1、8.5 直线、平面垂直的判定与性质,-2-,知识梳理,考点自测,1.直线与平面垂直,任意,mn=O,a,-3-,知识梳理,考点自测,b,ab,-4-,知识梳理,考点自测,2.平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义 两个平面相交,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直. (2)判定定理与性质定理,直二面角,垂线,交线,l,-5-,知识梳理,考点自测,直线与平面垂直的五个结论 (1)若一条直线垂直于一个平面,则这条直线垂直于这个平面内的任意直线. (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面,则另一条也垂直于这个平面. (3)垂直于同一条直线的两个平面平行. (4)一条直线垂直于两平行平
2、面中的一个,则这一条直线与另一个平面也垂直. (5)两个相交平面同时垂直于第三个平面,它们的交线也垂直于第三个平面.,-6-,知识梳理,考点自测,1.判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”. (1)已知直线a,b,c,若ab,bc,则ac. ( ) (2)直线l与平面内的无数条直线都垂直,则l. ( ) (3)设m,n是两条不同的直线,是一个平面,若mn,m,则n. ( ) (4)若两平面垂直,则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面. ( ) (5)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线,则. ( ),-7-,知识梳理,考点自测,2.已知互相垂直的平面,交于直线l.若直线
3、m,n满足m,n,则( ) A.ml B.mn C.nl D.mn,C,解析:对于A,m与l可能平行或异面,故A错;对于B、D,m与n可能平行、相交或异面,故B、D错;对于C,因为n,l,所以nl,故C正确.故选C.,-8-,知识梳理,考点自测,3.如图所示,在立体图形D-ABC中,若AB=CB,AD=CD,E是AC的中点,则下列结论正确的是( ) A.平面ABC平面ABD B.平面ABD平面BDC C.平面ABC平面BDE,且平面ADC平面BDE D.平面ABC平面ADC,且平面ADC平面BDE,C,解析:AB=CB,且E是AC的中点, BEAC,同理有DEAC, 而BEDE=E,AC平面B
4、DE. AC在平面ABC内, 平面ABC平面BDE. 又AC在平面ADC内, 平面ADC平面BDE.故选C.,-9-,知识梳理,考点自测,4.(2018黑龙江哈尔滨押题卷(一),9)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=1,过直线B1D1的平面平面A1BD,则平面截该正方体所得截面的面积为( ),D,-10-,知识梳理,考点自测,解析:如图所示,连接A1C1交B1D1于E,取AA1中点F,连接EF、AC1、FB1和FD1,易得EFAC1,AC1面A1BD, EF面A1BD; EF面FB1D1, FB1D1为平面截该正方体所得截面,且EFB1D1;,-11-,知识梳理,考点自测,5.
5、在矩形ABCD中,ABBC,现将ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折的过程中,给出下列结论: 存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直; 存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直; 存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直. 其中正确结论的序号是 .(写出所有正确结论的序号),-12-,知识梳理,考点自测,解析:如图,AEBD,CFBD,连接CE, ABBC,CE不垂直于BD. 若存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直,BDAE, BD平面AEC,从而BDEC,这与已知矛盾,排除; 若存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直,则CD平面ABC. 作MECF,交BC于点M,连接A
6、M(图略),则MEBD, 又AEBD,AEME=E, BD平面AME,AMBD. 又CD平面ABC, CDAM. 又CDBD=D, AM平面BCD,即点A在平面BCD上的射影M位于边BC上时,直线AB与直线CD垂直,故正确;,-13-,知识梳理,考点自测,若存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则BC平面ACD,从而平面ACD平面BCD,即A在底面BCD上的射影应位于线段CD上,这是不可能的,排除. 故答案为.,-14-,考点一,考点二,考点三,考点四,证明空间线面垂直 例1(2018河南安阳核心押题一,18)等边三角形ABC的边长为6,O为三角形ABC的重心,EF过点O且与BC平行,将A
7、EF沿直线EF折起,使得平面AEF平面BCFE.(1)求证:BE平面AOC; (2)求点O到平面ABC的距离.,考点5,-15-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明 因为O为三角形ABC的重心, 所以AOBC,因为EFBC,所以AOEF, 因为平面AEF平面BCFE,平面AEF平面BCFE=EF,AO平面AEF, 所以AO平面BCFE,因为BE平面BCFE,所以AOBE, 因为O为三角形ABC的重心,所以COBE, 因为AO、CO平面AOC,AOCO=O,所以BE平面AOC. (2)解 等边三角形ABC的边长为6,O为三角形ABC的重心,考点5,-16-,考点一,考点二,考点三,考点四
