1、8.2 空间几何体的表面积与体积,-2-,知识梳理,考点自诊,1.多面体的表(侧)面积 因为多面体的各个面都是平面,所以多面体的侧面积就是 ,表面积是侧面积与底面面积之和. 2.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式,所有侧面的面积之和,2rl,rl,(r1+r2)l,-3-,知识梳理,考点自诊,3.柱、锥、台和球的表面积和体积,Sh,4R2,-4-,知识梳理,考点自诊,1.与体积有关的几个结论 (1)一个组合体的体积等于它的各部分体积的和或差. (2)底面面积及高都相等的两个同类几何体的体积相等. 2.长方体的外接球 (1)球心:体对角线的交点.,-5-,知识梳理,考点自诊,1.判断下列结
2、论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)如果圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2S. ( ) (2)设长方体的长、宽、高分别为2a,a,a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为3a2. ( ) (3)若一个球的体积为 ,则它的表面积为12. ( ) (4)在ABC中,AB=2,BC=3,ABC=120,使ABC绕直线BC旋转一周所形成的几何体的体积为9. ( ) (5)将圆心角为 ,面积为3的扇形作为圆锥的侧面,则圆锥的表面积等于4. ( ),-6-,知识梳理,考点自诊,2.(2018山东春季联考,19)已知矩形ABCD,AB=2BC,把这个矩形分别
3、以AB、BC所在直线为轴旋转一周,所成几何体的侧面积分别记为S1、S2,则S1与S2的比值等于 ( ) A. B.1 C.2 D.4,B,解析:设BC=a,AB=2a,所以S1=2(2a)a,S2=2(a)2a, S1S2=11,故选B.,3.(2018全国1,文5)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为( ),B,解析:过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面为圆柱的轴截面,设底面半径为r,母线长为l,因为轴截面是面积为8的正方形,所以 ,所以圆柱的表面积为2rl+2r2=8+4=12.,-7-,知识梳理,考点自
4、诊,4.(2018河北武邑中学四模,7)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则这个几何体的外接球体积为( ),B,-8-,知识梳理,考点自诊,-9-,知识梳理,考点自诊,5.(2018辽宁大连调研,14)如图为一个半球挖去一个圆锥后的几何体的三视图,则剩余部分与挖去部分的体积之比为 .,11,-10-,考点1,考点2,考点3,空间几何体的表面积 例1(1)(2018河南模拟,9)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的表面积为( ),A,-11-,考点1,考点2,考点3,(2)(2018河南一模,6)九章算术是我国古代数学名著,在九章算术中将底面为矩形且有一侧棱垂直于
5、底面的四棱锥称为“阳马”,若某“阳马”的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该“阳马”的表面积为( ),C,-12-,考点1,考点2,考点3,-13-,考点1,考点2,考点3,(2)由三视图知该几何体是侧棱垂直于底面的四棱锥,如图所示;主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形, 故四棱锥的底面是正方形,且边长为1,其中一条侧棱PD底面ABCD,且侧棱AD=1,-14-,考点1,考点2,考点3,思考求几何体的表面积的关键是什么? 解题心得1.以三视图为载体考查几何体的体积,解题的一般思路是根据三视图想象原几何体的形状构成,并从三视图中发现几何体中各
6、元素间的位置关系及数量关系,然后在直观图中求解. 2.求旋转体体积的一般思路是理解所得旋转体的几何特征,确定得到计算体积所需要的几何量. 3.计算柱、锥、台的体积的关键是根据条件找出相应的底面积和高. 4.注意求体积的一些特殊方法:分割法、补体法、转化法等,它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法,应熟练掌握.,-15-,考点1,考点2,考点3,对点训练1(1)(2018东北师范大学附属中学五模,7)一个几何体的三视图如图所示,其中主视图是半径为1的半圆,则该几何体的表面积为( ),C,-16-,考点1,考点2,考点3,(2)(2018广东深圳二模,6)一个几何体的三视图如图所示,其中俯视
7、图与左视图均为半径是2的圆,则这个几何体的表面积是( )A.16 B.14 C.12 D.8,A,-17-,考点1,考点2,考点3,-18-,考点1,考点2,考点3,空间几何体的体积(多考向) 考向1 公式法求体积 例2(2018四川成都诊断,8)某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积(单位:cm3)是( )A.2 B.4 C.6 D.8,C,解析:由三视图可得,该几何体是底面为直角梯形的柱体,其中棱柱的高为2,底面积为 (1+2)2=3,可得几何体的体积为V=32=6,故选C.,-19-,考点1,考点2,考点3,思考由三视图求解几何体体积的解题策略是什么? 解题心得1.若所
