1、1单元质检卷八 立体几何( A)(时间:45 分钟 满分:100 分)一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 7 分,共 42 分)1.(2019 届广东湛江调研测试,10)设 m、 n 是两条不同的直线, 、 是两个不同的平面,下列命题中正确的是( )A. =n ,m ,m m nB. , =m ,m nn C.m n,m ,n D.m ,n m n2.(2019 届山东青岛调研,11)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中, E 为棱 BB1的中点,用过点 A, E,C1的平面截去该正方体的上半部分,则剩余几何体的左视图为( )3. (2019 届重庆铜梁一中期中,4)一个几何体的三
2、视图如图,则它的表面积为( )A.28 B.24+2 5C.20+4 D.20+25 54.已知正方体 ABCD-A1B1C1D1,平面 过直线 BD, 平面 AB1C, 平面 AB1C=m,平面 过直线A1C1, 平面 AB1C, 平面 ADD1A1=n,则 m,n 所成角的余弦值为( )A.0 B. C. D.22 325.(2019 届湖南桃江一中期中,5)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为( )2A.25 B.26 C.32 D.366.已知某三棱锥的三视图如图所示,图中的 3 个直角三角形的直角边长度已经标出,则在该三棱锥中,最短的棱和最长的棱所在直线所成角的余弦
3、值为( )A. B. C. D.55二、填空题(本大题共 2 小题,每小题 7 分,共 14 分)7.(2019 届湖南长沙雅礼中学模拟,15)已知正三棱锥 P-ABC 的侧面是直角三角形, P-ABC 的顶点都在球 O 的球面上,正三棱锥 P-ABC 的体积为 36,则球 O 的表面积为 . 8.(2018 山东安丘质检,16)已知长方形 ABCD 的四个顶点在球 O 的球面上,且 AB=2 ,BC=1,球 O 的2表面积为 S 球 =36,则 OA 与平面 ABCD 所成的角为 . 三、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分)9.(14 分)(2019 届黑龙江鹤岗一中模拟,18)如图,
4、在四棱锥 O-ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的正方形, OA底面 ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点, N 为 OB 的中点 .(1)求证: MN平面 OCD;(2)求异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值 .310.(15 分)(2019 届山东青岛调研检测,18)如图,在长方形 ABCD 中, AB=, AD=2,E、 F 为线段 AB 的三等分点, G、 H 为线段 DC 的三等分点 .将长方形 ABCD 卷成以 AD 为母线的圆柱 W 的半个侧面,AB、 CD 分别为圆柱 W 上、下底面的直径 .(1)证明:平面 ADHF平面 BCHF;(2)若 P 为 DC 的
5、中点,求三棱锥 H-AGP 的体积 .11.(15 分)(2019 届北京第八十中学模拟,18)在四棱锥 A-BCDE 中,底面 BCDE 为菱形,侧面 ABE 为等边三角形,且侧面 ABE底面 BCDE,O,F 分别为 BE,DE 的中点 .(1)求证: AO CD;(2)求证:平面 AOF平面 ACE;(3)侧棱 AC 上是否存在点 P,使得 BP平面 AOF?若存在,求出 的值;若不存在,请说明理由 .4单元质检卷八 立体几何( A)1.A 对于 A,根据线面平行性质定理即可得 A 选项正确;对于 B,当 , =m 时,若n m,n ,则 n ,但题目中无条件 n ,故 B 不一定成立;
6、对于 C,若 m n,m ,n ,则 与 相交或平行,故 C 错误;对于 D,若 m ,n ,则 m 与 n 平行或异面,则 D 错误,故选 A.2.C 取 DD1中点 F,连接 AF,C1F,平面 AFC1E 为截面 .如下图,所以下半部分的左视图如 C 选项,所以选 C.3.B 几何体为一个三棱柱与一个正方体的组合,表面为两个正方形(边长为 2)、两个矩形(一个长为 ,宽为 2,另一个长为 3,宽为 2),两个全等直角梯形(上下底分别为 2,3,高为 2),因此表面积为5222+ 2+23+2 (2+3)2=24+2 ,选 B.5 54.D 如图所示, BD 1平面 AB1C,平面 过直线
