1、1专题 25 带电粒子在匀强磁场中运动的多解、临界问题一、带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题1求解带电粒子在磁场中运动多解问题的技巧（1）分析题目特点，确定题目多解的形成原因。（2）作出粒子的运动轨迹示意图（全面考虑多种可能性） 。（3）若为周期性重复的多解问题，寻找通项式，若是出现几种解的可能性，注意每种解出现的条件。2许多临 界问题、题干中常用“恰好” 、 “最大” 、 “至少” 、 “不相撞” 、 “不脱离”等词语对临界状态给以暗示，审题时一定要抓住此类特定的词语，挖掘出隐藏的规律，找出临界条件。3 （1）分析多解问题的关键是要全面分析各种可能性，找出题目多解形成的原因，以免造成漏解。（
2、2）针对周期性多解问题，可以通过分析第一周期或前几个周期的运动规律，寻找周期运动的通解并注意在有其他条件限制的情况下，通解可能变为有限个解或单一解。问题一 带电粒子电性不确定形成多解受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度条件下，正、负粒子在磁场中的运动轨迹不同，因而形成多解。如图甲所示，带电粒子以速度 v 垂直进入匀强磁场，如带正电，其轨迹为 a，如带负电，其轨迹为b。【题 1】如图所示，宽度为 d 的有界匀强磁场，磁感应强度为 B， MM和 NN是它的两条边界。现有质量为 m、电荷量为 q 的带电粒子沿图示方向垂直磁场射入。要使粒子不能从边界 NN射出，则粒子入射
3、速率 v 的最大值可能是多少？【答案】（ 2 2） Bqdm2又 d RR2解得 v（ 2 2） Bqdm若 q 为负电荷，轨迹如图所示的下方与 NN相切的 圆弧 ，则轨道半径 R34 mvBq又 d RR 2解得 v （ 2 2） Bqdm问题四运动的往复性（周期性）形成多解带电粒子在部分是电场、部分是磁场的空间运动时，往往具有往复性（周期性） ，因而形成多解，如图丁所示。【题 4】某装置用磁场控制带电 粒子的运动，工作原理如图所示。装置的长为 L，上、下两个相同的矩形区域内存在匀强磁场 ，磁感应强度大小均为 B、方向与纸面垂直且相反，两磁场的间距为 d。装置右端有一收集板， M、 N、 P
4、 为板上的三点， M 位于轴线 OO上， N、 P 分别位于下方磁场的上、下边界上。在纸面内，质量为 m、电荷量为 q 的粒子以某一速度从装置左端的中点射入，方向与轴线成 30角，经过上方的磁场区域一次，恰好到达 P 点。改变粒子入射速度的大小，可以控制粒子到达收集板上的位置。不计粒子重力。3（1）求磁场区域的宽度 h；（2）欲使粒子到达收集板的位置从 P 点移到 N 点，求粒子入射速度的最小变化量 v；（3）欲使粒子到达 M 点，求粒子入射速度大小的可能值。【答案】 （1） （ L d） （1 ） （2） （ d） （3） （ d） （1 n 1， n 取整数）23 3 32 qBm L6
5、34 qBm Ln 1 3 3L3d又由 h r（1cos 30）联立解得： h（ L d） （1 ）23 3 32（2）设改变入射速度后粒子在磁场中的轨道半径为 r，则有 qvB m 及 qv B m v2r v 2r又由几何关系得 3rsin 304 rsin 30联立解得 v v v （ d）qBm L6 34（3）设粒子经过磁场 n 次，则由几何关系得 L（2 n2） rnsin 30（2 n2） /tan 30d2又由 qvnB m ， v2nrn解得 vn （ d） （1 n 1， n 取整数） qBm Ln 1 3 3L3d【题 5】如图所示，在 NOQ 范围内有垂直于纸面向里的