8、给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体,则可直接利用公式进行求解. 2.若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出,则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解. 3.若以三视图的形式给出几何体,则应先根据三视图得到几何体的直观图,然后根据条件求解.,-20-,考点1,考点2,考点3,对点训练2(2018黑龙江仿真模拟(十),8)在四棱锥P-ABCD中, PA底面ABCD,底面ABCD为正方形,PA=AB,该四棱锥被一平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为( ),B,-21-,考点1,考点2,考点3,-22-,考点1,考点2,考点3,考向2 割补法
9、求体积 例3(2018广东广州调研,14)已知E,F分别是棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1的棱AA1,CC1的中点,则四棱锥C1-B1EDF的体积为 .,-23-,考点1,考点2,考点3,解析: (方法一)如图所示,连接A1C1,B1D1交于点O1, 连接B1D,EF,过点O1作O1HB1D于点H. 因为EFA1C1,且A1C1平面B1EDF,EF平面B1EDF, 所以A1C1平面B1EDF. 所以C1到平面B1EDF的距离就是A1C1到平面B1EDF的距离. 易知平面B1D1D平面B1EDF, 又平面B1D1D平面B1EDF=B1D,所以O1H平面B1EDF, 所以O1H等于四棱锥
10、C1-B1EDF的高. 因为B1O1HB1DD1,-24-,考点1,考点2,考点3,-25-,考点1,考点2,考点3,思考割补法求体积适用于何种题型?割补法的割补原则是什么? 解题心得1.当一个几何体形状不规则时,无法直接运用体积公式求解,一般通过分割和补形.将原几何体分割或补形为较易的能利用公式计算体积的几何体,从而求得原几何体的体积. 2.割补法的原则是将不易求体积的几何体转化为易求体积的几个几何体,但要根据题意仔细分割,一般分割为已知底面面积或高易求的几个简单几何体,以免分割的几何体求不出体积.,-26-,考点1,考点2,考点3,对点训练3(1)(2018山东沂水一中三模,9)某几何体的
11、三视图如图所示,则该几何体的体积为( ),D,-27-,考点1,考点2,考点3,(2)(2018黑龙江哈尔滨六中押题(一),8)如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为( ),B,-28-,考点1,考点2,考点3,-29-,考点1,考点2,考点3,-30-,考点1,考点2,考点3,考向3 等体积转化法求体积 例4(2018河北阜城月考,5)在直三棱柱ABC-A1B1C1中,各侧棱和底面的边长均为a,点D是CC1上任意一点,连接A1B,BD,A1D,AD,则三棱锥A-A1BD的体积为 ( ),B,-31-,考点1,考点2,考点3,思考等体积转化法适用于什么题型? 解题心得1.等体积转化法适用
12、于三棱锥体积的求解,若题目条件所给的棱锥的底面和高不易求,则考虑转化为底面和高易求的方向求解. 2.此法利用原理:VA-BCD=VB-ACD=VC-ABD=VD-ABC.,-32-,考点1,考点2,考点3,对点训练4 (2018北京丰台区期中,5)如图所示,在边长为2的正方形纸片ABCD中,AC与BD相交于O,剪去AOB,将剩余部分沿OC,OD折叠,使OA,OB重合,则四面体D-AOC的体积为( ),A,-33-,考点1,考点2,考点3,-34-,考点1,考点2,考点3,考向4 组合体的体积求解 例5(2016山东,文5改编)一个由半球和四棱锥组成的几何体,其三视图如下图所示,则该几何体的体积
13、为 ( ),C,-35-,考点1,考点2,考点3,-36-,考点1,考点2,考点3,思考组合体的体积如何求解? 解题心得组合体的体积,一般是利用分割法将其分割为几个常见的简单几何体的体积求解.,-37-,考点1,考点2,考点3,对点训练5(2018湖北荆州统考,9)如图,网格纸上的小正方形的边长是1,在其上用粗实线和粗虚线画出了某几何体的三视图,其中俯视图中的曲线是四分之一的圆弧,则这个几何体的体积可能是( ),B,-38-,考点1,考点2,考点3,-39-,考点1,考点2,考点3,球及其与球有关的切、接问题,A,-40-,考点1,考点2,考点3,思考如何求解球的表面积、体积及与球有关的切、接
14、问题中的表面积、体积问题? 解题心得1.求解球的表面积、体积问题的关键是求出球的半径,一般方法是依据条件建立关于半径的等式. 2.多面体的外接球和内切球问题,其解题关键在于确定球心在多面体中的位置,找到球的半径或直径与多面体相关元素之间的关系,结合原有多面体的特性求出球的半径,然后利用球的表面积和体积公式进行正确计算.常见的方法是将多面体还原到正方体或长方体中再去求解. 3.球的截面问题,首先需理解两个基本性质:球的任何一个截面都是圆面,球心和截面圆的圆心的连线垂直于截面.然后利用性质解三角形求出球的半径.,-41-,考点1,考点2,考点3,对点训练6 (2018黑龙江统考七模,6)如图ABC
15、D-A1B1C1D1是边长为1的正方体,S-ABCD是高为1的正四棱锥,若点S,A1,B1,C1,D1在同一个球面上,则该球的表面积为 ( ),D,-42-,考点1,考点2,考点3,解析:如图所示,连接A1C1,B1D1,交点为M,连接SM,易知球心O在直线SM上,设球的半径R=OS=x,在RtOMB1中,-43-,考点1,考点2,考点3,1.求柱体、锥体、台体与球的表面积、体积的问题,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解决. 2.求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面. 3.与球有关的组合体问题,一种是内切,一种是外接.解题时要认真分析图形,明确切点和接点的位置,确定有关元素间
16、的数量关系,并作出合适的截面图.,-44-,考点1,考点2,考点3,1.求组合体的表面积时,组合体的衔接部分的面积问题易出错. 2.由三视图计算几何体的表面积与体积时,由于几何体的还原不准确及几何体的结构特征认识不准易导致错误. 3.易混侧面积与表面积的概念.,-45-,答案:B,-46-,典例2九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3
