1、第3课时 与椭圆、抛物线相关的轨迹方程、 最值范围问题,热点考向一 轨迹方程问题 考向剖析:本考向常在选择题、填空题及解答题的第一问中出现,基础题和中档题较多.主要考查圆锥曲线方程的几种常见求法,如定义法、待定系数法、交轨法以及曲线方程的一般求法等等.2019年高考本考向仍是考查热点,考查形式不会有大的变化.,【典例1】如图,在平面直角坐标中,过F(1,0)的直线FM与y轴交于点M,直线MN与直线FM垂直,且与x轴交于点N,T是点N关于直线FM的对称点,点T的轨迹为曲线C.,(1)求曲线C的方程. (2)椭圆E的中心在坐标原点,F为其右焦点,且离心率 为 ,过点F的直线l与曲线C交于A,B两点
2、,与椭圆交于 P,Q两点,请问:是否存在直线使A,F,Q是线段PB的四等 分点?若存在,求出直线l的方程;若不存在,请说明理由.,【审题导引】(1)要求曲线C的方程,只要设T(x,y),设 直线_的方程求出M的坐标,根据FMMN,进而求出N的 坐标.由T是点N关于直线FM的对称点,即可得曲线C的方 程.,FM,(2)假设存在直线l.设出直线l的方程,由图形可知,必有2AF=FB.联立方程,利用根与系数的关系,再分别验证即可.,【解析】(1)设T(x,y),可知FM的斜率必存在,故设直线 FM的方程为y=k(x-1) 令x=0,得M(0,-k),所以当k0时,直线MN的方程为 y+k=- x.
3、令y=0,得N(-k2,0),因为T是点N关于直线FM的对称点,所以T的坐标x,y满足消去k得y2=4x,当k=0时得T(0,0). 曲线C的方程为y2=4x.,(2)因为椭圆E的中心在坐标原点,F(1,0)为其右焦点, 且离心率为 ,所以椭圆的方程为 假设存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点, 当直线l的斜率不存在或为0时,显然不满足题意. 设直线l的方程为y=m(x-1)(m0). 由图形可知,必有2AF=FB.,设A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得my2-4y-4m=0; =16+16m20,所以y1+y2= ,y1y2=-4; 因为2AF=FB,所以 =-2, 又因为
4、解得m=2 .,当m=2 时,直线l的方程为y=2 (x-1), 此时解得A B(2,2 ). 由 得 可得yB2yQ,所以点Q不是FB的中点,所以A,F,Q不是线 段PB的四等分点.,同理m=-2 时,也可得A,F,Q不是线段PB的四等分点. 综上,不存在直线l使A,F,Q是线段PB的四等分点.,【名师点睛】求轨迹方程的常用方法 (1)直接法:直接利用条件建立x,y之间的关系F(x,y)=0. (2)待定系数法:已知所求曲线的类型,求曲线方程. (3)定义法:先根据条件得出动点的轨迹是某种已知曲线,再由曲线的定义直接写出动点的轨迹方程.,(4)代入(相关点)法:动点P(x,y)依赖于另一动点
5、Q(x0,y0)的变化而运动,常利用代入法求动点P(x,y)的轨迹方程.,【考向精练】 1.已知抛物线的方程为C:x2=4y,过点Q(0,2)的一条直线与抛物线C交于A,B两点,若抛物线在A,B两点的切线交于点P. (1)求点P的轨迹方程. (2)设直线PQ与直线AB的夹角为,求tan 的取值范围.,【解析】(1)由过Q的直线与抛物线交于两点可知,直线 AB不与x轴垂直,故可设lAB:y=kx+2, 则 整理得:x2-4kx-8=0 , =16k2+320,故kR时均满足题目要求. 设交点坐标为 则x1,x2为方程的两根, 故由根与系数的关系可知,x1+x2=4k,x1x2=-8.,将抛物线方
6、程转化为 则 故A点处的切线 方程为 整理得 同理可得,B点处的切线方程为 记两条切线 的交点P(xP,yP),联立两条切线的方程,解得点P坐标为故点P的轨迹方程为y=-2,xR.,(2)当k=0时,xP=0,yP=-2,此时直线PQ即为y轴,与直线 AB的夹角为 . 当k0时,记直线PQ的斜率 又由于直线AB的斜率为k,且已知直线AB与直线PQ的夹 角,2.(2018成都一模)已知点C为圆(x+1)2+y2=8的圆 心,P是圆上动点,点Q在圆的半径CP上,且有点A(1,0)和 AP上的点M,满足,(1)当P在圆上运动时,求点Q的轨迹方程. (2)若斜率为k的直线l与圆x2+y2=1相切,与(
