1、- 1 -荆州市 2018 年高中二年级学年质量检查数学（文史类）第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知复数 满足 ，则 （ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：利用复数代数形式的除法运算化简即可.详解： ，.故选：B.点睛：本题考查复数代数形式的除法运算，考查了复数模的求法，是基础题.2. 设 ， ，则“ ”是“ ”的（ ）A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】C【解析】当 ， 时，满足 ，则当 ， 时， ，则当 ，
2、 时， ，则当 ， 时， 无解 可推出当 时， ，满足- 2 -当 时，满足当 时， ，满足 可推出综上， “ ”是“ ”的充要条件故选 C3. 已知命题 ， ；若 是真命题，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】分析： 是真命题，则 是假命题，求出即可.详解： 是真命题，则 是假命题，即 在 上恒成立，即 在 上恒成立，.故选：D.点睛：本题借助命题的否定，考查了函数恒成立问题，属于基础题.4. 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则该双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：先根据渐近线方程求得 a 和 b 的关系，即可求得离心率.详
3、解：渐近线方程整理得 ，而双曲线方程的渐近线为 ，.故选：A.点睛：本题考查双曲线的离心率的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质.- 3 -5. 函数 的单调增区间为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：先求 的定义域，再求导，然后令 即可.详解： 的定义域为 ，令 ，解得 ，即 的单调增区间为 .故选：B.点睛：本题考查利用导数求函数的单调区间的知识，属于基础题，利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆6. 过点 和 ，且圆心在直线 上的圆的方程是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：由题意可得 AB 的垂直平分
4、线的方程，可得圆心，再由距离公式可得半径，可得圆的方程.详解：由题意可得 AB 的中点为 ， ，AB 的垂直平分线的方程 ，即 ，联立 ，解得 ，即圆心为 ，又半径 ，所求圆的方程为 .故选：A.点睛：1确定一个圆的方程，需要三个独立条件 “选形式、定参数”是求圆的方程的基本- 4 -方法，是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数2解答圆的问题，应注意数形结合，充分运用圆的几何性质，简化运算7. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】由题设当 时， ；当 时，；当 时， ；当 时，运算程序结束，输出 ，应选答案 B。
5、8. 若 ， 满足约束条件 ，则 的最小值是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】分析：由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得答案.详解：作出可行域如图：- 5 -联立 ，解得 ，化目标函数 为 ，由图可知，当直线 过 时，直线在 轴上的截距最大， 有最小值为：.故选：C.点睛：线性规划问题的解题步骤：(1)作图画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平行直线系中过原点的那一条直线；(2)平移将 l 平行移动，以确定最优解的对应点的位置；(3)求值解方程组求出对应点坐标(即最优解)，代入目
6、标函数，即可求出最值9. 双曲线 的离心率为 ，其渐近线与圆 相切，则该双曲线的方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由题意得到 则双曲线的渐近线方程为 渐近线与圆相切， 则双曲线方程为： .故答案为：A.- 6 -10. 已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，抛物线上有一点 ，过点 作 ，垂足为 ，且 ，若 的面积为 ，则 等于（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】分析：由 可知 为等边三角形，根据面积可求出 ，根据抛物线的性质即可求出 p 的值.详解：如图所示，根据 可知 为等边三角形，设等边三角形的边长为 a，且 的面积为 ，解得 ，.故选：B.点睛：本题考查了抛物
