1、- 1 -2017-2018 学年度下学期期末考试高二年级数学理科试卷第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设复数 ，则 （ ）1iz|zA B C D02122.已知随机变量 服从正态分布 ，则 （ ）2(0,)N(4)0.8P(0)PA B C D.16.3.63.某公司为确定明年投入某产品的广告支出，对近 年的广告支出 与销售额 （单位：百5xy万元）进行了初步统计，得到下列表格中的数据： x3040m5070y2568经测算，年广告支出 与年销售额 满足线性回归方程 ，则 的值为（
2、xy.17.yxm）A B C D 45505604.将 本不同的书全部分给甲乙丙三若，每人至少一本，则不同的分法总数为（ ）A B C. D012135.用数学归纳法证明不等式 的过程中，从2nn1(,)2nN到 时左边需增加的代数式是（ ）nkA B 121kC. Dk26.若 的二项展开式各项系数和为 ， 为虚数单位，则复数 的运算结果为(13)nx56i(1)ni（ ）A B C. D616447.若函数 是 上的单调函数，则实数 的取值范围是（ ）32yxmRm- 2 -A B C. D1(,)31(,31,)31(,)38.已知 均为正实数，则下列三个数 ， ， （ ）abcab4
3、c9aA都大于 B至少有一个不大于 C.都小于 D至少有一个4不小于9.甲、乙两支球队进行比赛，预定先胜 局者获得比赛的胜利，比赛随即结束.结束除第五局甲队获胜的概率是 外，其余每局比赛甲队获胜的概率都是 .假设各局比赛结果相互独1223立.则甲队以 获得比赛胜利的概率为（ ）3:A B C. D2814782716810.有 张卡片分别写有数字 ，从中任取 张，可排出不同的四位数个数为（ 71,34）A B C. D80212011.已知 ，若 ，则4axd2018()ax2018()bxbxR的值为（ ）201812bbA B C. D1212.定义在 上的偶函数 的导函数 ，若对任意的正
4、实数 ，都有R()fx()fxx恒成立，则使 成立的实数 的取值范围为（ ）2()2fxf221A B C. D,1(,)(1,)(,0),|x第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）13.袋中装有 个黑球， 个白球，甲乙按先后顺序无放回地各摸取一球，在甲摸到了黑球的43条件下，乙摸到白球的概率是 14.在二项式 的展开式中， 的系数为 51()2x2x15.若函数 在 内有且只有一个零点，则 在 上3()faR(0,)()fx1,的最大值与最小值的和为 - 3 -16.对于三次函数 ，定义：设 是函数 的导数32()(0)fxabcxda()fx()
5、fx的导数，若方程 有实数解 ，则称点 为函数 的()yfx()f 0,y“拐点”.有同学发现“任何一个三次函数都有拐点 ；任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心.”请你将这一发现视为条件，若函数 ，32()fxx则它的对称中心为 ；并计算 12()(08ff017()0188f三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 袋中装有 个大小相同的黑球和白球.已知从袋中任意摸出 个球，至少得到 个白球的10 21概率是 .79（1）求白球的个数；（2）从袋中任意摸出 个球，记得到白球的个数为 ，求随机变量 的分布列和数学期望.3X1
6、8. 已经函数 .()2ln,fxaxR（）讨论函数 的单调区间；（）若函数 在 处取得极值，对 ， 恒成立，求实数()fx1(0,)x(3fxb的取值范围.b19. 某企业响应省政府号召，对现有设备进行改造，为了分析设备改造前后的效果，现从设备改造前后生产的大量产品中各抽取了 件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项20质量指标值落在 内的产品视为合格品，否则为不合格品.如图是设备改造前的样本的20,4频率分布直方图，表 是设备改造后的样本的频数分布表.1- 4 -表：设备改造后样本的频数分布表质量指标值15,20,25,30,53,40,45频数 4369282（1）完成下面的 列联表，
7、并判断是否有 的把握认为该企业生产的这种产品的质量2%指标值与设备改造有关；设备改造前 设备改造后 合计合格品不合格品合计（2）根据频率分布直方图和表 提供的数据，试从产品合格率的角度对改造前后设备的优劣进行比较；（3）企业将不合格品全部销毁后，根据客户需求对合格品进行登记细分，质量指标值落在内的定为一等品，每件售价 元；质量指标值落在 或 内的定为25,024020,53,二等品，每件售价 元；其它的合格品定为三等品，每件售价 元.根据表 的数据，用180 11该组样本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的频率代替从所有产品中抽到一件相应等级产品的概率.现有一名顾客随机购买两件产品，设其支
8、付的费用为 （单位：元） ，求x的分布列和数学期望.x附： 20()PKk.150.10.05.025.0127276384146352()(nadbc20.已知函数 .2(xfe（1）若 ，证明：当 时， ；a0()1fx（2）若 在 有两个零点，求 的取值范围. ()fx,)a21. 已知函数 .ln()xR- 5 -（1）若曲线 与直线 相切，求实数 的值；()yfx10ya（2）若函数 有两个零点 ，证明 .f12,x12lnx请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.在直角坐标系 中，曲线 过点 ，其参数方程为 （ 为参数）.以xOy1C(0,)
