1、1二元一次方程(组)及其应用一.选择题1. （2018湖北荆州3 分） 九章算术是中国传统数学名著，其中记载：“今有牛五、羊二，直金十两；牛二、羊五，直金八两问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有 5 头牛，2 只羊，值金 10 两；2 头牛，5 只羊，值金 8 两问每头牛、每只羊各值金多少两？”若设每头牛、每只羊分别值金 x 两、y 两，则可列方程组为（ ）A BC D【解答】解：由题意可得，故选：A2. （2018湖北十堰3 分）我国古代数学著作九章算术卷七有下列问题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数、物价几何？”意思是：现在有几个人共同出钱去买件物品，如果每人出 8 钱，
2、则剩余 3 钱：如果每人出 7 钱，则差 4 钱问有多少人，物品的价格是多少？设有 x 人，物品的价格为 y 元，可列方程（组）为（ ）A BC D =【分析】设有 x 人，物品的价格为 y 元，根据所花总钱数不变列出方程即可【解答】解：设有 x 人，物品的价格为 y 元，根据题意，可列方程： ，故选：A【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系3. （2018乐山3 分）方程组 = =x+y4 的解是（ ）A B C D解：由题可得： ，消去 x，可得22（4 y）=3y，解得 y=2，把 y=2 代入 2x=3y，可得x=
3、3，方程组的解为 故选 D4 （2018辽宁大连3 分）孙子算经中记载了一道题，大意是：100 匹马恰好拉了100 片瓦，已知 1 匹大马能拉 3 片瓦，3 匹小马能拉 1 片瓦，问有多少匹大马、多少匹小马？设有 x 匹大马，y 匹小马，根据题意可列方程组为 解：由题意可得： 故答案为： 二.填空题1.（2018云南省曲靖3 分）一个书包的标价为 115 元，按 8 折出售仍可获利 15%，该书包的进价为 80 元【解答】解：设该书包的进价为 x 元，根据题意得：1150.8x=15%x，解得：x=80答：该书包的进价为 80 元故答案为：80三.解答题1. （2018广西贺州8 分）某自行车
4、经销商计划投入 7.1 万元购进 100 辆 A 型和 30 辆B 型自行车，其中 B 型车单价是 A 型车单价的 6 倍少 60 元（1）求 A.B 两种型号的自行车单价分别是多少元？（2）后来由于该经销商资金紧张，投入购车的资金不超过 5.86 万元，但购进这批自行年的总数不变，那么至多能购进 B 型车多少辆？【解答】解：（1）设 A 型自行车的单价为 x 元/辆，B 型自行车的单价为 y 元/辆，根据题意得： ，解得： 答：A 型自行车的单价为 260 元/辆，B 型自行车的单价为 1500 元/辆（2）设购进 B 型自行车 m 辆，则购进 A 型自行车（130m）辆，根据题意得：260
5、（130m）+1500m58600，解得：m20答：至多能购进 B 型车 20 辆32.（2018云南省昆明8 分）（列方程（组）及不等式解应用题）水是人类生命之源为了鼓励居民节约用水，相关部门实行居民生活用水阶梯式计量水价政策若居民每户每月用水量不超过 10 立方米，每立方米按现行居民生活用水水价收费（现行居民生活用水水价=基本水价+污水处理费） ；若每户每月用水量超过 10 立方米，则超过部分每立方米在基本水价基础上加价 100%，每立方米污水处理费不变甲用户 4 月份用水 8 立方米，缴水费 27.6 元；乙用户 4 月份用水 12 立方米，缴水费 46.3 元 （注：污水处理的立方数=
6、实际生活用水的立方数）（1）求每立方米的基本水价和每立方米的污水处理费各是多少元？（2）如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水多少立方米？【分析】 （1）设每立方米的基本水价是 x 元，每立方米的污水处理费是 y 元，然后根据等量关系即可列出方程求出答案（2）设该用户 7 月份可用水 t 立方米（t10） ，根据题意列出不等式即可求出答案【解答】解：（1）设每立方米的基本水价是 x 元，每立方米的污水处理费是 y 元解得：答：每立方米的基本水价是 2.45 元，每立方米的污水处理费是 1 元（2）设该用户 7 月份可用水 t 立方米（t10）102.4
7、5+（t10）4.9+t64解得：t15答：如果某用户 7 月份生活用水水费计划不超过 64 元，该用户 7 月份最多可用水 15 立方米【点评】本题考查学生的应用能力，解题的关键是根据题意列出方程和不等式，本题属于中等题型3 （2018重庆市 B 卷） （4.00 分）为实现营养套餐的合理搭配，某电商推出两款适合不同人群的甲、乙两种袋装的混合粗粮甲种袋装粗粮每袋含有 3 千克 A 粗粮，1 千克 B 粗粮，1 千克 C 粗粮；乙种袋装粗粮每袋含有 1 千克 A 粗粮，2 千克 B 粗粮，2 千克 C 粗粮甲、乙两种袋装粗粮每袋成本分别等于袋中的 A.B.C 三种粗粮成本之和已知每袋甲种粗粮的