6、匀强磁场，在 MOQ 范围内有垂直于纸面向外的匀强磁场， M、 O、 N 在一条直线上， MOQ60，这两个区域磁场的磁感应强度大小均为 B。离子源中的离子带电荷量为 q，质量为 m，通过小孔 O1进入两板间电压为 U 的加速电场区域（可认为初速度为零） ，离子经电场加速后由小孔 O2射出，再从 O 点进入磁场区域，此时速度方向沿纸面垂直于磁场边界MN，不计离子的重力。4（1）若加速电场两极板间电压 U U0，求离子进入磁场后做圆周运动的半径 R0；（2）在 OQ 上有一点 P， P 点到 O 点的距离为 L，若离子能通过 P 点，求加速电压 U 和从 O 点到 P 点的运动时间。【答案】 （
7、1） （2） ，其中 n1，2，3，1B2U0mq nm3qB（2）离子进入磁场后的运动轨迹如图所示，由几何关系可知 OP P P R要保证离子通过 P 点，则需满足 L nR解得 U ，其中 n1，2，3，B2L2q2mn2离子在磁场中运动的周期 T2 mqB故离子从 O 点到 P 点运动的总时间 t n ，其中 n1，2，3，T2 3 nm3qB【题 6】如图甲所示， M、 N 为竖直放置彼此平行的两块平板，板间距离为 d，两板中央各有一个小孔O、 O正对，在两板间有垂直于纸面方向的磁场，磁感应强度随时间的变化如图乙所示。有一群正离子在t0 时垂直于 M 板从小孔 O 射入磁场已知正离子质
8、量为 m、带电荷量为 q，正离子在磁场中做匀速圆周运动的周期与磁感应强度变化的周期都为 T0，不考虑由于磁场变化而产生的电场的影响，不计离子所受重力及离子之间的相互作用。求：5（1）磁感应强度 B0的大小；（2）要使正离子从 O垂直于 N 板射出磁场，正离子射入磁场时的速度 v0的可能值。【答案】 （1） （2） （ n1，2，3，）2 mqT0 d2nT0联立求解，得正离子的速度的可能值为 v0 （ n1，2，3，）B0qRm d2nT0二、带电粒子在匀强磁场中运动的临界问题1解决带电粒子的临界问题的技巧方法以题目中的“恰好” “最大” “最高” “至少”等词语为突破口，运用动态思维，寻找临
9、界点，根据粒子的速度方向找出半径方向，借助半径 r 和速度 v（或磁感应强度 B）之间的约束关系进行动态运动轨迹分析，确定轨迹圆和边界的关系，同时由磁场边界和题设条件画好轨迹、定好圆心，建立几何关系，找出临界点，确定临界状态，如：（1）刚好穿出磁场边界的条件是带电粒子在磁场中运动的轨迹与边界相切，据此可以确定速度、磁感应强度、轨迹半径、磁场区域面积等方面的极值。（2）当速度 v 一定时，弧长（或弦长）越大，圆心角越大，则带电粒子在有界磁场中运动的时间越长（前提条件为弧是劣弧） 。6（3）当速率变化时，圆心角大的，运动时间长。（4）在圆形匀强磁场中，当运动轨迹圆半径大于区域圆半径时，则入射点和出
10、射点为磁场直径的两个端点时（所有的弦长中直径最长） ，轨迹对应的偏转角最大。【题 7】 （多选）如图，垂直于纸面向里的匀强磁场分布在正方形 abcd 区域内， O 点是 cd 边的中点。一个带正电的粒子仅在 磁场力的作用下，从 O 点沿纸面以垂直于 cd 边的速度射入正方形内，经过时间 t0后刚好从 c 点射出磁场。现设法使该带电粒子从 O 点沿纸面以与 Od 成 30角的方向，以大小不同的速率射入正方形内，那么下列说法中正确的是A若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 cd 边射出磁场53B若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 ad 边射出磁场23C若该带电粒子在磁