7、 BD, 平面 AB1C, 平面 即为平面 DBB1D1.设 AC BD=O, 平面 AB1C=OB1=m. 平面 A1C1D 过直线 A1C1,与平面 AB1C 平行,而平面 过直线 A1C1, 平面 AB1C, 平面 A1C1D 即为平面 . 平面 ADD1A1=A1D=n,又 A1D B1C,m ,n 所成角为 OB1C,由 AB1C 为正三角形,则 cos OB1C=cos .故选 D.6=325.C 三视图对应的几何体如图所示,其中 DA平面 ABC, ABC=90,所以该四面体的四个面都是直角三角形且 DA=4,AC=4,故四面体外接球的直径为 DC=4 ,故外接球的表面积为 4
8、(2 )2 22=32,故选 C.6.A 由三视图还原几何体如图 .5几何体是三棱锥 A-BCD,满足平面 ACD平面 BCD,且 AD CD,BC CD.最短棱为 CD,最长棱为 AB.在平面 BCD 内,过点 B 作 BE CD,且 BE=CD,连接 DE, 四边形 BEDC 为正方形,可得 AE=2 ,2在 Rt AEB 中,求得 AB= =3,12+(22)2 cos ABE= .=13即最短的棱和最长的棱所在直线所成角的余弦值为 .故选 A.137.108 正三棱锥 P-ABC,PA,PB,PC 两两垂直, 此正三棱锥的外接球即为以 PA,PB,PC 为三边的正方体的外接球 O,设球
9、 O 的半径为 R,则正方体的边长为 ,233 正三棱锥 P-ABC 的体积为 36,V= S PACPB= =36,13 1312233 233 233R= 3 ,3 球 O 的表面积为 S=4 R2=108 .故答案为 108 .8. 设长方形 ABCD 外接圆的圆心为 O1,球 O 的半径为 R.故对角线 AC= =3,故 O1A=,依题意8+14 R2=36, R=3,故线面角 cos = ,故 =.1=129.解 (1)证明: M 为 OA 的中点, N 为 OB 的中点,MN AB.又 CD AB,MN CD.MN 平面 OCD,CD平面 OCD,MN 平面 OCD.(2)连接 A
10、C,设线段 AC 的中点为 E,连接 ME,DE,则 ME OC, EMD 为异面直线 OC 与 MD 所成的角(或其补角) .由已知可得 DE= ,EM= ,MD= ,2 3 5 ( )2+( )2=( )2,2 3 5 EMD 为直角三角形, tan EMD= ,D=23=63 异面直线 OC 与 MD 所成角的正切值为 .6310.解 (1)证明:因为 H 在下底面圆周上,且 CD 为下底面半圆的直径,所以 DH HC.6又因为 DH FH,且 CH FH=H,所以 DH平面 BCHF.又因为 DH平面 ADHF,所以平面 ADHF平面 BCHF.(2)设下底面半径为 r,由题 r=,所
11、以 r=1,因为下底面半圆圆心为 P,所以 PD=PG=PH=PC=r=1,又因为 G、 H 为 的三等分点, DPG= GPH= HPC=60,所以 PDG, PGH, PHC 均为边长等于 1 的等边三角形,所以 PGH 的面积 S PGH= .34所以三棱锥 H-AGP 的体积 V=VA-PGH= S PGHAD= .13 3611.(1)证明 ABE 为等边三角形, O 是 BE 的中点, AO BE. 面 ABE面 BCDE,面 ABE面 BCDE=BE,AO面 ABE,AO 面 BCDE,CD面 BCDE,AO CD.(2)证明 连接 BD,EC. 面 ABE面 BCDE,面 AB
12、E面 BCDE=BE,又由(1)知 AO面 BCDE,EC面 BCDE,则 AO EC. 底边 BCDE 是菱形, EC BD,又 O,F 分别是 BE,DE 的中点,OF BD,EC OF.又 OF,AO 是平面 AOF 内的两条相交直线,EC 面 AOF.又 EC面 ACE, 面 AOF面 AEC.(3)解 当 P 为 AC 上靠近 A 点的三等分点时, BP平面 AOF.证明如下:设 CE 与 BD,OF 的交点分别为 M,N,连接 AN,PM, 底边 BCDE 是菱形, O,F 分别是 BE,DE 的中点, .=12又 P 为 AC 上靠近 A 点的三等分点, .=12PM AN.AN 面 AOF,PM面 AOF,PM 面 AOF.BD OF,OF面 AOF,BD面 AOF,BD 面 AOF,即 BM面 AOF.又 BM PM=M, 面 BMP面 AOF,BP 面 BMP,BP 面 AOF. 侧棱 AC 上存在 P,使得 BP面 AOF,7 .=12