7、1)中所求点 Q的轨迹交于不同的两点F,H,O是坐标原点,且时,求k的取值范围.,【解析】(1)由题意知MQ是线段AP的垂直平分线,所以 |CP|=|QC|+|QP|=|QC|+|QA|=2 |CA|=2 所以点Q的轨迹是以点C,A为焦点,焦距为2,长轴为2 的椭圆, 所以点Q的轨迹方程为 +y2=1.,(2)设直线l:y=kx+b,F(x1,y1),H(x2,y2) 直线l与圆x2+y2=1相切 b2=k2+1, 联立 (1+2k2)x2+4kbx+2b2-2=0, =16k2b2-4(1+2k2)2(b2-1)=8(2k2-b2+1)=8k20k0,=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x
8、2+kb(x1+x2)+b2,所以,【加练备选】 1.(2018南充市第一次高考适应性考试)已知椭圆 (ab0)的左右焦点分别为F1,F2,左顶点为 A,|F1F2|=2,椭圆的离心率e= . (1)求椭圆的标准方程. (2)若P是椭圆上任意一点,求 的取值范围.,【解析】(1)由已知可得2c=2, 所以a=2,c=1, 因为a2=b2+c2 所以b= , 所以椭圆的标准方程为,(2)设P(x0,y0),又A(-2,0),F1(-1,0) 所以 因为P点在椭圆 上, 所以 且-2x02, 所以,函数f(x0)= 在-2,2上单调递增, 当x0=-2时,f(x0)取最小值为0; 当x0=2时,f
9、(x0)取最大值为12. 所以 的取值范围是0,12.,2.已知M是直线l:x=-1上的动点,点F的坐标是(1,0),过M的直线l与l垂直,并且l与线段MF的垂直平分线相交于点N.,(1)求点N的轨迹C的方程. (2)设曲线C上的动点A关于x轴的对称点为A,点P的坐标为(2,0),直线AP与曲线C的另一个交点为B(B与A不重合),是否存在一个定点T,使得T,A,B三点共线?若存在,求出点T的坐标;若不存在,请说明理由.,【解析】(1)由题意可知:|NM|=|NF|,即曲线C为抛物线,焦点坐标为F(1,0), 准线方程为l:x=-1, 所以点N的轨迹C的方程为y2=4x.,(2)设A 则A 直线
10、AP的斜率 直线AP的方程y= (x-2), 由,整理得:ay2-(a2-8)y-8a=0, 设B(x2,y2),则ay2=-8,则y2= ,x2= , 则B 又A 所以AB的方程为y+a=- 令y=0,则x=-2,直线AB与x轴交于定点T(-2,0), 因此存在定点(-2,0),使得T,A,B三点共线.,热点考向二 圆锥曲线中的最值范围问题高频考向 考向剖析:本考向考查的形式为解答题,是压轴大题,主 要考查与圆锥曲线有关的范围、最值问题,既有对圆锥 曲线的性质、曲线与方程关系的研究,又对最值范围问 题有所青睐,它能综合应用函数、三角、不等式等有关 知识,紧紧抓住圆锥曲线的定义进行转化,充分展
11、现数,形结合、函数与方程、化归与转化等数学思想在解题中的应用.2019年高考该考向仍是考查热点.,类型一 圆锥曲线中参数的最值范围问题 【典例2】(2018衡水二模)如图,椭圆C1: (ab0)的左右焦点分别为F1,F2,离心率为 ;过抛物 线C2:x2=4by焦点F的直线交抛物线于M,N两点,当|MF|= 时,M点在x轴上的射影为F1,连接NO,MO并延长分别交 C1于A,B两点,连接AB;OMN与OAB的面积分别记为,SOMN,SOAB,设=,(1)求椭圆C1和抛物线C2的方程. (2)求的取值范围.,【大题小做】,【解析】(1)由抛物线定义可得M 因为点M在抛物线x2=4by上, 所以c
12、2= 即c2=7b-4b2 又由 得c2=3b2,将上式代入,得7b2=7b,解得b=1,所以c= ,所以a=2, 所以曲线C1的方程为 +y2=1,曲线C2的方程为x2=4y.,(2)设直线MN的方程为y=kx+1, 由 消去y整理得x2-4kx-4=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4, 设kON=m,kOM=m,则mm= 所以m= , 设直线ON的方程为y=mx(m0),由 解得xN=4m, 所以|ON|= |xN|=4m , 由可知,用 代替m,可得 |OM|=,由 解得xA= 所以|OA|= |xA|= 用- 代替m,可得|OB|=,所以=,当且仅当m= 时等