11、场中经历的时间是 t0，则它一定从 bc 边射出磁场54D若该带电粒子在磁场中经历的时间是 t0，则它一定从 ab 边射出磁场【答案】ACc 点射出磁场可知，带电粒子在磁场中做圆周运动的周期是 2t0。可知，从 ad 边射出磁场经历的时间一定小于 t0；从 ab 边射出磁场经历的时间一定大于等于 t0，小于 t0；从 bc 边射出磁场经历的时间一13 13 56定大于等于 t0，小于 t0；从 cd 边射出磁场经历的时间一定是 t0。56 43 53【题 8】以原速率反弹且电荷量不变，其上方有一腰长为 2a， 45的等腰直角三角形区域，区域内有垂直纸面向外的匀强磁场。 N 板上的 O 为粒子发
12、射源，现有一质量为 m，电荷量为 q 的带负电粒子从粒子发射源 O 发射（发射速度忽略不计）后经电场加速，从 M 板上距离 B 点为 a 的小孔 P 垂直于 BC 进2入磁场，若粒子从 P 点进入磁场后经时间 t 第一次与 M 板相撞，且撞击点为 B 点，不计粒子重力与空气阻7力的影响。（1）求 M、 N 之间的电势差 UMN；（2）若粒子从 AB 边射出磁场区域且不和 M 板相撞，磁感应强度满足什么条件？（3）若仅将磁场反向，粒子至少和 M 板相撞一次后射出磁场，磁感应强度满足什么条件？【答案】 （1） （2） B2 （3）m 2a24qt2 m2qt mqt 1 2 2 m2qt【解析】
13、（1）如图甲所示，由几何关系可知，粒子在磁场中运动的半径为 R1 2a2t v R1v 2 a2t粒子在平行板电容器中加速，根据动能定理 qU mv22（2）粒子恰从 B 射出时，粒子半径最小，磁感应强度 B1最大 T T2 t 2 mqB1联立得 B1 mqt粒子的轨迹与 AC 边相切时，半径最大（如图乙所示） ，磁感应强度 B2最小，由几何关系知 R2 a 2qvB2 m v2R2得 B2 m2qt8磁感应强度应满足的关系为 B2 m2qt mqt（3）磁场反向后粒子向右偏转，轨迹与 AC 边相切时，磁感应强度最小，如图所示，由几何关系得R3（3 4） a 2qvB3 m v2R3解得 B
14、3 1 2 2 m2qt2带电粒子在有界磁场中运动的常见情形（1）直线边界（进出磁场具有对称性， 如图所示）（2）平行边界（存在临界条件，如图所示）（3）圆形边界（沿径向射入必沿径向射出，如图所示）9（4）矩形边界：如图所示，可能会涉及与边界相切、相交等临界问题。（5）三边形边界：如图所示是正 ABC 区域内某正粒子垂直 AB 方向进入磁场的粒子临界轨迹示意图。已知边长为 2a， D 点距 A 点 a，粒子能从 AB 间射出的临界轨迹如图甲所示，粒子能从 AC 间射出的临界3轨迹如图乙所示。3带电粒子在有界磁场中的常用几何关系（1）四个点：分别是入射点、出射点、轨迹圆心和入射速度直线与出射速度
15、直线的交点。（2）三个角：速 度偏转角、圆心角、弦切角，其 中偏转角等于圆心角，也等于弦切角的 2 倍。4几点注意（1）当带电粒子射入磁场时的速度 v 大小一定，但射入方向变化时，粒子做 圆周运动的轨道半径 R是确定的。在确定粒子运动的临界情景时，可以以入射点为定点，将轨迹圆旋转，作出一系列轨迹，从而探索出临界条件。 （2）当带电粒子射入磁场的方向确定，但射入时的速度 v 大小或磁场的磁感应强度 B 变化时，粒子做圆周运动的轨道半径 R 随之变化可以以入射点为定点，将轨道半径放缩，作出一系列的轨迹，从而探索出临界条件。5求解带电粒子在匀强磁场中运动的临界和极值问题的方法由于带电粒子往往是在有界