17、,估算出堆放的米约有( )A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 答案:B,-47-,答案:D,-48-,典例4我国南北朝时期伟大的数学家祖暅提出了著名的祖暅原理:“幂势既同,则积不容异”.“幂”是截面积,“势”是几何体的高,意思是两等高立方体,若在每一等高处的截面积都相等,则两立方体体积相等.已知某不规则几何体与如图所示的三视图所对应的几何体满足“幂势同”,则该不规则几何体的体积为( ),答案:C,-49-,解析:由三视图知,该几何体是从一个正方体中挖去一个半圆柱,所以三视图对应几何体的体积V=8-. 根据祖暅原理,不规则几何体的体积V=V=8-.,-50-,答案:A,-51-,解析
18、:如图,由三视图可知,天池盆上底面半径为12寸,下底面半径为6寸,高为12寸, 积水深6寸,-52-,反思提升几个例题很好地诠释了考纲中对数学文化内容的要求,加强对中国优秀传统文化的考查,引导考生提高人文素养、传承民族精神,树立民族自信心和自豪感,试题的价值远远超出试题本身.以中国古代数学典籍、九章算术、祖暅原理为背景,考查几何体的体积、三视图及体积计算.不仅检测了考生的基础知识和基本技能,又展示了中华民族的优秀传统文化.,-53-,(二)简单几何体的内切球与外接球问题 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点,此类问题实质是解决球的半径长或确定球心O的位置问题,其中球心的确定是关键
19、.,-54-,1.外接球的问题 (1)必备知识: 简单多面体外接球的球心的结论. 结论1:正方体或长方体的外接球的球心是其体对角线的中点. 结论2:正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点. 结论3:直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点. 结论4:正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过计算找到. 构造正方体或长方体确定球心. 利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质,确定球心. (2)方法技巧:几何体补成正方体或长方体.,-55-,2.内切球问题 (1)必备知识: 内切球球心到多面体各面的距离均相等,外接球球心到多面体各顶点
20、的距离均相等. 正多面体的内切球和外接球的球心重合. 正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上,但不一定重合. (2)方法技巧:体积分割是求内切球半径的通用做法.,-56-,3.典例剖析 典例1(2015全国2,理9)已知A,B是球O的球面上两点,AOB= 90,C为该球面上的动点.若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为( ) A.36 B.64 C.144 D.256 答案:C 解析:由AOB面积确定,若三棱锥O-ABC的底面OAB上的高最大,则其体积才最大.因为高最大为半径R,所以VO-ABC= R=36,解得R=6,故S球=4R2=144.,-57-,典例2(2018山西太原
21、三模,7)下图是某四棱锥的三视图,网格纸上小正方形的边长为1,则该四棱锥的外接球的表面积为( ),答案:C,-58-,解析:,-59-,典例3(2016全国3,理10)在封闭的直三棱柱ABC-A1B1C1内有一个体积为V的球.若ABBC,AB=6,BC=8,AA1=3,则V的最大值是( ),答案:B 解析:由题意知要使球的体积最大,则它与直三棱柱的若干个面相切.,-60-,变式探究1若将本例中的条件变为“直三棱柱ABC-A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”,若AB=3,AC=4,ABAC,AA1=12,求球O的表面积.,解 将直三棱柱补形为长方体ABEC-A1B1E1C1, 则球O是长方体
22、ABEC-A1B1E1C1的外接球. 体对角线BC1的长为球O的直径. 因此 . 故S球=4R2=169.,-61-,变式探究2若将本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”,若该棱锥的高为4,底面边长为2,求该球的体积.,-62-,典例4(2018湖北荆州统考,11)在直三棱柱A1B1C1-ABC中, A1B1=3, B1C1=4,A1C1=5,AA1=2,则其外接球与内切球的表面积之比为( ),答案:A,-63-,反思提升1.几何体补成正方体或长方体的情况. (1)正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥都可构造正方体. (2)三条侧棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都可构造长方体. (3)若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体. 2.(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时,一般过球心及接、切点作截面,把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题,再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解. (2)切球一般利用体积相等,把几何体分割成以几何体各个面为底面的小棱锥,求解切球半径,接球半径常用到截面圆半径和球心距以及求半径的直角三角形求解.也常常找到球心位置,利用平面几何知识求解.,