8、成本是每千克 A 种粗粮成本的 7.5 倍，每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮售价高20%，乙种袋装粗粮的销售利润率是 20%当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为 24%时，该电商销售甲、乙两种袋装粗粮的袋数之比是 （商品的销售利润率=4100%）【分析】根据每袋甲种粗粮的成本是每千克 A 种粗粮成本的 7.5 倍，可得甲的成本，乙的成本；根据乙种袋装粗粮的销售利润率是 20%，可得乙的售价，根据每袋乙种粗粮售价比每袋甲种粗粮售价高 20%，可得甲的售价，根据甲的利润+乙的利润=（甲的成本+乙的成本）24%，根据等式的性质，可得答案【解答】解：设 A 的单价为 x 元，B 的单价为 y 元，C 的单
9、价为 z 元，当销售这两款袋装粗粮的销售利润率为 24%时，该电商销售甲的销售量为 a 袋，乙的销售量为 b 袋，由题意，得A 一袋的成本是 7.5x=3x+y+z，化简，得y+z=4.5x；乙一袋的成本是 x+2y+2z=x+2（y+z）=x+9x=10x，乙一袋的售价为 10x（1+20%）=12x，甲一袋的售价为 10x根据甲乙的利润，得（10x7.5x）a+20%10xb=（7.5xa+10xb）24%化简，得2.5a+2b=1.8a+2.4b0.7a=0.4b= ，故答案为： 【点评】本题考查了二元一次方程的应用，利润、成本价与利润率之间的关系的应用，理解题意得出等量关系是解题的关键
10、4. （2018莱芜10 分）快递公司为提高快递分拣的速度，决定购买机器人来代替人工分拣已知购买甲型机器人 1 台，乙型机器人 2 台，共需 14 万元；购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 3 台，共需 24 万元（1）求甲、乙两种型号的机器人每台的价格各是多少万元；（2）已知甲型和乙型机器人每台每小时分拣快递分别是 1200 件和 1000 件，该公司计划购买这两种型号的机器人共 8 台，总费用不超过 41 万元，并且使这 8 台机器人每小时分拣快递件数总和不少于 8300 件，则该公司有哪几种购买方案？哪个方案费用最低，最低费用是多少万元？【分析】 （1）利用二元一次方程组解决问题；5（2
11、）用不等式组确定方案，利用一次函数找到费用最低值【解答】解：（1）设甲型机器人每台价格是 x 万元，乙型机器人每台价格是 y 万元，根据题意得解这个方程组得：答：甲、乙两种型号的机器人每台价格分别是 6 万元、4 万元（2）设该公可购买甲型机器人 a 台，乙型机器人（8a）台，根据题意得解这个不等式组得a 为正整数a 的取值为 2，3，4，该公司有 3 种购买方案，分别是购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台购买甲型机器人 3 台，乙型机器人 5 台购买甲型机器人 4 台，乙型机器人 4 台设该公司的购买费用为 w 万元，则 w=6a+4（8a）=2a+32k=20w 随 a 的增大而增大
12、当 a=2 时，w 最小，w 最小 =22+32=36（万元）该公司购买甲型机器人 2 台，乙型机器人 6 台这个方案费用最低，最低费用是 36 万元【点评】本题是一次函数综合题，考查列一次函数解析式、一次函数增减性、二元一次方程组和不等式组的应用5. （2018陕西8 分）经过一年多的精准帮扶，小明家的网络商店（简称网店）将红枣、小米等优质土特产迅速销往全国，小明家网店中红枣和小米这两种商品的相关信息如下表：商品 红枣 小米规格 1kg/袋 2kg/袋成本（元/袋） 40 386售价（元/袋） 60 54根据上表提供的信息，解答下列问题：(1)已知今年前五个月，小明家网店销售上表中规格的红枣
13、和小米共 3000kg，获得利润 42 万元，求这前五个月小明家网店销售这种规格的红枣多少袋；(2)根据之前的销售情况，估计今年 6 月到 10 月这后五个月，小明家网店还能销售上表中规格的红枣和小米共 2000kg，其中，这种规格的红枣的销售量不低于600kg假设这后五个月，销售这种规格的红枣味 x（ kg） ，销售这种规格的红枣和小米获得的总利润为 y（元） ，求出 y 与 x 之间的函数关系式，并求出这后五个月，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润多少元【答案】 （1）前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 1500 袋，销售小米 750 袋；（2）小明家网店销售这种规格的红枣
