1、1第 1 讲 等差数列与等比数列配套作业一、选择题1(2018合肥模拟)已知数列 an为等差数列，其前 n 项和为 Sn,2a7 a85，则 S11为( )A110 B55C50 D不能确定答案 B解析 2 a7 a85，2 a112 d a17 d5，即 a15 d5， a65， S11 11 a655.故选 B.11 a1 a1122已知等比数列 an满足 a1a21， a5a64，则 a3a4( )A2 B2 C. D2 2答案 A解析 a1a2， a3a4， a5a6成等比数列，即( a3a4)2( a1a2)(a5a6)，( a3a4)24， a3a4与 a1a2符号相同，故 a3a
2、42，故选 A.3(2018太原模拟)已知 Sn是等差数列 an的前 n 项和，且 S32 a1，则下列结论错误的是( )A a40 B S 4 S3C S70 D an是递减数列答案 D解析 Sn是等差数列 an的前 n 项和， Sn na1 d.n n 12 S32 a1，3 a13 d2 a1， a1 3d. a4 a13 d0，故 A 正确，B 正确 S77 a1 d7 a121 d0，C 正确762 an的公差为 d，但 d 不能确定正负，D 错误故选 D.4设等差数列 an的前 n 项和为 Sn，若 S39， S636，则 a7 a8 a9 ( )A63 B45 C36 D27答案
3、 B解析 解法一：设等差数列 an的公差为 d，由 S39， S636，得Error!即Error!解得Error!所以 a7 a8 a93 a83( a17 d)3(172)45.解法二：由等差数列的性质知 S3， S6 S3， S9 S6成等差数列，即 9,27， S9 S6成等差数列，所以 S9 S645，所以 a7 a8 a945.5已知 Sn为等比数列 an的前 n 项和，若 S3， S9， S6成等差数列，则( )2A S62 S3 B S6 S312C S6 S3 D S62 S312答案 C解析 设等比数列 an的公比为 q，则 S6(1 q3)S3， S9(1 q3 q6)S
4、3，因为S3， S9， S6成等差数列，所以 2(1 q3 q6)S3 S3(1 q3)S3，解得 q3 ，故 S6 S3.12 126(2018保定模拟)已知数列 an满足 a10， an1 an2 1，则 a13( )an 1A143 B156 C168 D195答案 C解析 由 an1 an2 1，可知 a n1 1 an12 1( an 1 an 1 1)2，即 1，故数列 是首项为 1，公差为 1 的 等差数an 1 an 1 1 an 1 an 1列，所以 1213，则 a13168.故选 C.a13 1 a1 1二、填空题7已知数列 an的前 n 项和为 Sn， a11,2 Sn
5、 an1 ，则 Sn_.答案 3 n1解析 由 2Sn an1 得 2Sn an 1 Sn1 Sn，所以 3Sn Sn1 ，即 3，所以数列Sn 1SnSn是以 S1 a11 为首项， q3 为公比的等比数列，所以 Sn3 n1 ，故答案为 3n1 .8设等比数列 an满足 a1 a21， a1 a33，则 a4_.答案 8解 析 设等比数列 an的公比为 q， a1 a21， a1 a33， a1(1 q)1， a1(1 q2)3. a1 a210， q1，即 1 q0.，得 1 q3， q2. a11， a4 a1q31(2) 38.9(2018武汉模拟)已知等差数列 an的前 9 项和等
6、于它的前 4 项和若a11， ak a40，则 k_.答案 10解析 设数列 an的公差为 d，由 S9 S4及 a11，得91 d41 d，所以 d .又 ak a40，所以982 432 16 0，解得 k10.1 k 1 (16) 1 4 1 ( 16)10(2018衢州质检)已知数列 an满足 a1 a2 an3 n1，则13 132 13n3a1_， an_.答案 12 Error!解析 由题意可得，当 n1 时， a14，解得 a112.当 n2 时， a1 a213 13 132an1 3 n2，所以 an3， n2，即 an3 n1 ， n2，又当 n1 时， an3 n113