7、线的方程、性质，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题.11. 定义在 上的函数 满足 ， ，则不等式 的解集为（ ）A. B. C. D. 【答案】B- 7 -【解析】分析：根据题意，设 ，对其求导分析可得 在区间 上递减，利用 的值可得 的值，进而将原不等式转化为 ，结合函数的单调性、定义域，分析可得答案.详解：根据题意，设 ，则 ，又由函数 定义在 上，且有 ，则 ，则 在区间 上递减，若 ，则 ，则 ，即不等式的解集为 .故选：B.点睛：本题考查函数的导数与函数的单调性之间的关系，关键是构造函数 ，并分析其单调性.12. 已知定义在区间 上的函数 与函数 的图象上存在关于 轴对称的点
8、，则实数 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】分析：根据题意，可以将原问题转化为方程 在区间 上有解，构造函数 ，利用导数分析 的最大最小值，可得 的值域，进而分析可得方程在区间 上有解，从而可得答案.详解：根据题意，已知定义在区间 上的函数 与函数 的图象上存在关于 轴对称的点，则方程 在区间 上有解，即 在区间 上有解，设函数 ， ，- 8 -又由 ， 在 有唯一的极值点，分析可得， 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增故 ，又由 ， ，故函数 在 的值域为 ，若方程 在区间 上有解，必有 ，则有 ，即 的取值范围是 .故选：A.点睛：本题考查了构造函数法求方程的
9、解及参数范围，关键是将已知存在关于 x 轴对称的点转化为方程 在 上有解.第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13. 某工厂生产的 ， 两种型号的玻璃中分别随机抽取 个样品进行检查，对其硬度系数进行统计，统计数据用茎叶图表示（如图所示） ，则 组数据的众数和 组数据的中位数分别为_【答案】 和【解析】分析：利用茎叶图的性质、质数、中位数的定义求解.详解：由茎叶图知，P 组数据的众数为 22，Q 组数据的中位数为 ，故答案为： 和 .点睛：本题考查众数、中位数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意利用茎叶图的性- 9 -质、众数、中位数的定义的合理
10、运用.14. 已知函数 ，在区间 上任取一个实数 ，则 的概率为_【答案】【解析】分析：由 ,可得 ，利用几何概型概率公式可得结果.详解： ，由 ，可得 ，的概率为 ，故答案为 .点睛：本题題主要考查“长度型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与长度有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总长度以及事件的长度.15. 直线 与曲线 交于两点，且这两点关于直线 对称，则_【答案】2【解析】分析：由题意可得圆心 在直线 上，可得 b，由两直线垂直的条件，可得 a，即可得到所求.详解：直线 与曲线 交于两点，且这两点关于直线 对称，可得圆心 在直线 上
11、，可得 ，又由两直线垂直的条件，得 ，可得 ，故答案为：2.点睛：本题考查直线和圆的位置关系，注意运用对称性，考查两直线垂直的条件：斜率之积为-1，考查方程思想和运算能力，属于基础题.- 10 -16. 设函数 ，若直线 与函数 的图象在 上只有一个交点，则实数的取值范围是_【答案】【解析】分析：利用导函数 在 的单调性和极值，图象与直线 只有一个交点，即可求出实数 的取值范围.详解： ，令 得 ， 递增；令 得 ， 递减；，又 ，由数形结合可得： 或 .故答案为： .点睛：本题主要考查导函数探究单调性的应用，考查了数形结合思想，属于中档题.三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答
12、应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 2018 年 2 月 25 日第 23 届冬季奥动会在韩国平昌闭幕，中国以 金 银 铜的成绩结束本次冬奥会的征程，某校体育爱好者协会对某班进行了“本届冬奥会中国队表现”的满意度调查(结果只有“满意”和“不满意”两种)，按分层抽样从该班学生中随机抽取了 人，具体的调查结果如下表：某班 满意 不满意男生女生（1）若该班女生人数比男生人数多 人，求该班男生人数和女生人数；（2）若从该班调查对象的女生中随机选取 人进行追踪调查，记选中的 人中“满意”的人数为 ，求 时对应事件的概率.【答案】 （1） ， ;（2） .- 11 -【解析】分析：（1）根据分
13、层抽样的比例关系列方程组得出男女人数；（2） 时对应的事件是从 名女生中选取 人进行追踪调查，恰有一人持满意态度，设该事件为 .不妨用 ， ， ， 表示持满意态度的女生，用 ， 来表示持不满意态度的女生，利用列举法能求出 时对应事件的概率.详解：（1）设该班女生人数 ，男生人数为 ，则 又由分层抽样可知： 联立、得 ，（2） 时对应的事件是从 名女生中选取 人进行追踪调查，恰有一人持满意态度，设该事件为 .不妨用 ， ， ， 表示持满意态度的女生，用 ， 来表示持不满意态度的女生，则 中包含的基本事件可表示为 ， ， ， ， ， ， ， 共有种基本事件的总数可表示为 ， ， ， ， ， ， ，