14、和小米至少获得总利润 23200 元【解析】 【分析】 （1）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 a 袋，销售小米b 袋，根据等量关系：销售红枣和小米共 3000kg，获得利润 42 万元，列方程组进行求解即可得；（2）根据总利润=红枣的利润+小米的利润，可得 y 与 x 间的函数关系式，根据一次函数的性质即可得答案.【详解】 （1）设前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 a 袋，销售小米 b 袋，根据题意得： ，解得： ，答：前五个月小明家网店销售这种规格的红枣 1500 袋，销售小米 750 袋；（2）根据题意得：y(6040)x(5438) 12x16000，k=120，y 随 x
15、的增大而增大，x600，当 x600 时，y 取得最小值，最小值为 y126001600023200，小明家网店销售这种规格的红枣和小米至少获得总利润 23200 元【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，弄清题意，找出各个量之间的关系是解题的关键.6.（2018湖北咸宁10 分）为拓宽学生视野，引导学生主动适应社会，促进书本知识和生活经验的深度融合，我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动，在参加此次活动的师生中，若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所
16、示7甲种客车 乙种客车载客量/（人/辆） 30 42租金/（元/辆） 300 400学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过 3100 元，为了安全，每辆客车上至少要有2 名老师（1）参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人？（2）既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆客车上至少要有 2 名老师，可知租用客车总数为 辆；（3）你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由【答案】 （1）老师有 16 名，学生有 284 名；（2）8；（3）共有 3 种租车方案，最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆【解析】 【分析】 （1）设老师有 x 名，学生有
17、 y 名，根据等量关系：若每位老师带 17 个学生，还剩 12 个学生没人带；若每位老师带 18 个学生，就有一位老师少带 4 个学生，列出二元一次方程组，解出即可；（2）由（1）中得出的教师人数可以确定出最多需要几辆汽车，再根据总人数以及汽车最多的是 42 座的可以确定出汽车总数不能小于 = （取整为 8）辆，由此即可求出；（3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8x）辆，由题意得出400x+300（8x）3100，得出 x 取值范围，分析得出即可【详解】 （1）设老师有 x 名，学生有 y 名，依题意，列方程组为 ，解得： ，答：老师有 16 名，学生有 284 名；（2）每辆客车
18、上至少要有 2 名老师，汽车总数不能大于 8 辆；又要保证 300 名师生有车坐，汽车总数不能小于 = （取整为 8）辆，综合起来可知汽车总数为 8 辆，故答案为：8；（3）设租用 x 辆乙种客车，则甲种客车数为：（8x）辆，8车总费用不超过 3100 元，400x+300（8x）3100，解得：x7，为使 300 名师生都有座，42x+30（8x）300，解得：x5，5x7（x 为整数） ，共有 3 种租车方案：方案一：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆，租车费用为 2900 元；方案二：租用甲种客车 2 辆，乙种客车 6 辆，租车费用为 3000 元；方案三：租用甲种客车 1 辆，乙种客车 7 辆，租车费用为 3100 元；故最节省费用的租车方案是：租用甲种客车 3 辆，乙种客车 5 辆【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，弄清题意找准等量关系列出方程组、找准不等关系列出不等式组是解题的关键.7.（2018江苏常州8 分）解方程组和不等式组：（1）【分析】 （1）方程组利用加减消元法求出解即可【解答】解：（1） ，+得：x=2，把 x=2 代入得：y=1，所以方程组的解为： ；【点评】此题考查了解二元一次方程组，熟练掌握运算法则是解本题的关键