7、n 1 13n不成立，所以 anError!三、解答题11(2018桂林模拟)已知等比数列 an满足 an0， a1a2a364， Sn为其前 n 项和，且2S1， S3,4S2成等差数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bnlog 2a1log 2a2log 2an，求数列 的前 n 项和 Tn.1bn解 (1)设数列 an的公比为 q，2 S1， S3,4S2成等差数列，2 S32 S14 S2，即 2(a1 a1q a1q2)2 a14( a1 a1q)，化简，得 q2 q20，解得 q2 或 q1. an0， q1 不符合题意，舍去，由 a1a2a364 可得 a 64，解得 a
8、24，故 2a14，得到 a12，32 an a1qn1 22 n1 2 n.(2) bnlog 2a1log 2a2log 2anlog 2(a1a2an)log 2212 n12 n ，n n 12 2 .1bn 2n n 1 (1n 1n 1) Tn 2 2 .1b1 1b2 1bn (11 12) (12 13) (1n 1n 1) (1 1n 1) 2nn 112(2018甘肃模拟)已知数列 an是公差为 1 的等差数列，且 a4， a6， a9成等比数列(1)求数列 an的通项公式；(2)设 bn(1) n ，求数列 bn的前 2n 项和 T2n.2an 1anan 1解 (1)因
9、为 a4， a6， a9成等比数列，所以 a a4a9，26所以( a15) 2( a13)( a18)，解得 a11，所以数列 an的通项公式为 an n.(2)由(1)知， an n，因为 bn(1) n ，2an 1anan 14所以 bn(1) n (1) n ，2n 1n n 1 (1n 1n 1)所以数列 bn的前 2n 项和T2n 1 (112) (12 13) (13 14) (12n 12n 1) 12 12 13 13 14 12n1 .12n 1 12n 1 2n2n 113已知数列 an的各项均为正数，记数列 an的前 n 项和为 Sn，数列 a 的前 n 项2n和为
10、Tn，且 3Tn S 2 Sn， nN *.2n(1)求 a1的值；(2)求数列 an的通项公式解 (1)由 3T1 S 2 S1，得213a a 2 a1，即 a a10.21 21 21因为 a10，所以 a11.(2)因为 3Tn S 2 Sn， 2n所以 3Tn1 S 2 Sn1, 2n 1，得 3a S S 2 an1 ，即 3a ( Sn an1 )2 S 2 an1 .2n 1 2n 1 2n 2n 1 2n因为 an1 0，所以 an1 Sn1, 所以 an2 Sn1 1, ，得 an2 an1 an1 ，即 an2 2 an1 ，所以当 n2 时， 2.an 1an又由 3T
11、2 S 2 S2，得 3(1 a )(1 a2)22(1 a2)，即 a 2 a20.2 2 2因为 a20，所以 a22，所以 2，所以对任意的 nN *，都有 2 成立，a2a1 an 1an所以数列 an的通项公式为 an2 n1 ， nN *.14(2018福建晋江检测)已知数列 an的前 n 项的和为 Sn，且 a1 ， an1 an.12 n 12n(1)证明：数列 是等比数列；ann(2)求通项公式 an与前 n 项的和 Sn；(3)设 bn n(2 Sn)， nN *，若集合 M n|bn ， nN *恰有 4 个元素，求实数 的取值范围解 (1)证明：因为 a1 ， an1
12、an，当 nN *时， 0.又因为 ， 12 n 12n ann a11 12 an 1n 1 (nN *)为常数，ann 12所以 是以 为首项， 为公比的等比数列ann 12 12(2)由 是以 为首项， 为公比的等比数列，得ann 12 125 n1 n.ann 12 (12) (12)所以 an n n.(12)由错位相减法得 Sn2 n1 n n.(12) (12)(3)因为 bn n(2 Sn)(nN *)，所以 bn n n1 n2 n.(12) (12)因为 bn1 bn(3 n2) n1 ，(12)所以 b2b1， b2b3b4.因为集合 M n|bn ， nN *恰有 4 个元素，且b1 b4 ， b22， b3 ， b5 ，32 158 3532所以 .3532 32
