分析】(1)由题意结合椭圆的离心率和椭圆的性质
24、可得 ，则椭圆方程为 .(2)假设在 x轴上存在点 M(m,0),使 是与 k无关的常数，设直线 L方程为，联立直线方程与椭圆方程，设 ，结合韦达定理可得，设常数为 t= ，讨论计算可得 ，即在 x轴上存在点 M( )，使 是与 k无关的常数.- 18 -【详解】(1)椭圆离心率为 ， ， .又椭圆过点( ，1)，代入椭圆方程，得 .所以 .椭圆方程为 ，即 .(2)在 x轴上存在点 M ，使 是与 k无关的常数.证明：假设在 x轴上存在点 M(m,0),使 是与 k无关的常数，直线 L过点 C(-1，0)且斜率为 k, L方程为 ，由 得 .设 ，则 ,=设常数为 t，则- 19 -整理得 对任意的 k恒成立，解得 ，即在 x轴上存在点 M( )，使 是与 k无关的常数.【点睛】(1)解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去 x(或 y)建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系(2)涉及到直线方程的设法时，务必考虑全面，不要忽略直线斜率为 0或不存在等特殊情形