14、 ， ， ， ， ， ， 共 种所以点睛：本题考查分层抽样的应用，考查概率的求法，考查列举法等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.18. 已知椭圆 的离心率为 ，且椭圆 过点 .（1）求椭圆 的方程；（2） 为坐标原点，设与直线 垂直的直线交椭圆 于不同的 、 两点，求 的取值范围.【答案】 （1） ;（2） .【解析】分析：（1） ，再把点 代入椭圆方程，以及利用 即可求- 12 -出 ， ，从而求得椭圆 的方程；（2）设直线 的方程为 ，联立直线 方程与椭圆方程，利用韦达定理表示出， ，从而整理即可得到答案.详解：（1）又 又点 在椭圆上， 由得 ，所求椭圆 的方程（2） ， ，设直线
15、的方程为则 消去 得： - 13 -设 ， ，则 ， ，则 ，所以， 的取值范围是 .点睛：本题考查椭圆方程的求法，考查向量的数量积的取值范围的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式和韦达定理的合理运用.19. 已知函数 （ 为常数）.（1）当 时，求曲线 在点 处的切线方程；（2）若函数 的极小值为 ，求 的值.【答案】 （1） ;（2） .【解析】分析：（1）把 代入 ，求出 ，求导，得到 ，利用点斜式即可求得切线方程；（2）对原函数求导，分类讨论即可.详解：（1）当 时， ， ，切线方程为 ，即（2） ， ，当 时， ，函数 在 上单调递增，此时无极值；当 时，令 ，则 ，当 时， ，
16、在 上单调递减，当 时， 在 上单调递增所以函数 在 处取得极小值 ，无极大值- 14 - ，则点睛：本题考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了利用导数求函数的极值，是中档题.20. 已知椭圆 的焦距为 ，且 ，圆 经过椭圆 的两个焦点.（1）求椭圆 的方程；（2）设圆 的切线 交椭圆 于点 ， ，求 的取值范围.【答案】 （1） ;（2） .【解析】分析：（1） ，由此可得 ，又单位圆 经过椭圆 的焦点，求得 ，即可求得椭圆 的方程；（2）分直线 的斜率不存在与存在两种情况讨论即可.详解：（1） ， ，又单位圆 经过椭圆 的焦点，所以椭圆 的方程为（2）当直线 的斜率不存在时，不妨取
17、直线 的方程为解得 ， ，当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ， ，因为直线 与圆 相切.所以 ，即- 15 -由 ，可得， ， 令 ，则 ，所以所以 ，所以综上， 的取值范围是点睛：直线与圆锥曲线的相交弦的弦长(1)将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去 y(或 x)后得到关于 x(或 y)的一元二次方程ax2 bx c0(或 ay2 by c0)(2)当 0 时，直线与圆锥曲线有两个交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)，由根与系数的关系求出x1 x2 ， x1x2 ，则弦长为| AB| |x1 x2| - 16 -|y1 y2| (k 为直线的斜率且 k0)，当 A， B 两点坐
18、标易求时也可直接用| AB| 求出21. 已知函数 ， ， .（1）求函数 的单调区间；（2）若关于 的不等式 恒成立，求整数 的最小值.【答案】 （1）见解析；（2） .【解析】分析：（1）先求导，再根据导数和函数单调性的关系即可求出；（2）令 ，根据导数和函数单调性的关系，分类讨论，即可求出函数 的最值问题得以证明.详解：（1）令 ，得 ，由 得 ，又 的增区间为由 得 或 ，又 的减区间为（2）令所以- 17 -当 时，因为 ，所以 ，所以 是 上的递增函数又因为 ，所以关于 的不等式 不能恒成立.当 时， ，令 得 ，所以当 时， ；当 时， .因此函数 的 上是增函数，在 上是减函数
19、故函数 的最大值为 令 ，则 在 上是减函数，因为 ，所以当 时， ，所以整数 的最小值为 .点睛：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，考查数学转化思想方法，是高考试题中的压轴题型.22. 随着我国经济模式的改变，电商已成为当今城乡种新型的购销平台.已知经销某种商品的电商在任何一个销售季度内，每售出 吨该商品可获利润 万元，未售出的商品，每吨亏损 万元根据往年的销售资料，得到该商品一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.已知电商为下一个销售季度筹备了 吨该商品，现以 单位:吨， )表示下一个销售季度的市场需求量， (单位:万 元)表示该电商下“个销售季度内经销该商品获得的利润.
20、- 18 -（1）视 分布在各区间内的频率为相应的概率，求 ；（2）将 表示为 的函数，求出该函数表达式；（3）在频率分布直方图的市场需求量分组中，若以市场需求量落入该区间的频率作为市场需求量的概率，求该季度利润不超过 万元的概率.【答案】 （1）0.7；（2） ；（3）0.3.【解析】分析：（1）根据频率分布直方图及两两互斥事件概率的可加性得；（2）当 时， ，当 时，即可得出；（3）由 得 ，由（1）知，利润不超过 万元的概率为 .详解：（1）根据频率分布直方图得.（2）当 时，当 时，所以 .（3）由 得由（1）知，利润不超过 万元的概率为 .点睛：对于统计图表类题目，最重要的是认真观察图表，从中提炼有用的信息和数据