13、号成立. 所以的取值范围为2,+).,类型二 圆锥曲线中面积的最值范围问题 【典例3】(2018绵阳二模)如图,已知抛物线C1: y2=4x的焦点为F,椭圆C2的中心在原点,F为其右焦点, 点M为曲线C1和C2在第一象限的交点,且|MF|= . 世纪金榜导学号,(1)求椭圆C2的标准方程. (2)设A,B为抛物线C1上的两个动点,且使得线段AB的中点D在直线y=x上,P(3,2)为定点,求PAB面积的最大值.,【审题导引】(1)要求C2的方程,设左焦点为E,只要求 出_的长度即可. (2)要求PAB面积的最值,只要将面积表示成参数的函 数,然后求函数最值即可.,ME,【解析】(1)设椭圆C1的
14、方程为 (ab0),半 焦距为c, 由已知得点F(1,0),则c=1, 设点M(x0,y0)(x00,y00), 由抛物线的定义,得:|MF|=x0+1= , 则x0= .,从而y0= ,所以点M 设点E为椭圆的左焦点, 则E(-1,0),|ME|= 根据椭圆定义,得2a=|ME|+|MF|= =6,则a=3. 从而b2=a2-c2=8,所以椭圆C2的标准方程是,(2)设点D(m,m),A(x1,y1),B(x2,y2),则 =4x1, =4x2, 两式相减,得 - =4(x1-x2),即 因为D为线段AB的中点,则y1+y2=2m, 所以直线AB的斜率k=,从而直线AB的方程为y-m= (x
15、-m), 即2x-my+m2-2m=0, 联立 得y2-2my+2m2-4m=0, 则y1+y2=2m,y1y2=2m2-4m.,所以|AB|=|y1-y2| 设点P到直线AB的距离为d, 则d= 所以SPAB= |AB|d= |6-4m+m2|,由4m-m20,得00,得0t,从而f(t)在(0, )上是增函数,在( ,2上是减函数, 所以f(t)max=f( )=2 , 故PAB面积的最大值为2 .,【名师点睛】圆锥曲线中的最值问题类型较多,解法灵活多变,但总体上主要有两种方法: 一是利用几何法,即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解;,二是利用代数法,即把要求
16、最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式),然后利用函数方法、不等式方法等进行求解.,【考向精练】 1.已知椭圆C: (ab0)的短轴长为2 ,离心 率为 ,点A(3,0),P是C上的动点,F为C的左焦点. (1)求椭圆C的方程. (2)若点P在y轴的右侧,以AP为底边的等腰ABP的顶点 B在y轴上,求四边形FPAB面积的最小值.,【解析】(1)依题意得 解得 所以椭圆C的方程是,(2)设P(x0,y0)(- 0),设线段AP中 点为M, 因为A(3,0),所以AP中点M 直线AP斜率为 由ABP是以AP为底边的等腰三角形,所以BMAP, 所以直线AP的垂直平分线方程为,令x
17、=0,得B 因为 所以B 由F(-2,0),得四边形FPAB面积 S=,当且仅当2|y0|= 即y0= 时等号成立,四边形 FPAB面积的最小值为5 .,2.(2018江苏高考)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭 圆C过点 焦点F1(- ,0),F2( ,0),圆O的直径 为F1F2. 世纪金榜导学号,(1)求椭圆C及圆O的方程. (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为 , 求直线l的方程.,【解析】(1)因为椭圆C的焦点为F1(- ,0), F2( ,0),可设椭圆C的方程为 (ab0)
18、.又点在椭圆C上, 所以 解得,因此,椭圆C的方程为 +y2=1. 因为圆O的直径为F1F2,所以其方程为x2+y2=3.,(2)设直线l与圆O相切于P(x0,y0)(x00,y00),则 所以直线l的方程为y=- (x-x0)+y0,即y=- x+ 由 消去y,得(4 )x2-24x0x+36-4 =0.(*),因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点, 所以=(-24x0)2-4(4 )(36-4 )=48 ( -2)=0. 因为x0,y00,所以x0= ,y0=1. 因此,点P的坐标为( ,1).,因为三角形OAB的面积为 ,所以 ABOP= , 从而AB= .设A(x1,y1),B(x2,y2), 由(*)得x1,2= 所以AB2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=,因为 所以AB2= 即 解得 ( =20舍去),则 = ,因此P的坐标为综上,直线l的方程为y=- x+3 .,
