1、解答题双规范案例之 立体几何问题,【重在“化归”】几何法:将立体几何问题转化为平面几何问题.将异面直线夹角,线面角,二面角等空间角转化为平面角求解.,代数法:将几何问题转化为代数问题,用空间向量解题.推理与证明:分析法找思路:将面面问题转化为线面问题,将线面问题转化为线线问题.综合法证明:线线关系推出线面关系,线面关系推出面面关系.,【思维流程】,【典例】(12分)(2018全国卷)如图, 边长为2的正方形ABCD所在的平面与半 圆弧 所在平面垂直,M是 上异于C,D的点.,(1)证明:平面AMD平面BMC. (2)当三棱锥M-ABC体积最大时, 求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.,切入
2、点:联想到面面垂直的判定定理 关键点:确定三棱锥M-ABC体积最大时,点M的位置,【标准答案】 【解析】(1)由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD. 因为BCCD,BC平面ABCD, 1分 所以BC平面CMD,故BCDM. 2分 因为M为 上异于C,D的点,且DC为直径, 所以 DMCM.,又 BCCM=C,所以DM平面BMC. 3分 而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC. 4分 (2)以D为坐标原点, 的方向为x轴正方向,建立如图 所示的空间直角坐标系D-xyz. 6分,当三棱锥M-ABC体积最大时,M为 的中点. 7分 由题设得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0
3、),C(0,2,0), M(0,1,1),=(-2,1,1), =(0,2,0), =(2,0,0), 8分 设n=(x,y,z)是平面MAB的法向量, 则 即,可取n=(1,0,2). 9分是平面MCD的法向量,因此cos= = , 10分 sin= , 所以平面MAB与平面MCD所成二面角的正弦值是 . 12分,【阅卷现场】 第(1)问踩点得分 由条件得出BCCD,并写出BC平面ABCD得1分,没有BC平面ABCD扣1分. 得出BCDM得1分. 得出DM平面BMC,得1分.,得出结论得1分,如果没有写出DM平面AMD扣1分. 第(2)问踩点得分 正确建立空间直角坐标系得2分. 确定M为 的中点得1分. 正确写出点的坐标,并求出相应向量的坐标得1分. 正确求出平面MAB的法向量得1分.,正确求出n与 夹角的余弦值得1分. 正确计算出n与 夹角的正弦值得2分.,