9、P13xtyt坐标原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为2C.2cos40（1）求 的普通方程和 的直角坐标方程；1C2（2）若 与 交于 ， 两点，求 的值.12AB1|PAB23.设函数 的最小值为 .()|2|fxxm（1）求实数 的值；（2）已知 ，且满足 ，求证： .2abab1492ab- 6 -试卷答案一、选择题1-5: AADCB 6-10: CCDBC 11、12：B、A二、填空题13. 14. 15. 16. 、125231(,2)403三、解答题17. 解：（1）设黑球的个数为 ，则白球的个数为 .x0x记两个都是黑球得的事件为 ，则至少有
10、一个白球的事件与事件 为对立事件AA所以 ，解得 ，所以白球的个数为 2107()9xCpA5x5（2）离散型随机变量 X 的取值可能为： 0,123， ，0351()2PXC5310()CP， ，5310(2) 5310()2X所以 的分布列为X 23P125125112因为 服从超几何分布， ，所以X3,0nMN32nMEN18. 解：（）在区间 上， .(0)()axfx- 7 -若 ，则 ， 是区间 上的减函数；0a()0fx()f(0,)若 ，令 得 .1a在区间 上， ，函数 是减函数；1(,)a()fx()fx在区间 上， ，函数 是增函数；0综上所述，当 时， 的递减区间是 ，
11、无递增区间；()fx(0,)当 时， 的递增区间是 ，递减区间是 a()f1,)a1(,)a（II）因为函数 在 处取得极值，所以x)f解得 ，经检验满足题意1由已知 ，则()3fb1lnxb令 ，则lnxg21ln2()xg易得 在 上递减，在 上递增，()0,2e2,e所以 ，即 .min1()x2b19. .解：（1）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表完成下面的 列联表：2设备改造前 设备改造后 合计合格品 172192364不合格品 88合计 000将 列联表中的数据代入公式计算得：22()(bdnacKb24(17289)036412.06.35有 的
12、把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与设备改造有关9%（2）根据设备改造前的样本的频率分布直方图和设备改造后的样本的频数分布表- 8 -可知，设备改造前产品为合格品的概率约为 1724305设备改造后产品为合格品的概率约为 9设备改造后产品合格率更高，因此，设备改造后性能更优（3）由表 知：1一等品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件一等品的概率为 ；2 12二等品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件二等品的概率为 ；3 3三等品的频率为 ，即从所有产品中随机抽到一件三等品的概率为 16 6由已知得：随机变量 的取值为： .X240,36,2048， ，(240)3PX1()9PC，
13、，12153668C12()3X.(8)4随机变量 的分布列为：X2030360420480P13619518131.5()442834EX20. （1）证明：当 时，函数 .则 ，1a()xfe()2xfe令 ，则 ，令 ，得 .()2xge()xg0gln当 时， ，当 时，0,ln0hln2,)()hx在 单调递增，()fx(1fx（2）解： 在 有两个零点 方程 在 有两个根，f(,)20xea(,)在 有两个根，2xea0,即函数 与 的图像在 有两个交点 ，y2()xeG(0,)3(2)xeG- 9 -当 时， ， 在 递增(0,2)x()0Gx(),2当 时， ， 在 递增x)所
14、以 最小值为，当 时， ，当 时，()x2()4e0(Gxx， 在 有两个零点时， 的取值范围是 ()G()fx0,)a2(,)4e21. 解：（1）由 ，得 ，设切点横坐标为 ，依题意得，lnfa1()fx0x解得 00lnaxx0（2）不妨设 ，由 ，得 ，1212lnxa2121ln()xax即 ，所以21lnxa，2112lxax21()2lnxx1221lnx设 ，则 ， ，21tx21ln0x2121llnxtt设 ，则 ，即函数 在 上递减，()lgtt2()0tg()gt1,)所以 ，从而 ，即()10t2121lnxx21lnx22. 解：（1）由 （ 为为参数） ，可得 的普通方程为13xtyt1C310xy又 的极坐标方程为 ，即 ，2C2cos4022cos4s所以 的直角坐标方程为 yx- 10 -（2） 的参数方程可化为 （ 为参数） ，1C123xtyt代入 得： ，2234()0tt设 ， 对应的直线 C1的参数分别为 ，则 ， ，AB12,t124(3)t124t即 ，120,t所以 .12|PABt124(3)2t23. 解：（1）函数 ()|fxx1|(1)2|3xx故 的最小值 .()fx3m（2）由（1）得 ，故 ，25ab2ab故 414()()24()1ab，)5292ab当且仅当 ，即 时“ ”成立 ()78,3ab