8、,思考证明线面垂直的常用方法有哪些? 思路分析(1)由已知条件证得AO平面BCFE,AOBE,COBE得证. (2)运用等体积法求出点O到平面ABC的距离. 解题心得证明线面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理. (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直,则另一条也与这个平面垂直”. (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个,则与另一个也垂直”. (4)利用面面垂直的性质定理.,考点5,-17-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练1 (2018江西南昌测试三,19)如图,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,底面ABC是边长为2的正三角形,M为棱BC的中点, BB1=3, ,CB
9、B1=60.(1)求证:AM平面BCC1B1; (2)求斜三棱柱ABC-A1B1C1的体积.,考点5,-18-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,-19-,考点一,考点二,考点三,考点四,证明空间两条直线垂直 例2(2018湖北荆州统考,18)如图1所示,在梯形BCDE中,DEBC,且DE= BC,C=90,分别延长两腰交于点A,点F为线段CD上的一点,将ADE沿DE折起到A1DE的位置,使A1FCD,如图2所示.图1 图2 (1)求证:A1FBE; (2)若BC=6,AC=8,四棱锥A1-BCDE的体积为 ,求四棱锥A1-BCDE的表面积.,考点5,-20-,考点一,考点二,考点三,考
10、点四,(1)证明 因为C=90,即ACBC,且DEBC, 所以DEAC,则DEDC,DEDA1, 又因为DCDA1=D, 所以DE平面A1DC. 因为A1F平面A1DC, 所以DEA1F. 又因为A1FCD,CDDE=D, 所以A1F平面BCDE, 又因为BE平面BCDE, 所以A1FBE.,考点5,-21-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,-22-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,-23-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,-24-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考证明空间两条直线垂直有哪些基本方法? 思路分析(1)先证DE平面A1DC,继而DEA1F,又A1FCD
11、,证得A1F面BCDE,即可证得A1FBE; (2)分别计算出梯形面积和四个三角形面积即可得到表面积.,考点5,-25-,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得1.证明线线垂直的常用方法 (1)利用特殊图形中的垂直关系. (2)利用等腰三角形底边中线的性质. (3)利用勾股定理的逆定理. (4)利用直线与平面垂直的性质. 2.在证明线线垂直时,要注意题中隐含的垂直关系,如等腰三角形底边上的高、中线和顶角的角平分线三线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形(或给出线段长度,经计算满足勾股定理)、直角梯形等等.,考点5,-26-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点
12、训练2如图,四面体ABCD中,ABC是正三角形,AD=CD.(1)证明:ACBD; (2)已知ACD是直角三角形,AB=BD,若E为棱BD上与D不重合的点,且AEEC,求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比.,考点5,-27-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明 取AC的中点O,连接DO,BO. 因为AD=CD,所以ACDO. 又由于ABC是正三角形,所以ACBO. 又DOBO=O,从而AC平面DOB,故ACBD. (2)解 连接EO. 由(1)及题设知ADC=90,所以DO=AO. 在RtAOB中,BO2+AO2=AB2. 又AB=BD,所以BO2+DO2=BO2+AO2=AB2=
13、BD2,故DOB=90.,考点5,-28-,考点一,考点二,考点三,考点四,证明空间两个平面垂直 例3(2018山东临沂沂水一中一模,18)如图,四棱锥P-ABCD中, PCD为等边三角形,CD=AD=2AB,E,S,T,Q为CD,PA,PB,AD的中点, ABC=BCD=PEA=90,平面STRQ平面ABCD=RQ.(1)证明:平面PAE平面STRQ; (2)若AB=1,求三棱锥Q-BCT的体积.,考点5,-29-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明 因为E为CD的中点,CD=2AB,ABC=BCD=90, 所以四边形ABCE为矩形,所以AECD. 由已知易得RQCD,所以RQAE.