16、磁场中运动，粒子在磁场中只运动一段圆弧就飞出磁场边界，其轨迹不是完整的圆，因此，此类问题往往要根据带电粒子运动的轨迹作相关图去寻找几何关系，分析临界条件（带电体在磁场中，离开一个面的临界状态是对这个面的压力为零；射出或不射出磁场的临界状态是带电体运动的轨迹与磁场边 界相切。 ） ，然后应用数学知识和相应物理规律分 析求解。（1）两种思路10一是以定理、定律为依据，首先求出所研究问题的一般规律和一般解的形式，然后再分析、 讨论临界条件下的特殊规律和特殊解；二是直接分析、讨论临界状态，找出临界条件，从而通过临界条件求出临界值。（2）两种方法一是物理方法：利用临界条件求极值；利用问题的边界条件求极值
17、；利用矢量图求极值。二是数学 方法：利用三角函数求极值；利用二次方程的判别式求极值；利用不等式的性质求极值；利用图象法等。（3）从关键词中找突破口：许多临界问题，题干中常用“恰好” 、 “最大” 、 “至少” 、 “不相撞” 、 “不脱离”等词语对临界状态给以暗示。审题时，一定要抓住这些特定的词语挖掘其隐藏的规律，找出临界条件。【题 9】 （多选）如图， S 处有一电子源，可向纸面内任意方向发射电子，平板 MN 垂直于纸面，在纸面内的长度 L9.1 cm，中点 O 与 S 间的距离 d4.55 cm， MN 与直线 SO 的夹角为 ，板所在平面有电子源的一侧区域有方向垂直于纸面向外的匀强磁场，
18、磁感应强度 B2.010 4 T。电子质量 m9.110 31 kg，电荷量 e1.610 19 C，不计电子重力。电子源发射速度 v1.610 6 m/s 的一个电子，该电子打在板上可能位置的区域的长度为 l，则A 90时， l9.1 cmB 60时， l9.1 cmC 45时， l4.55 cmD 30时， l4.55 cm【答案】AD11【题 10】 （多选）如图，在 y 轴右侧存在与 xOy 平面垂直且范围足够大的匀强磁场，磁感应强度的大小为 B，位于坐标原点的粒子源在 xOy 平面内发射出大量完全相同的带负电粒子，所有粒子的初速度大小均为 v0，方向与 x 轴正方向的夹角分布在606
19、0范围内，在 x l 处垂直 x 轴放置一荧光屏 S.已知沿 x 轴正方向发射的粒子经过了荧光屏 S 上 y l 的点，则A粒子的比荷为 qm v0lBB粒子的运动半径一定等于 2l C粒子在磁场中运动时间一定不超 过 lv0D粒子打在荧光屏 S 上亮线的长度大于 2l【答案】AC【题 11】如图所示，在半径为 R 的圆形区域内有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为 B，圆mv0Bq形区域右侧有一竖直感光板，圆弧顶点 P 有一速度为 v0的带正电粒子平行于纸面进入磁场，已知粒子的质量为 m，电荷量为 q，粒子重力不计。12（1）若粒子对准圆心射入，求它在磁场中运动的时间；（2）若粒子对准圆心射
20、入，且速率为 v0，求它打到感光板上时速度的垂直分量；3（3）若粒子以速度 v0从 P 点以任意角射入，试证明它离开磁场后均垂直打在感光板上。【答案】 （1） （2） v0（3）见解析 m2Bq 32【解析】 （1）设带电粒子进入磁场中做匀速圆周运动的轨道半径为 r，由牛顿第二定律得 Bqv0 m v20rr（ r R）带电粒子在磁场中的运动轨迹为四分之一圆周，轨迹对应的圆心角为 ，如图甲所示，则 t 2 2Rv0。 m2Bq（2）由（1）知，当 v v0时，带电粒子在磁场中运动的轨迹半径为 R，其运动轨迹如图乙所示。3 3由几何关系可知 PO2O OO2J30，所以带电粒子离开磁场时偏转角为 60。 v vsin 60 v0。 32