14、 因为PEA=90,PECD=E, 故AE平面PCD, 故平面PCD平面ABCD. 因为PECD,所以PE平面ABCD. 因为RQ平面ABCD,所以RQPE. 又PEAE=E,所以RQ平面PAE. 所以平面PAE平面STRQ.,考点5,-30-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,-31-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考证明面面垂直的常用方法有哪些? 思路分析(1)先证明RQ平面PAE,即证明平面PAE平面STRQ. (2)先计算点T到平面BCQ的距离为 ,再求三棱锥Q-BCT的体积.,考点5,-32-,考点一,考点二,考点三,考点四,解题心得1.面面垂直的证明方法 (1)定义法:利
15、用面面垂直的定义,即判定两平面所成的二面角为直二面角,将证明面面垂直问题转化为证明平面角为直角的问题. (2)定理法:利用面面垂直的判定定理,即证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线,把问题转化成证明线面垂直加以解决. 2.三种垂直关系的转化 由于“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”之间可以相互转化,因此整个证明过程围绕着线面垂直这个核心展开,这是化解空间垂直关系难点的技巧所在. 3.两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据,运用时要注意“平面内的直线”这一条件.,考点5,-33-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练3(2018全国1,文18)如图,在平行四边形ABCM中,
16、 AB=AC=3,ACM=90.以AC为折痕将ACM折起,使点M到达点D的位置,且ABDA.(1)证明:平面ACD平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ= DA,求三棱锥Q-ABP的体积.,考点5,-34-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,-35-,考点一,考点二,考点三,考点四,垂直关系中的存在问题 例4,考点5,-36-,考点一,考点二,考点三,考点四,(1)证明 在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC,AB=2CD,DEAB, 沿DE将AED折起到A1ED的位置,DEA1E,DEBE, A1EBE=E,DE平面A1BE, A1B平面A1BE,D
17、E丄A1B. (2)证明 取CD中点F,连接NF,MF, M,N分别为A1C,BE的中点, MFA1D,NFDE, 又DEA1D=D,NFMF=F,DE平面A1DE,A1D平面A1DE,NF平面MNF,MF平面MNF, 平面A1DE平面MNF. MN平面A1ED.,考点5,-37-,考点一,考点二,考点三,考点四,(3)解 取A1B的中点G,连接EG, A1E=BE,EGA1B, 由(1)知DE平面A1BE, DEBC,BC平面A1BE, EGBC, 又A1BBC=B,EG平面A1BC. 故棱A1B上存在中点G,使得EG平面A1BC,考点5,-38-,考点一,考点二,考点三,考点四,思考探索性
18、问题的一般处理方法是什么? 解题心得线面垂直中的探索性问题同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样,一般是先探求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合要求的证明.,考点5,-39-,考点一,考点二,考点三,考点四,对点训练4如图1,在直角梯形ABCD中,ABCD,ABBC, AB=2CD,DEAB,沿DE将AED折起到A1ED的位置,连接A1B,A1C,M,N分别为A1C,BE的中点,如图2. (1)求证:DEA1B. (2)求证:MN平面A1ED. (3)在棱A1B上是否存在一点G,使得EG丄平面A1BC?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.,考点5,-40-,考点一,考点
19、二,考点三,考点四,考点5,垂直的综合运用 考向1 空间距离求解 例5(2018全国2,文19)如图,在三棱锥P-ABC中,AB=BC= , PA=PB=PC=AC=4,O为AC的中点. (1)证明:PO平面ABC; (2)若点M在棱BC上,且MC=2MB,求点C到平面POM的距离.,-41-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,-42-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,-43-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,思考空间距离如何求解? 解题心得1.直接找出过已知点的平面的垂线,利用平面几何知识求解线段长度,注意余弦定理和直角三角形中勾股定理的应用. 2.利用等积转化法求解,
20、即三棱锥等体积转化求解点面距离. 3.将线面距离和面面距离转化为点面距离,将点面距离利用平行等价转化为易求点的点面距离.,-44-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,对点训练5(2018安徽安庆模拟,19)如图,已知四棱锥P-ABCD的底面为菱形,BCD=120,AP=BP. (1)求证:PCAB; (2)若AB=PC=2,PC与平面ABC成30角,求点D到平面PBC的距离.,(1)证明 取AB中点E,连PE,CE. AP=BP,ABPE. 又四边形ABCD为菱形,且BCD=120, ABC为等边三角形, ABCE. 又PECE=E, AB平面PCE. PC平面PCE,PCAB.,-45
21、-,考点一,考点二,考点三,考点四,考点5,(2)解 由(1)知AB平面PCE,AB平面ABC, 平面PCE平面ABC.过P作PFCE,垂足为F,则PF平面ABC, PCF为PC与平面ABC所成的角, PCF=30,-46-,考点一,考点二,考点三,考点四,1.转化思想:垂直关系的转化 2.在证明两平面垂直时,一般先从现有的直线中寻找平面的垂线,若图中不存在这样的直线,则可通过作辅助线来解决.如有平面垂直时,一般要用性质定理,在一个平面内作交线的垂线,使之转化为线面垂直,然后进一步转化为线线垂直.故熟练掌握“线线垂直”“线面垂直”“面面垂直”间的转化条件是解决这类问题的关键.,-47-,考点一,考点二,考点三,考点四,1.在解决直线与平面垂直的问题过程中,要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用,即注意线线垂直和线面垂直的互相转化. 2.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线,通常是先找这个平面的一个垂面,在这个垂面中,作交线的垂线即可.,
